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ALGÉBRIQUES STRUCTURES

Principales espèces de structures algébriques à un ensemble de base principal et deux ou plusieurs ensembles de base auxiliaires

Espèces de structures de caractérisation typique S ∈ P((A×A)×A) × P((A×A)×A) × P((B×B)×B) × P((B×B)×B) × P((E×E)×E) × P((A×E)×E) × P((E×B)×E)

Espèce de structure de bimodule sur deux anneaux

Soient AA = (A, l⊤, l⊥) et AB = (B, l⊤', l⊥') deux anneaux. Un (AA, AB)-bimodule, ou bimodule sur les anneauxAAetAB, est un quadruplet BME = (E, l∗, lg•, l█d) tel que (E, l∗, lg•) soit un module à gauche sur AA et (E, l∗, l█d) un module à droite sur AB et tel que, en outre, les structures de module à gauche (Sl⊤, Sl⊥, Sl∗, Slg•) et de module à droite (Sl⊤', Sl⊥', Sl∗, Sl█d) soient compatibles, c'est-à-dire telles que :

SBME = (Sl⊤, Sl⊥, Sl⊤', Sl⊥', Sl∗, Slg•, Sl█d) est une structure de bimodule sur deux anneaux et l'espèce de structure de bimodule sur deux anneaux a pour caractérisation typique :

Espèces de structures plus riches que celle de bimodule sur deux anneaux

Si l'une des structures sous-jacentes à une structure de bimodule sur deux anneaux est une structure d'espèce plus riche que les espèces de structures évoquées pour définir un bimodule sur deux anneaux, (Sl⊤, Sl⊥, Sl⊤', Sl⊥', Sl∗, Slg•, Sl█d) est une structure d'espèce plus riche que celle de bimodule sur deux anneaux. C'est le cas, par exemple, d'un bimodule sur deux anneaux unifères intègres.

Espèces de structure de caractérisation typique

Espèce de structure de multimodule sur deux familles d'anneaux

Soient (Aλ)λ ∈ L et (Bμ)μ ∈ M deux familles d'anneaux. Un ((Aλ), (Bμ))-multimodule, ou multimodule sur les familles d'anneaux (Aλ)λ ∈ Let (Bμ)μ ∈ M, est un multiplet MME = (E, l∗, (lg•λ)λ ∈ L, (l█dμ)μ ∈ M) tel que, pour tout λ appartenant à L et tout μ appartenant à M, (E, l∗, lg•λ) soit un Aλ-module à gauche et (E, l∗, l█dμ) soit un Bμ-module à droite, toutes ces structures de modules étant deux à deux compatibles.

Espèces de structures plus riches que celle de multimodule sur deux familles d'anneaux

Si l'une des structures sous-jacentes à une structure de multimodule sur deux familles d'anneaux est une structure d'espèce plus riche que les espèces de structures évoquées pour définir un multimodule sur deux familles d'anneaux, la structure est d'espèce plus riche que celle de multimodule sur deux familles d'anneaux. C'est le cas, par exemple, d'un multiespace vectoriel sur deux familles de corps.

Espèces de structures de caractérisation typique S ∈ P((K×K)×K) × P((K×K)×K) × P((V×V)×V) × P((K×V)×V) × P((V×E)×E) ou S ∈ P((K×K)×K) × P((K×K)×K) × P((V×V)×V) × P((V×K)×V) × P((E×V)×E) : espèce de structure d'espace affine attaché à un espace vectoriel à gauche (ou à droite) sur un corps et espèces de structures plus riches

Soit V = (V, l∗, lg•) un espace vectoriel à gauche sur un corps K = (K, l⊤, l⊥). Un espace affine attaché àVsurK (ou VK-espace affine) est un couple Raff = (E, l⊕) qui est un espace homogène sur le groupe (V, l∗) tel que e∗ soit le seul opérateur de (V, l∗) tel que ∀ p, p ∈ E ⇒ e∗ ⊕ p = p. E est donc un ensemble non vide, l⊕ une loi d'action de V×E dans E, et ∀ (x, y), ∀ p [(x, y) ∈ V×V et p ∈ E] ⇒ x ⊕ (y ⊕ p) = (x ∗ y) ⊕ p. Un élément de E est généralement appelé un point, un élément de V une translation (ou un vecteur libre), un élément de E×E un bipoint. [...]

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Écrit par

  • : diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie

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Classification

Pour citer cet article

Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN. ALGÉBRIQUES STRUCTURES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots

    L' algèbre au sens moderne, à savoir l'étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s'est dégagée que très progressivement au cours du xixe siècle, en liaison avec le mouvement général d'axiomatisation de l'ensemble des mathématiques et...

  • KONTSEVITCH MAXIM (1964- )

    • Écrit par Jean-Pierre BOURGUIGNON, Stéphane DELIGEORGES
    • 1 026 mots

    Le mathématicien Maxim Kontsevitch est né le 25 août 1964, à Khimki, près de Moscou d'un père linguiste, spécialiste de l'histoire médiévale de la Corée, et d'une mère ingénieur. Dès l'âge de quatorze ans, il se distingue aux Olympiades de mathématiques, et il intègre une école spéciale. À seize ans,...

  • KRULL WOLFGANG (1899-1970)

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 154 mots

    Mathématicien allemand né à Baden-Baden et mort à Bonn. Wolfgang Krull a formé, avec E. Artin et E. Noether, l'école allemande qui, à partir de 1920, a rénové l'algèbre en mettant systématiquement à la base de cette partie des mathématiques les notions de structure algébrique...

  • MODÈLES THÉORIE DES

    • Écrit par Daniel ANDLER, Daniel LASCAR, Gabriel SABBAGH
    • 7 801 mots
    ...à l'algèbre datent de la fin des années cinquante. Jusque-là, les techniques logiques permettaient d'étudier les propriétés « locales » des structures algébriques, c'est-à-dire celles qui mettent en jeu les sous-structures de type fini, et surtout d'apporter un nouvel éclairage et d'intéressants compléments...

Voir aussi

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