Algèbre



AFFINE APPLICATION

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 261 mots

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λi), pour 1 ≤ i ≤ k, où […] Lire la suite

ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 7 143 mots

L'algèbre au sens moderne, à savoir l'étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s'est dégagée que très progressivement au cours du xixe siècle, en liaison avec le mouvement général d'axiomatisation de l'ensemble des mathématiques et la préoccupation croissante des mathématiciens de « substituer les idées au ca […] Lire la suite

ALGÈBRE THÉORÈME FONDAMENTAL DE L' ou THÉORÈME DE D'ALEMBERT

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 353 mots

JeanRobert Argand, comptable à Paris, était un mathématicien amateur qui avait gagné une solide réputation scientifique en publiant en 1806 (à ses frais et sans que son nom apparaisse sur la couverture) un petit livre où il développait une représentation géométrique des nombres complexes. Huit ans plus tard, il en tire une preuve remarquable de sim […] Lire la suite

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 29 463 mots

L'algèbre s'appuie sur les structures algébriques, comme la topologie et l'analyse s'appuient sur les structures topologiques, leurs rencontres générant la topologie algébrique, la géométrie algébrique, etc.Avant de passer en revue, sans aucune démonstration mais dans un ordre logique, les principales structures algé […] Lire la suite

ANNEAUX & ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 036 mots
  •  • 1 média

Définis par des axiomes qui dégagent les les propriétés usuelles des opérations d'addition et de multiplication dans les ensembles de nombres ou les polynômes, les anneaux constituent le cadre général dans lequel on peut appliquer les règles du calcul algébrique élémentaire. Nous donnerons dans cet article les définitions générales et des exemples. Pour un […] Lire la suite

ANNEAUX COMMUTATIFS

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 217 mots
  •  • 1 média

Dans tout ce qui suit, on se bornera à considérer des anneaux commutatifs unitaires, c'est-à-dire possédant un élément unité pour la multiplication, noté 1. Les définitions sont celles de l'article suivant, anneaux et algèbres.De nombreux cas particuliers d'anneaux commutatifs unitaires ont été étudiés au xixe siècle, principal […] Lire la suite

BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 608 mots
  •  • 1 média

La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique, joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités) et en logique […] Lire la suite

CORPS, mathématiques

  • Écrit par 
  • Robert GERGONDEY, 
  • Universalis
  •  • 6 190 mots

La structure de corps n'est en fait qu'un cas particulier de la structure plus générale d'anneau ; en plus des axiomes généraux, on stipule que le groupe multiplicatif des éléments inversibles est le complémentaire de 0. Les corps sont donc les domaines dans lesquels les opérations habituelles du calcul sont valables, y compris la division par un élément non nul. La terminologie habituelle sous-en […] Lire la suite

COURBES ALGÉBRIQUES

  • Écrit par 
  • Luc GAUTHIER
  •  • 4 255 mots
  •  • 8 médias

En fondant la géométrie analytique, Descartes avait substitué au plan de la géométrie d'Euclide l'ensemble R2 des couples de nombres réels et, de ce fait, à la notion de courbe, celle d'équation. La construction d'un point, puis la détermination d'un lieu géométrique se trouvaient ainsi r […] Lire la suite

ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Gilles LACHAUD
  •  • 1 423 mots

Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres. Par extension, une équation conduit à un problème, qui consiste à […] Lire la suite

ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

  • Écrit par 
  • Jean ITARD
  •  • 5 672 mots

Dès la plus haute antiquité, on rencontre, à l'occasion de problèmes concrets, des exemples de résolution d'équations du premier et du second degré, et, jusqu'au début du xixe siècle, l'étude des équations constitue l'unique préoccupation des algébristes.Le développement de la théorie est étroitement lié aux extensions successives de la notion de […] Lire la suite

GÉNÉRATEUR, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 985 mots

Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène, ou encore posséder un générateur a, si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux à a. Par définition d'un produit portant […] Lire la suite

GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 12 263 mots
  •  • 7 médias

Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l'algèbre relativement récente (cf. algèbre, dedekind). Pour « comprendre » les phénomènes d'intersection des courbes et des surfaces, il s'est révélé nécessaire d'élaborer des techniques compliquées qui […] Lire la suite

GROUPES DE GALOIS

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 178 mots

L'unique mémoire d'Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes est maintenant universell […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Généralités

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 976 mots
  •  • 1 média

On se propose de présenter ici les notions fondamentales de théorie des groupes qui interviendront constamment dans la suite des articles qui traitent des groupes. Ces articles contiennent un très grand nombre d'exemples, c'est pourquoi cet exposé introductif n'explicite que quelques groupes utilisés aussi ailleurs, notamment en cristallographie, en chimie, e […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 269 mots
  •  • 3 médias

Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les directions de la […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 10 294 mots
  •  • 2 médias

La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 4 896 mots

Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan. Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 3 633 mots

Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux classer les représentations linéaires, sont vitaux pour […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Vue d'ensemble

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 770 mots

Les idées de symétrie et de régularité se retrouvent dans toutes les civilisations, bien avant que ne fût conçue la notion de groupe : par exemple, presque tous les groupes discrets de déplacements du plan (il y en a dix-sept types non isomorphes) sont sous-jacents aux multiples ornements géométriques imaginés par les artistes arabes. […] Lire la suite

LIE GROUPES DE

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 176 mots

La publication des trois volumes du traité intitulé Theorie der Transformationsgruppen, de 1888 à 1893, synthétise l'apport fondamental du mathématicien norvégien Sophus Lie (1842-1899) à la théorie des groupes. Écrit en collaboration avec Friedrich Engel, cet ouvrage rassemble les nombreux résultats obtenus à partir de 1873 sur les gr […] Lire la suite

LINÉAIRE ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL, 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 12 955 mots

L'algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu'on la trouvera présentée ici, s'est progressivement dégagée, au cours du xixe siècle et au début du xxe, de la théorie des équations linéaires (systèmes de n équations linéaires à […] Lire la suite

NORMÉES ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc SAUVAGEOT, 
  • René SPECTOR
  •  • 4 664 mots

Au point de rencontre de deux types de structures, structures algébriques et structures topologiques, les algèbres normées jouent un rôle important dans de nombreux domaines de l'analyse mathématique. Développée à partir de 1940 environ, essentiellement par des mathématiciens soviétiques (I. […] Lire la suite

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 845 mots

L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xxe siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales, ainsi que des […] Lire la suite

NOTATION MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Hans FREUDENTHAL
  •  • 10 338 mots
  •  • 1 média

Les langues naturelles doivent leur structure syntactique à un amas chaotique de moyens de flexion, de subordination, de conjonction, de ponctuation, de mélodie et de rythme. Mais, très souvent, la structure syntactique s'explique par le sens et non par des critères formels. « Mathématique et langue française » et « langue et littérature françaises » ont la même structure formelle, mais le sens in […] Lire la suite

OPÉRATION, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 035 mots

Une définition formelle du concept d'application est la suivante : une application f d'un ensemble A dans un ensemble B est une partie du produit cartésien A × B [c'est-à-dire des couples (xy) où x décrit A et y décrit B], telle que, pour tout élément a de A, il existe un […] Lire la suite

POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

  • Écrit par 
  • Jean Paul DUFOUR
  •  • 9 088 mots
  •  • 2 médias

Un algébroïde de Lie consiste en la donnée de trois objets : un fibré vectoriel A sur une variété M (cf. chap. 13, Appendice), une structure d'algèbre de Lie réelle [ , ] sur l'ensemble des sections Γ(A) de ce fibré et un morphisme de fibrés vectoriels ♯ de A dans […] Lire la suite

POLYNÔMES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 2 265 mots

La théorie des équations et des polynômes a été le propos essentiel de l'algèbre jusqu'au xixe siècle (cf. équations algébriques, algèbre) et est à la base de la théorie des corps et de la théorie des nombres algébriques. Nous nous sommes limités ici à une construc […] Lire la suite

PROJECTIVES APPLICATIONS

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 362 mots

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K, P(E) et P(F) les espaces projectifs déduits de E et de F, f une application linéaire de E dans F et N = ker (f) le noyau de f. Comme l'image par f d'une droite de E non contenue dans N est une droite de F, la restriction de f à E—N […] Lire la suite

QUADRATIQUES FORMES

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 6 412 mots
  •  • 1 média

La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d'espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l'analyse fonctionnel […] Lire la suite

RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 195 mots

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des mathé […] Lire la suite

TOPOLOGIE - Topologie algébrique

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 8 119 mots
  •  • 1 média

Considérons une famille (Mn), avec n ∈ Z, de A modules et, pour tout n, une application dn de Mn dans Mn+ε, où ε est un entier en général égal à + 1 ou à − 1. Si, pour tout n, on a :on dit que M = ((Mn), ( […] Lire la suite

WEIL (TROISIÈME CONJECTURE DE)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 346 mots

Aprèssa thèse soutenue en 1968 à l'Université libre de Bruxelles, le mathématicien belge Pierre Deligne a effectué la première partie de sa carrière à l'Institut des hautes études scientifiques (I.H.E.S.) de Bures-sur-Yvette (Essonne) ; il y travaillait notamment sous la direction du mathématicien Alexandre Grothendieck. C'est là qu'en 1973 il prouve […] Lire la suite


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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

dessin : Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

dessin

Le feuilletage symplectique de la structure de Poisson linéaire correspondant à l'algèbre de Lie sl(2). 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

dessin : Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

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Le feuilletage symplectique pour une structure de Poisson non linéairisable obtenue en perturbant la structure linéaire correspondant à l'algèbre de Lie sl(2). 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Anneaux et algèbres

tableau : Anneaux et algèbres

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Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Rapports entre les différents anneaux

dessin : Rapports entre les différents anneaux

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Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Strophoïde

graphique : Strophoïde

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Strophoïde 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Cissoïde

graphique : Cissoïde

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Cissoïde 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Hypocycloïde

dessin : Hypocycloïde

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Hypocycloïde à trois rebroussements 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Trifolium

graphique : Trifolium

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Trifolium 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Quartique (1)

graphique : Quartique (1)

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Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Quartique (2)

graphique : Quartique (2)

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Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Théorème de Lamé

dessin : Théorème de Lamé

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Loi de groupe sur une cubique 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Groupe des symétries du cube

dessin : Groupe des symétries du cube

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Groupe des symétries du cube. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Groupes classiques simples

tableau : Groupes classiques simples

tableau

Groupes classiques simples, compacts et simplement connexes. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Théorie des groupes et des algèbres de Lie

tableau : Théorie des groupes et des algèbres de Lie

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Correspondance entre la théorie des groupes de Lie et la théorie des algèbres de Lie. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Complexes simpliciaux

dessin : Complexes simpliciaux

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Exemples de complexes simpliciaux 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Algèbre de Boole

vidéo : Algèbre de Boole

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Les opérateurs booléens et leurs combinaisons : les portes logiques. L'algèbre de Boole est une algèbre binaire qui s'applique au domaine des propositions. Une proposition ne peut adopter que deux valeurs : oui/non, vrai/faux, haut/bas, 1/0, sans possibilité... 

Crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.

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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire

Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Anneaux et algèbres

Anneaux et algèbres
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Rapports entre les différents anneaux

Rapports entre les différents anneaux
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Strophoïde

Strophoïde
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Cissoïde

Cissoïde
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Hypocycloïde

Hypocycloïde
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Trifolium

Trifolium
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Quartique (1)

Quartique (1)
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Quartique (2)

Quartique (2)
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Théorème de Lamé

Théorème de Lamé
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Groupe des symétries du cube

Groupe des symétries du cube
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Groupes classiques simples

Groupes classiques simples
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Théorie des groupes et des algèbres de Lie

Théorie des groupes et des algèbres de Lie
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Complexes simpliciaux

Complexes simpliciaux
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Algèbre de Boole

Algèbre de Boole
Crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.

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