MODÈLES THÉORIE DES

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« Modèle » est un terme qui appartient au vocabulaire de la plupart des sciences et qui a des significations multiples. Ainsi, dans les sciences humaines, on entend généralement par modèle une théorie conçue pour expliquer un ensemble de phénomènes, alors qu'en logique mathématique on parle des modèles d'une théorie. Dans ce qui suit, il s'agira exclusivement des modèles et de la théorie des modèles de la logique mathématique. Toute étude des structures mathématiques dans laquelle les questions de langage interviennent de façon essentielle fait partie de la théorie des modèles, qui peut être considérée comme fille de la logique et de l'algèbre universelle.

Les racines de la théorie des modèles plongent dans l'enfance de la logique mathématique, puisque, dès 1915, Löwenheim donnait une formulation rudimentaire d'un des résultats fondamentaux du sujet, connu aujourd'hui comme le théorème de Löwenheim-Skolem.

Le mathématicien Thoralf Skolem découvre dès les années 1920-1934 plusieurs des idées fondamentales de la théorie, dont il est une manière de pionnier. Mais cette théorie ne sort vraiment des limbes que vers les années 1945-1950, grâce à A. Tarski (dont le séminaire à Berkeley « lance » la nouvelle discipline), A. Robinson, L. Henkin. À vrai dire, le mathématicien soviétique A. Mal'cev développait de son côté, avec une bonne dizaine d'années d'avance, nombre des mêmes idées que ses collègues occidentaux, mais ceux-ci ne prirent connaissance de ses travaux que beaucoup plus tard.

Une nouvelle étape est franchie au début des années 1960 (travaux de Vaught, Chang, Keisler, Morley, Kochen...) et, à partir de 1968 environ, la théorie des modèles connaît un véritable épanouissement.

Nous devrons nous contenter ici de présenter certains des principaux outils de la théorie, puis d'en exposer l'application à l'un de ses plus brillants résultats, le théorème de catégoricité de Morley. Enfin, nous mentionnerons quelques applications aux mathématiques, surtout à l'algèbre.

Le présent article prend la suite de l'étude sur le Calcul de prédicats du premier ordre du chapitre Les notions fondamentales : la logique du premier ordre de l'article logique mathématique, dont il conserve en particulier les notations. D'autre part, on trouvera à l'article analyse non standard l'exposé d'une application fondamentale de la théorie et, à la fin de l'article récursivité, quelques indications sur son extension à des langages infinitaires.

Dès l'origine, la théorie des modèles s'est développée suivant deux axes principaux, selon le type de structures mathématiques auxquelles on songeait à l'appliquer. La problématique de ce que l'on peut appeler, pour être bref, l'école de Berkeley (Tarski et ses disciples, mais aussi, la géographie nonobstant, Skolem) provient de l'analyse, de la théorie des nombres et de la théorie des ensembles, tandis que l'école de Yale (A. Robinson et ses disciples, ainsi que Mal'cev) s'intéresse à l'algèbre. Pour les premiers, il n'y a pas lieu de borner la complexité des formules considérées, tandis que pour les seconds les formules à prendre en compte ont au plus deux blocs de quantificateurs de même nature (∀x1...∀xpy1...∃yqθ, où θ est sans quantificateur : formules dites ∀∃), voire un seul (∃x1...∃xpθ : formules existentielles, ou ∀x1...∀xpθ : formules universelles). La plupart des résultats présentés dans les chapitres 1 et 2 appartiennent à la première tradition, tandis que le chapitre 3 se place davantage dans la seconde.

Quelques outils fondamentaux

Nous supposons connues les notions de langage du premier ordre L, de L-structure (ou réalisation de L) et de satisfaction d'un énoncé ϕ (formule close, c'est-à-dire sans variable libre) de L, dans une L-structure a, dite modèle de ϕ (on note a ⊨ ϕ). Une théorie de L est, dans le présent contexte, exclusivement sémantique, définie comme un ensemble T d'énoncés de L qui admet un modèle (c'est-à-dire une L-structure satisfaisant tous les énoncés de T). La théorie d'une L-structure a est l'ensemble Th a des énoncés satisfaits dans a. Les théories de structure telles que Th a sont caractérisées par le fait qu'elles sont complètes, c'est-à-dire maximales pour l'inclusion, ou encore contenant, pour chaque énoncé ϕ, soit ϕ soit la négation ¬ϕ. Enfin, deux structures a, b sont élémentairement équivalentes (on note a ≡ b) si Th a = Th b, c'est-à-dire si, pour tout énoncé ϕ, a ⊨ ϕ équivaut à b ⊨ ϕ. Il est clair que deux structures isomorphes (au sens mathématique usuel) sont élémentairement équivalentes, mais la réciproque est fausse : les ensembles Q et R munis de leur ordre habituel sont élémentairement équivalents et non isomorphes (pour une simple raison de cardinalité).

En théorie des modèles, les langages sont en général égalitaires (ils comportent un symbole de relation binaire distingué, l'égalité formelle), ainsi que les structures (l'égalité formelle y est interprétée par l'identité). Aussi nous restreignons-nous dans cet article au cas égalitaire (clause désormais tacite). Nous notons |X| le cardinal d'un ensemble X.

Le théorème de compacité

La théorie des modèles a deux théorèmes fondateurs : le théorème de compacité (ou de finitude) et le théorème de Löwenheim-Skolem (descendant), tous deux très élémentaires. Le premier, qui intervient dans presque tous les résultats de théorie des modèles (sauf précisément dans le second), exprime le caractère fini de la propriété, pour un ensemble d'énoncés, d'admettre un modèle (égalitaire) : « Un ensemble d'énoncés admet un modèle si et seulement si tous ses sous-ensembles finis admettent un modèle. »

Ce théorème, qui, par le détour de la syntaxe, n'est qu'une conséquence immédiate du théorème de complétude, possède diverses démonstrations purement sémantiques, dont l'une, utilisant les ultraproduits, sera exposée au chapitre Ultraproduits.

Extensions, diagrammes, chaînes

Soit a et b deux L-structures d'univers A et B respectivement. Supposons que A ⊆ B et, pour toute formule ϕ de L à n variables libres sans quantificateur [resp. quelconque] et tout n-uple (a1, ..., an) d'éléments de A, que l'énoncé avec paramètres ϕ(a1, ..., an) soit satisfait dans a si et seulement si il l'est dans b. Alors a est appelé une sous-structure [resp. (sous-structure) élémentaire] de b, et b une extension [resp. élémentaire] de a. La notion de sous-structure subsume celle de sous-groupe, sous-espace vectoriel, sous-algèbre, etc. Mais en théorie des modèles (surtout de tradition tarskienne), la notion vraiment centrale est celle de sous-structure élémentaire.

L'une des méthodes pour construire une structure répondant à certaines exigences est de l'obtenir comme extension élémentaire convenable d'une structure donnée. D'où l'importance de la caractérisation suivante. Soit, d [...]

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Écrit par :

  • : professeur de philosophie à l'université de Paris-IV-Sorbonne, ancien directeur du département d'études cognitives, École normale supérieure
  • : maître de recherche au CNRS
  • : docteur ès sciences, professeur de mathématiques à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Daniel ANDLER, Daniel LASCAR, Gabriel SABBAGH, « MODÈLES THÉORIE DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-modeles/