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IDÉAL, mathématiques

Articles

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots
    La notion d'idéal d'un anneau sous groupe additif qui est stable par multiplication par un élément quelconque de l'anneau, a été introduite, en liaison avec les travaux de Kummer, par Dedekind dans le cas des anneaux d'entiers algébriques. Dedekind montra que les « nombres idéaux » peuvent être représentés...
  • ALGÉBRIQUES STRUCTURES

    • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
    • 29 463 mots
    ...sous-demi-groupe de (E, l)], le triplet (A, l|A, l|A) s'appelle un sous-anneau de A. Tout sous-anneau d'un anneau intègre est intègre. Si (A, l|A) est un sous-groupe de (E, l) et si ∀ (a, x), (a, x) ∈ E×A ⇒ a ⊥ x ∈ A [respectivement si ∀ (...
  • ANNEAUX & ALGÈBRES

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 5 036 mots
    • 1 média
    ...: « Pour tout élément x de A et tout élément y de N, les éléments xy et yx appartiennent encore à N. » De manière plus générale, on appelle idéal à gauche d'un anneau (ou d'une algèbre) A tout sous-groupe additif (ou sous-algèbre) U tel que si x et y sont des éléments quelconques...
  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    Caractérisation des idéaux fermés de fonctions différentiables. L'ensemble des fonctions numériques de classe Cm définies sur un pavé compact K constitue une algèbre de Banach (lorsque m est fini) pour la norme de la convergence uniforme d'ordre m (c'est-à-dire de la convergence uniforme...
  • CORPS, mathématiques

    • Écrit par Universalis, Robert GERGONDEY
    • 6 190 mots
    Le procédé de Kronecker pour définir les corps de nombres algébriques peut être présenté dans un contexte plus général. Un idéal m d'un anneau commutatif unitaire A est appelé idéal maximal s'il n'est contenu strictement dans aucun autre idéal que A lui-même. L'anneau quotient A/...
  • DEDEKIND RICHARD (1831-1916)

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 2 064 mots
    ...A, mais des sous-ensembles de A (ce qui, à l'époque, constituait une grande nouveauté). L'observation qui peut servir de point de départ à la notion d'idéal est la suivante : dans l'anneau Z des entiers rationnels, on peut, à chaque entier n, associer l'ensemble A de...
  • NOETHER EMMY (1882-1935)

    • Écrit par Paul DUBREIL
    • 1 179 mots
    Le premier s'intitule Idealtheorie in Ringbereichen. Les notions de base sont celle d'anneau (groupe par rapport à une addition commutative, muni en outre d'une multiplication associative, distributive pour l'addition et, dans ce travail, commutative) et celle d'idéal : un...
  • NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

    • Écrit par Christian HOUZEL
    • 12 998 mots
    ...considération des « nombres idéaux », que Kummer n'avait jamais définis comme objets mathématiques, par celle d'objets véritables, qu'il a appelés les idéaux du corps K. L'idée est de considérer, au lieu d'un diviseur A et de la congruence f (θ) ≡ g(θ) (mod A) qu'il définit dans...
  • NORMÉES ALGÈBRES

    • Écrit par Jean-Luc SAUVAGEOT, René SPECTOR
    • 4 664 mots
    Indiquons brièvement qu'un idéal d'une algèbre normée commutative A est une partie I de A qui est un sous-espace vectoriel de A et qui, d'autre part, contient l'élément ab dès que a est un élément de I et b un élément quelconque de A. Évidemment A est un idéal (peu intéressant...