Algèbre


AFFINE APPLICATION

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 265 mots

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λ […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/application-affine/#i_0

ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 7 157 mots

L'algèbre au sens moderne, à savoir l'étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s'est dégagée que très progressivement au cours du xixe siècle, en liaison avec le mouvement général d'axiomatisation de l'ensemble des mathématiques et la préoccupation croissante […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/#i_0

ALGÈBRE THÉORÈME FONDAMENTAL DE L' ou THÉORÈME DE D'ALEMBERT

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 355 mots

Jean Robert Argand, comptable à Paris, était un mathématicien amateur qui avait gagné une solide réputation scientifique en publiant en 1806 (à ses frais et sans que son nom apparaisse sur la couverture) un petit livre où il développait une représentation géométrique des nombres complexes . Huit ans plus tard, il en tire une preuve remarquable de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre-theoreme-de-d-alembert/#i_0

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 29 521 mots

L'algèbre s'appuie sur les structures algébriques, comme la topologie et l'analyse s'appuient sur les structures topologiques, leurs rencontres générant la topologie algébrique, la géométrie algébrique, etc. Avant de passer en revue, sans aucune démonstration mais dans un ordre logique, les principales structures algébriques, nous tenterons une […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-algebriques/#i_0

ANNEAUX & ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 048 mots
  •  • 1 média

Définis par des axiomes qui dégagent les les propriétés usuelles des opérations d'addition et de multiplication dans les ensembles de nombres ou les polynômes , les anneaux constituent le cadre général dans lequel on peut appliquer les règles du calcul algébrique élémentaire. Nous donnerons dans cet article les définitions générales et des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-et-algebres/#i_0

ANNEAUX COMMUTATIFS

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 231 mots
  •  • 1 média

Dans tout ce qui suit, on se bornera à considérer des anneaux commutatifs unitaires, c'est-à-dire possédant un élément unité pour la multiplication, noté 1. Les définitions sont celles de l'article suivant, anneaux et algèbres. De nombreux cas particuliers d'anneaux commutatifs unitaires ont été étudiés au […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-commutatifs/#i_0

BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 613 mots
  •  • 1 média

La notion d' algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique , joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés , calcul des probabilités) et en logique mathématique (logique algébrique, modèles booléens). […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre-et-anneau-de-boole/#i_0

CORPS, mathématiques

  • Écrit par 
  • Robert GERGONDEY
  • , Universalis
  •  • 6 206 mots

La structure de corps n'est en fait qu'un cas particulier de la structure plus générale d'anneau ; en plus des axiomes généraux, on stipule que le groupe multiplicatif des éléments inversibles est le complémentaire de 0. Les corps sont donc les domaines dans lesquels les opérations habituelles du calcul sont valables, y compris la division par un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/corps-mathematiques/#i_0

COURBES ALGÉBRIQUES

  • Écrit par 
  • Luc GAUTHIER
  •  • 4 271 mots
  •  • 9 médias

En fondant la géométrie analytique, Descartes avait substitué au plan de la géométrie d'Euclide l'ensemble R2 des couples de nombres réels et, de ce fait, à la notion de courbe, celle d'équation. La construction d'un point, puis la détermination d'un lieu géométrique se trouvaient ainsi remplacées par […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/courbes-algebriques/#i_0

GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 288 mots
  •  • 3 médias

Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les directions de la géométrie algébrique et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-classiques-et-geometrie/#i_0

GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 10 314 mots
  •  • 2 médias

La théorie des groupes de Lie , fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie , a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles , les équations aux dérivées partielles et la géométrie différentielle. Leur étude générale a mis […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-de-lie/#i_0

GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 4 907 mots

Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan . Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de leurs élèves vers le commencement du […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-finis/#i_0

GROUPES (mathématiques) - Généralités

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 992 mots
  •  • 1 média

On se propose de présenter ici les notions fondamentales de théorie des groupes qui interviendront constamment dans la suite des articles qui traitent des groupes. Ces articles contiennent un très grand nombre d'exemples, c'est pourquoi cet exposé introductif n'explicite que quelques groupes utilisés aussi ailleurs, notamment en cristallographie, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-generalites/#i_0

GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 3 644 mots

Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-representation-lineaire-des-groupes/#i_0

GROUPES (mathématiques) - Vue d'ensemble

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 774 mots

Les idées de symétrie et de régularité se retrouvent dans toutes les civilisations, bien avant que ne fût conçue la notion de groupe : par exemple, presque tous les groupes discrets de déplacements du plan (il y en a dix-sept types non isomorphes) sont sous-jacents aux multiples […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-vue-d-ensemble/#i_0

GROUPES DE GALOIS

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 181 mots

L'unique mémoire d' Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes est maintenant […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-de-galois/#i_0

GÉNÉRATEUR, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 989 mots

Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène, ou encore posséder un générateur a, si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/generateur-mathematique/#i_0

GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 12 288 mots
  •  • 13 médias

Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l'algèbre relativement récente (cf. algèbre , dedekind ). Pour « comprendre » les phénomènes d'intersection des courbes et des surfaces, il s'est révélé nécessaire d'élaborer des techniques compliquées qui se sont développées de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-algebrique/#i_0

LIE GROUPES DE

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 179 mots

La publication des trois volumes du traité intitulé Theorie der Transformationsgruppen, de 1888 à 1893, synthétise l'apport fondamental du mathématicien norvégien Sophus Lie (1842-1899) à la théorie des groupes. Écrit en collaboration avec Friedrich Engel, cet ouvrage rassemble les nombreux résultats obtenus à partir de 1873 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-de-lie/#i_0

LINÉAIRE ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL, 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 13 026 mots

L'algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu'on la trouvera présentée ici, s'est progressivement dégagée, au cours du xixe siècle et au début du xxe, de la théorie des équations linéaires (systèmes de n équations linéaires à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lineaire-algebre/#i_0

NORMÉES ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc SAUVAGEOT, 
  • René SPECTOR
  •  • 4 689 mots

Au point de rencontre de deux types de structures, structures algébriques et structures topologiques, les algèbres normées jouent un rôle important dans de nombreux domaines de l'analyse mathématique. Développée à partir de 1940 environ, essentiellement par des mathématiciens soviétiques (I. M. Gelfand, M. A. Naimark, D. A. Raikov, G. E. Šylov), […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebres-normees/#i_0

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 872 mots

L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xxe siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales . Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales, ainsi que des formes […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-vectoriels-normes/#i_0

NOTATION MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Hans FREUDENTHAL
  •  • 10 362 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Le formalisme algébrique »  : […] La syntaxe des formules algébriques Les langues naturelles doivent leur structure syntactique à un amas chaotique de moyens de flexion, de subordination, de conjonction, de ponctuation, de mélodie et de rythme. Mais, très souvent, la structure syntactique s'explique par le sens et non par des critères formels. « Mathématique et langue […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/notation-mathematique/2-le-formalisme-algebrique/

OPÉRATION, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 041 mots

Une définition formelle du concept d'application est la suivante : une application f d'un ensemble A dans un ensemble B est une partie du produit cartésien A × B [c'est-à-dire des couples (xy) où x décrit A et y décrit B], telle que, pour tout […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/operation-mathematique/#i_0

POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

  • Écrit par 
  • Jean Paul DUFOUR
  •  • 9 110 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Algébroïdes de Lie »  : […] Un algébroïde de Lie consiste en la donnée de trois objets : un fibré vectoriel A sur une variété M (cf. chap. 13, Appendice), une structure d'algèbre de Lie réelle [ , ] sur l'ensemble des sections Γ(A) de ce fibré et un morphisme de fibrés vectoriels ♯ de A dans T(M) ; […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-de-poisson-et-nambu/6-algebroides-de-lie/

POLYNÔMES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 2 276 mots

La théorie des équations et des polynômes a été le propos essentiel de l'algèbre jusqu'au xixe siècle (cf. équations algébriques , algèbre ) et est à la base de la théorie des corps et de la théorie des nombres algébriques. Nous nous sommes limités ici à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/polynomes/#i_0

PROJECTIVES APPLICATIONS

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 366 mots

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K, P(E) et P(F) les espaces projectifs déduits de E et de F, f une application linéaire de E dans F et N = ker (f) le noyau de f. Comme l'image par f d'une […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/applications-projectives/#i_0

QUADRATIQUES FORMES

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 6 424 mots
  •  • 2 médias

La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d'espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l'analyse fonctionnelle (équations différentielles, aux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/formes-quadratiques/#i_0

RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 198 mots

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, Académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des mathématiques. Ce texte commence par un hommage appuyé […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/reflexions-sur-la-resolution-algebrique-des-equations/#i_0

TOPOLOGIE - Topologie algébrique

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 8 149 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Algèbre homologique »  : […] Homologie d'un module différentiel Considérons une famille (Mn), avec n ∈ Z, de A modules et, pour tout n, une application dn de Mn dans Mn, où ε est un entier en général égal à + 1 ou à − 1. Si, pour tout […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-algebrique/6-algebre-homologique/

WEIL (TROISIÈME CONJECTURE DE)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 348 mots

Après sa thèse soutenue en 1968 à l'Université libre de Bruxelles, le mathématicien belge Pierre Deligne a effectué la première partie de sa carrière à l'Institut des hautes études scientifiques (I.H.E.S.) de Bures-sur-Yvette (Essonne) ; il y travaillait notamment sous la direction du mathématicien Alexandre Grothendieck. C'est là qu'en 1973 il […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/weil-troisieme-conjecture-de/#i_0

ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Gilles LACHAUD
  •  • 1 429 mots

Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres. Par extension, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equation-mathematique/#i_0

ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

  • Écrit par 
  • Jean ITARD
  •  • 5 690 mots

Dès la plus haute antiquité, on rencontre, à l'occasion de problèmes concrets, des exemples de résolution d'équations du premier et du second degré, et, jusqu'au début du xixe siècle, l'étude des équations constitue l'unique préoccupation des algébristes. Le développement de la théorie est […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-algebriques/#i_0


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Théorie des groupes et des algèbres de Lie

Théorie des groupes et des algèbres de Lie

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Correspondance entre la théorie des groupes de Lie et la théorie des algèbres de Lie. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Groupes classiques simples

Groupes classiques simples

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Groupes classiques simples, compacts et simplement connexes. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Algèbre de Boole

Algèbre de Boole

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Les opérateurs booléens et leurs combinaisons : les portes logiques.L'algèbre de Boole est une algèbre binaire qui s'applique au domaine des propositions. Une proposition ne peut adopter que deux valeurs : oui/non, vrai/faux, haut/bas, 1/0, sans possibilité de valeurs... 

Crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.

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Hypocycloïde

Hypocycloïde

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Hypocycloïde à trois rebroussements… 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Quartique (1)

Quartique (1)

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Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Trifolium

Trifolium

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Trifolium… 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Théorème de Lamé

Théorème de Lamé

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Loi de groupe sur une cubique… 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Strophoïde

Strophoïde

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Strophoïde… 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Cissoïde

Cissoïde

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Cissoïde… 

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Quartique (2)

Quartique (2)

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Anneaux et algèbres

Anneaux et algèbres

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Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Complexes simpliciaux

Complexes simpliciaux

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Exemples de complexes simpliciaux… 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

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Le feuilletage symplectique pour une structure de Poisson non linéairisable obtenue en perturbant la structure linéaire correspondant à l'algèbre de Lie sl(2). 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

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Le feuilletage symplectique de la structure de Poisson linéaire correspondant à l'algèbre de Lie sl(2). 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Rapports entre les différents anneaux

Rapports entre les différents anneaux

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Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Groupe des symétries du cube

Groupe des symétries du cube

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Groupe des symétries du cube. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Théorie des groupes et des algèbres de Lie

Théorie des groupes et des algèbres de Lie
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Groupes classiques simples

Groupes classiques simples
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Algèbre de Boole

Algèbre de Boole
Crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.

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Hypocycloïde

Hypocycloïde
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Quartique (1)

Quartique (1)
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Trifolium

Trifolium
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Théorème de Lamé

Théorème de Lamé
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Strophoïde

Strophoïde
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Cissoïde

Cissoïde
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Quartique (2)

Quartique (2)
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Anneaux et algèbres

Anneaux et algèbres
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Complexes simpliciaux

Complexes simpliciaux
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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Rapports entre les différents anneaux

Rapports entre les différents anneaux
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Groupe des symétries du cube

Groupe des symétries du cube
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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