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ALGÉBRIQUES STRUCTURES

Principales espèces de structures algébriques à un seul ensemble de base

Espèces de structures de caractérisation typique S ∈ P(E×E)

Espèce de structure d'ensemble-binairé

Appelons ensemble-binairé un couple (E, R) tel que E soit un ensemble et R = (E, E, G) une relation binaire dans E [habituellement, un tel couple ne reçoit pas de nom, mais on dit parfois « ensemble muni d'une relation binaire », ce qui est un abus de langage lorsque l'on veut désigner par là l'ensemble E et non le couple (E, R)]. Le graphe G de la relation binaire R est une structure que l'on peut appeler structure d'ensemble-binairé ou structure de relation binaire et noter Seb, et l'espèce de structure d'ensemble-binairé a pour caractérisation typique Seb ∈ P(E×E). Un ensemble-binairé (E, R) est dit fini (respectivement infini) si l'ensemble E est fini (respectivement infini).

Soient (E, R) et (E', R') deux ensembles-binairés ; appelons morphisme d'ensembles-binairés de (E, R) vers (E', R') une application f de E dans E' telle que ∀ (a, b), [(a, b) ∈ E×E et R(a, b)] ⇒ R'(f (a), f (b)).

Espèces de structures plus riches que celle d'ensemble-binairé

Espèce de structure d'ensemble-préordonné

Un ensemble-préordonné (habituellement écrit sans trait d'union) est un ensemble-binairé Epo = (E, R) tel que R soit réflexive et transitive. En ce cas, R est une relation de préordre, et l'ensemble Spo des couples (a, b) de E×E tels que R(a, b), c'est-à-dire le graphe de R, est une structure d'ensemble-préordonné ou structure de préordre. On dit que deux éléments a et b de E sont comparables si la relation « R(a, b) ou R(b, a) » est vraie. (E, R) étant un ensemble-préordonné et a et b deux éléments appartenant à E, on note souvent R(a, b) par l'écriture a ≺ b, lue « a avant b ». Exemple : Soient E un ensemble, P(E) l'ensemble de ses parties, R l'ensemble des parties de P(E) qui sont des recouvrements de E (un recouvrementRE d'un ensemble E est un ensemble d'ensembles Xi, i ∈ I, tel que E soit inclus dans la réunion des Xi) et R la relation entre éléments de R définie par : R(RE, R'E) signifie « RE est moins fin que R'E » [c'est-à-dire : si RE = (Xi)i ∈ I et R'E = (Yk)k ∈ K, pour tout k ∈ K, il existe i ∈ I tel que Yk ⊂ Xi] ; alors, R est une relation de préordre (et non d'ordre, cf. ci-dessous, car deux recouvrements distincts peuvent chacun être moins fins que l'autre), et le couple (R, R) est un ensemble-préordonné.

Soient (E, R≺) et (E', R'≺') deux ensembles-préordonnés ; un morphisme d'ensembles-préordonnés de (E, R≺) vers (E', R'≺') est une application f de E dans E' telle que ∀ (a, b), [(a, b) ∈ E×E et a ≺ b] ⇒ f (a) ≺' f (b).

Soient (E, R≺) un ensemble-préordonné et A une partie de E. On appelle minorant de A (pas nécessairement unique, s'il existe), un élément t ∈ E tel que ∀ x, x ∈ A ⇒ t ≺ x, et majorant de A (pas nécessairement unique, s'il existe), un élément s ∈ E tel que ∀ x, x ∈ A ⇒ x ≺ s. Un sous-ensemble A de E est dit minoré (respectivement majoré) s'il admet au moins un minorant (respectivement majorant), et borné s'il est à la fois minoré et majoré. On appelle élément minimal de A (pas nécessairement unique, s'il existe), un élément μ ∈ A tel qu'il n'existe pas d'élément x de A tel que (x ≺ μ et x ( μ), et élément maximal de A (pas nécessairement unique, s'il existe), un élément m ∈ A tel qu'il n'existe pas d'élément [...]

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Écrit par

  • : diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie

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Classification

Pour citer cet article

Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN. ALGÉBRIQUES STRUCTURES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots

    L' algèbre au sens moderne, à savoir l'étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s'est dégagée que très progressivement au cours du xixe siècle, en liaison avec le mouvement général d'axiomatisation de l'ensemble des mathématiques et...

  • KONTSEVITCH MAXIM (1964- )

    • Écrit par Jean-Pierre BOURGUIGNON, Stéphane DELIGEORGES
    • 1 026 mots

    Le mathématicien Maxim Kontsevitch est né le 25 août 1964, à Khimki, près de Moscou d'un père linguiste, spécialiste de l'histoire médiévale de la Corée, et d'une mère ingénieur. Dès l'âge de quatorze ans, il se distingue aux Olympiades de mathématiques, et il intègre une école spéciale. À seize ans,...

  • KRULL WOLFGANG (1899-1970)

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 154 mots

    Mathématicien allemand né à Baden-Baden et mort à Bonn. Wolfgang Krull a formé, avec E. Artin et E. Noether, l'école allemande qui, à partir de 1920, a rénové l'algèbre en mettant systématiquement à la base de cette partie des mathématiques les notions de structure algébrique...

  • MODÈLES THÉORIE DES

    • Écrit par Daniel ANDLER, Daniel LASCAR, Gabriel SABBAGH
    • 7 801 mots
    ...à l'algèbre datent de la fin des années cinquante. Jusque-là, les techniques logiques permettaient d'étudier les propriétés « locales » des structures algébriques, c'est-à-dire celles qui mettent en jeu les sous-structures de type fini, et surtout d'apporter un nouvel éclairage et d'intéressants compléments...

Voir aussi

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