ALGÉBRIQUES STRUCTURES

Principales espèces de structures algébriques à un ensemble de base principal et un ensemble de base auxiliaire

Espèces de structures de caractérisation typique S ∈ P((E×E)×E) × P(A×P(E))

Espèce de structure de groupe-gradué de type A

Soit G = (E, l) un groupe. Une famille de sous-groupes de G est une application f d'un ensemble A dans P(E) telle que, pour tout élément λ de A, (f (λ), l_|_f_(λ)) = G_λ soit un sous-groupe de G. Une graduation de type A sur G est une famille f de sous-groupes distingués de G telle que G soit produit direct de ses sous-groupes G_λ_{_i} = (f (λ_i), l_|_f_(λ_{_i}₎), i appartenant à A. Un groupe-gradué de type A (habituellement écrit sans trait d'union) est un triplet (E, l, f) tel que (E, l) soit un groupe et f une graduation de type A sur (E, l). Comme (E, l, f) = (E, (E×E, E, S_l), (A, P(E), G_f)), S_gg = (S_l, G_f) est une structure de groupe-gradué de type A et S_gg ∈ P((E×E)×E) × P(A×P(E)), E étant l'ensemble de base principal et A l'ensemble de base auxiliaire.

Espèces de structures plus riches que celle de groupe-gradué de type A

Si S_l est une structure d'espèce plus riche que l'espèce de structure de groupe, S_gg = (S_l, G_f) est une structure d'espèce plus riche que l'espèce de structure de groupe-gradué. Par exemple, un groupe-gradué commutatif de type A est un groupe-gradué (E, l, f) de type A tel que (E, l) soit un groupe abélien (qui est alors somme directe des sous-groupes de la famille).

Espèces de structures de caractérisation typique S ∈ P((E×E)×E) × P((E×E)×E) × P((A×A)×A) × P(A×P(E))

Espèce de structure d'anneau-gradué de type (A, l)

Soient A = (E, l_⊤, l_⊥) un anneau, A_m = (A, l_▾) un monoïde commutatif d'élément neutre e_▾ et f une graduation de type A sur le groupe (E, l_⊤), de sorte que (E, l_⊤, f) est un groupe-gradué de type A. La graduation f est dite A_m-compatible avec la structure d'anneau de A (ou compatible avec la structure d'anneau de A) si :

Un anneau-gradué de type (A, l_▾) (habituellement écrit sans trait d'union) est un quadruplet (E, l_⊤, l_⊥, f) tel que A = (E, l_⊤, l_⊥) soit un anneau, (A, l_▾) un monoïde commutatif et f une graduation de [...]

1 2 3 4 5 …
pour nos abonnés,
l’article se compose de 44 pages

Écrit par :

Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN : éditeur, diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie

Classification

Autres références

« ALGÉBRIQUES STRUCTURES » est également traité dans :

ALGÈBRE

Écrit par
Jean-Luc VERLEY
• 7 218 mots

L' algèbre au sens moderne, à savoir l'étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s'est dégagée que très progressivement au cours du xix e siècle, en liaison avec le mouvement général d'axiomatisation de l'ensemble des mathématiques et la préoccupation croissante des mathématiciens de « substituer les idées au calcul » ; jusqu'alors, le propos essentiel de […] Lire la suite

KONTSEVITCH MAXIM (1964- )

Écrit par
Stéphane DELIGEORGES
• 1 021 mots

Le mathématicien Maxim Kontsevitch est né le 25 août 1964, à Khimki, près de Moscou d'un père linguiste, spécialiste de l'histoire médiévale de la Corée, et d'une mère ingénieur. Dès l'âge de quatorze ans, il se distingue aux Olympiades de mathématiques, et il intègre une école spéciale. À seize ans, il entre à l'université et à dix-sept il rédige son premier article. Il semble que ce soit son frè […] Lire la suite

KRULL WOLFGANG (1899-1970)

Écrit par
Jean DIEUDONNÉ
• 153 mots

Mathématicien allemand né à Baden-Baden et mort à Bonn. Wolfgang Krull a formé, avec E. Artin et E. Noether, l'école allemande qui, à partir de 1920, a rénové l'algèbre en mettant systématiquement à la base de cette partie des mathématiques les notions de structure algébrique : groupes, anneaux, corps, idéaux, modules, etc. Ses travaux ont surtout porté sur l'algèbre commutative ; on lui doit la d […] Lire la suite

MODÈLES THÉORIE DES

Écrit par
Daniel ANDLER,
Daniel LASCAR,
Gabriel SABBAGH
• 7 958 mots

Dans le chapitre « Théorie des modèles et algèbre traditionnelle » : […] Il devrait être maintenant clair que les débuts de la théorie des modèles sont assez voisins de l'algèbre générale. Il n'est donc pas étonnant qu'il y ait eu de nombreuses applications de cette théorie à des problèmes purement algébriques. Il faut cependant dire que les premières applications « essentielles » de la théorie des modèles à l'algèbre datent de la fin des années cinquante. Jusque-là, l […] Lire la suite

Pour citer l’article

Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN, « ALGÉBRIQUES STRUCTURES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 octobre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-algebriques/