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ALGÉBRIQUES STRUCTURES

L'algèbre s'appuie sur les structures algébriques, comme la topologie et l'analyse s'appuient sur les structures topologiques, leurs rencontres générant la topologie algébrique, la géométrie algébrique, etc.

Avant de passer en revue, sans aucune démonstration mais dans un ordre logique, les principales structures algébriques, nous tenterons une présentation de la notion même de structure mathématique, fondamentale mais si délicate à définir purement mathématiquement et d'une façon rigoureuse que sa présentation même est souvent esquivée. Évoquant la question des abus de langage – que nous nous efforcerons d'éviter –, nous proposerons aussi, dans une perspective pédagogique, de marquer clairement certaines distinctions à l'aide de traits d'union dûment justifiés.

Bien que le formalisme poussé de Nicolas Bourbaki (pseudonyme collectif d'un ensemble de mathématiciens – l'Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki – fondé en 1935 par Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt et André Weil, et qui s'autorenouvelle depuis) ne soit pas entièrement approuvé par tous les mathématiciens, notre exposé sera fondé sur la notion de structure au sens de Bourbaki, ce qui ne nous empêchera pas de définir certaines espèces de structures dont il ne parle pas ou d'éviter certains abus de langage qu'il commet. Lorsque nous commençons une phrase par « Appelons », nous proposons un nom que nous n'avons pas trouvé, ou pas trouvé avec ce sens, dans la littérature mathématique.

Notion de structure mathématique

Rappels préliminaires

Ensembles, parties, couples, multiplets

Rappelons tout d'abord que la locution « objet mathématique » désigne toute notion que l'on définit ou étudie en mathématique et que les noms « élément » et « ensemble » sont, du moins dans certaines théories, presque synonymes d'« objet mathématique » : lorsque deux objets mathématiques a et b peuvent être reliés par la relation d'appartenance, notée par le signe ∈, on écrit a ∈ b (lu « a appartient à b ») et on dit que a est un élément de l'ensemble b ; si en outre b ∈ c, alors b, qui est un ensemble contenant a, est aussi un élément de l'ensemble c ; un objet mathématique peut donc être à la fois un élément et un ensemble. Une présentation plus rigoureuse de ces notions est du ressort de la théorie des fondements de la mathématique et de la théorie des ensembles (cf. fondements des mathématiques, logique mathématique, théorie axiomatique des ensembles, théorie élémentaire des ensembles). L'ensemble vide, noté ∅, est l'unique ensemble qui ne contient aucun élément, un singleton est un ensemble à un élément (par exemple l'ensemble {a}), une paire un ensemble à deux éléments (par exemple l'ensemble {a, b}, avec a ≠ b ; si a = b, {a, b} = {a, a} = {a} est un singleton).

Une partie (ou un sous-ensemble) d'un ensemble E est un ensemble A tel que tout élément de A soit élément de E ; ∅ est la partie vide de E ; E est la partie pleine de E ; l'ensemble des parties d'un ensemble E est l'ensemble dont les éléments sont les parties de E et se note en général P(E).

Un couple est un ensemble, noté avec des parenthèses, par exemple (a, b), tel que (a, b) = {{a}, {a, b}} ; un couple (a, b) est donc, soit une paire (si a ≠ b), soit un singleton [si a = b, (a, b) =  (a, a) = {{a}}] ; a est appelé la première projection du couple (a, b), b en étant la seconde projection [ce que l'on peut noter : a = pr1 (a, b) et b = pr2 (a, b)]. Soient A et B deux ensembles, distincts ou non ; le produit cartésien de A et B, noté A×B, est[...]

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Écrit par

  • : diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie

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Classification

Pour citer cet article

Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN. ALGÉBRIQUES STRUCTURES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots

    L' algèbre au sens moderne, à savoir l'étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s'est dégagée que très progressivement au cours du xixe siècle, en liaison avec le mouvement général d'axiomatisation de l'ensemble des mathématiques et...

  • KONTSEVITCH MAXIM (1964- )

    • Écrit par Jean-Pierre BOURGUIGNON, Stéphane DELIGEORGES
    • 1 026 mots

    Le mathématicien Maxim Kontsevitch est né le 25 août 1964, à Khimki, près de Moscou d'un père linguiste, spécialiste de l'histoire médiévale de la Corée, et d'une mère ingénieur. Dès l'âge de quatorze ans, il se distingue aux Olympiades de mathématiques, et il intègre une école spéciale. À seize ans,...

  • KRULL WOLFGANG (1899-1970)

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 154 mots

    Mathématicien allemand né à Baden-Baden et mort à Bonn. Wolfgang Krull a formé, avec E. Artin et E. Noether, l'école allemande qui, à partir de 1920, a rénové l'algèbre en mettant systématiquement à la base de cette partie des mathématiques les notions de structure algébrique...

  • MODÈLES THÉORIE DES

    • Écrit par Daniel ANDLER, Daniel LASCAR, Gabriel SABBAGH
    • 7 801 mots
    ...à l'algèbre datent de la fin des années cinquante. Jusque-là, les techniques logiques permettaient d'étudier les propriétés « locales » des structures algébriques, c'est-à-dire celles qui mettent en jeu les sous-structures de type fini, et surtout d'apporter un nouvel éclairage et d'intéressants compléments...

Voir aussi

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