ALGÉBRIQUES STRUCTURES

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L'algèbre s'appuie sur les structures algébriques, comme la topologie et l'analyse s'appuient sur les structures topologiques, leurs rencontres générant la topologie algébrique, la géométrie algébrique, etc.

Avant de passer en revue, sans aucune démonstration mais dans un ordre logique, les principales structures algébriques, nous tenterons une présentation de la notion même de structure mathématique, fondamentale mais si délicate à définir purement mathématiquement et d'une façon rigoureuse que sa présentation même est souvent esquivée. Évoquant la question des abus de langage – que nous nous efforcerons d'éviter –, nous proposerons aussi, dans une perspective pédagogique, de marquer clairement certaines distinctions à l'aide de traits d'union dûment justifiés.

Bien que le formalisme poussé de Nicolas Bourbaki (pseudonyme collectif d'un ensemble de mathématiciens – l'Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki – fondé en 1935 par Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt et André Weil, et qui s'autorenouvelle depuis) ne soit pas entièrement approuvé par tous les mathématiciens, notre exposé sera fondé sur la notion de structure au sens de Bourbaki, ce qui ne nous empêchera pas de définir certaines espèces de structures dont il ne parle pas ou d'éviter certains abus de langage qu'il commet. Lorsque nous commençons une phrase par « Appelons », nous proposons un nom que nous n'avons pas trouvé, ou pas trouvé avec ce sens, dans la littérature mathématique.

Notion de structure mathématique

Rappels préliminaires

Ensembles, parties, couples, multiplets

Rappelons tout d'abord que la locution « objet mathématique » désigne toute notion que l'on définit ou étudie en mathématique et que les noms « élément » et « ensemble » sont, du moins dans certaines théories, presque synonymes d'« objet mathématique » : lorsque deux objets mathématiques a et b peuvent être reliés par la relation d'appartenance, notée par le signe ∈, on écrit a ∈ b (lu « a appartient à b ») et on dit que a est un élément de l'ensemble b ; si en outre b ∈ c, alors b, qui est un ensemble contenant a, est aussi un élément de l'ensemble c ; un objet mathématique peut donc être à la fois un élément et un ensemble. Une présentation plus rigoureuse de ces notions est du ressort de la théorie des fondements de la mathématique et de la théorie des ensembles (cf. fondements des mathématiques, logique mathématique, théorie axiomatique des ensembles, théorie élémentaire des ensembles). L'ensemble vide, noté ∅, est l'unique ensemble qui ne contient aucun élément, un singleton est un ensemble à un élément (par exemple l'ensemble {a}), une paire un ensemble à deux éléments (par exemple l'ensemble {ab}, avec a ≠ b ; si a = b, {ab} = {aa} = {a} est un singleton).

Une partie (ou un sous-ensemble) d'un ensemble E est un ensemble A tel que tout élément de A soit élément de E ; ∅ est la partie vide de E ; E est la partie pleine de E ; l'ensemble des parties d'un ensemble E est l'ensemble dont les éléments sont les parties de E et se note en général P(E).

Un couple est un ensemble, noté avec des parenthèses, par exemple (ab), tel que (ab) = {{a}, {ab}} ; un couple (ab) est donc, soit une paire (si a ≠ b), soit un singleton [si a = b, (ab) =  (aa) = {{a}}] ; a est appelé la première projection du couple (ab), b en étant la seconde projection [ce que l'on peut noter : a = pr1 (ab) et b = pr2 (ab)]. Soient A et B deux ensembles, distincts ou non ; le produit cartésien de A et B, noté A×B, est l'ensemble des couples (ab) tels que a ∈ A et b ∈ B ; B×A est différent de A×B, sauf si A = B ou si A (ou B) est égal à l'ensemble vide (car ∅×E = E×∅ = ∅, quel que soit l'ensemble E).

Un triplet, par exemple (abc), est un couple dont la première projection est un couple : (abc) = ((ab), c) ; c'est donc en général une paire, mais ce peut être aussi un singleton car si b = a et c = (aa), alors (abc) = ((aa), (aa)) = {{{{a}}}}. Un quadruplet est un couple dont la première projection est un triplet ; un n-uplet (a1a2, ..., an) est un couple dont la première projection est un (n-1)-uplet ; à partir de triplet, on emploie aussi le terme de multiplet, qui désigne donc un n-uplet sans préciser la valeur du nombre entier naturel n supérieur ou égal à 3. Pour un n-uplet u = (a1a2, ..., ai ..., an), ai peut être appelé sa i-ième projection et on peut écrire ai = pri u.

Correspondances, relations binaires, fonctions, applications

Soient E et F deux ensembles, distincts ou non.

Une correspondance de E vers F est un triplet (E, F, G) tel que G soit une partie de E×F ; les ensembles E, F et G sont appelés respectivement ensemble de départ (ou ensemble source), ensemble d'arrivée (ou ensemble but) et graphe de la correspondance κ = (E, F, G).

Soient E1, E2 et E3 trois ensembles, distincts ou non, f = (E1, E2Gf) une correspondance de E1 vers E2 de graphe Gf et g = (E2, E3Gg) une correspondance de E2 vers E3 de graphe Gg. La correspondance h = (E1, E3Gh) de E1 vers E3, avec Gh pour graphe, définie par : si (xy) ∈  Gf et (yz) ∈ Gg, alors (xz) ∈ Gh, est appelée composée des correspondances f et g et est désignée par la notation g ∘ f (lue « g rond f »).

Une relation binaire dans E est une correspondance de E vers E ; lorsque R = (E, E, G) est une relation binaire dans E, on convient en général d'écrire « R(ab) » pour signifier « (ab) ∈ G ». Une relation binaire R dans un ensemble E est dite :

Une fonction de E dans F est une correspondance (E, F, G) de E vers F telle que, pour tout x appartenant à E, il existe au plus un y appartenant à F tel que (xy) appartienne à G ; lorsque f = (E, F, G) est une fonction, on convient en général d'écrire « y = f (x) » pour signifier « (xy) ∈ G », l'élément y de F est appelé valeur de la fonction f en x et la partie D de E telle que, pour tout x appartenant à D, il existe un et un seul y appartenant à F tel que (xy) appartienne à G est appelée ensemble de définition de f.

Une application de E dans F est une fonction f = (E, F, G) de E dans F telle que, pour tout x appartenant à E, il existe un et un seul y appartenant à F tel que (xy) appartienne à G, c'est-à-dire une fonction dont l'ensemble de définition est confondu avec l'ensemble de départ. Une injection (ou application injective) de E dans F est une application f = (E, F, G) de E dans F telle que ∀ (xx'), [(xx') ∈ E×E et x ≠ x'] ⇒ f (x) ≠  f (x'). Une surjection (ou application surjective) de E dans F est une application f = (E, F, G) de E dans F telle que, pour tout y appartenant à F, il existe au plus un

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  • : éditeur, diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie

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Pour citer l’article

Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN, « ALGÉBRIQUES STRUCTURES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-algebriques/