ALGÉBRIQUES STRUCTURES

Principales espèces de structures algébriques à un ensemble de base principal et un ensemble de base auxiliaire

Espèces de structures de caractérisation typique S ∈ P((E×E)×E) × P(A×P(E))

Espèce de structure de groupe-gradué de type A

Soit G = (E, l) un groupe. Une famille de sous-groupes de G est une application f d'un ensemble A dans P(E) telle que, pour tout élément λ de A, (f (λ), l_|f (λ)) = G_λ soit un sous-groupe de G. Une graduation de type A sur G est une famille f de sous-groupes distingués de G telle que G soit produit direct de ses sous-groupes G_λi = (f (λ_i), l_|f (λi)), i appartenant à A. Un groupe-gradué de type A (habituellement écrit sans trait d'union) est un triplet (E, l, f) tel que (E, l) soit un groupe et f une graduation de type A sur (E, l). Comme (E, l, f) = (E, (E×E, E, S_l), (A, P(E), G_f)), S_gg = (S_l, G_f) est une structure de groupe-gradué de type A et S_gg ∈ P((E×E)×E) × P(A×P(E)), E étant l'ensemble de base principal et A l'ensemble de base auxiliaire.

Espèces de structures plus riches que celle de groupe-gradué de type A

Si S_l est une structure d'espèce plus riche que l'espèce de structure de groupe, S_gg = (S_l, G_f) est une structure d'espèce plus riche que l'espèce de structure de groupe-gradué. Par exemple, un groupe-gradué commutatif de type A est un groupe-gradué (E, l, f) de type A tel que (E, l) soit un groupe abélien (qui est alors somme directe des sous-groupes de la famille).

Espèces de structures de caractérisation typique S ∈ P((E×E)×E) × P((E×E)×E) × P((A×A)×A) × P(A×P(E))

Espèce de structure d'anneau-gradué de type (A, l)

Soient A = (E, l_⊤, l_⊥) un anneau, A_m = (A, l_▾) un monoïde commutatif d'élément neutre e_▾ et f une graduation de type A sur le groupe (E, l_⊤), de sorte que (E, l_⊤, f) est un groupe-gradué de type A. La graduation f est dite A_m-compatible avec la structure d'anneau de A (ou compatible avec la structure d'anneau de A) si :

Un anneau-gradué de type (A, l_▾) (habituellement écrit sans trait d'union) est un quadruplet (E, l_⊤, l_⊥, f) tel que A = (E, l_⊤, l_⊥) soit un anneau, (A, l_▾) un monoïde commutatif et f une graduation de type A sur le groupe (E, l_⊤) A_m-compatible avec la structure d'anneau de A. (E, l_⊤, l_⊥, f) = (E, (E×E, E, S_l⊤), (E×E, E, S_l⊥), (A, P(E), G_f)). S_ag = (S_l⊤, S_l⊥, S_l▾, G_f) peut être appelé une structure d'anneau-gradué de type (A, l_▾) et S_ag ∈ P((E×E)×E) × P((E×E)×E) × P((A×A)×A) × P(A×P(E)), E étant l'ensemble de base principal et A l'ensemble de base auxiliaire. Parmi les structures sous-jacentes à une structure (S_l⊤, S_l⊥, S_l▾, G_f) d'anneau-gradué de type (A, l_▾) figurent : (S_l⊤, S_l⊥), structure d'anneau ; (S_l⊤, G_f), structure de groupe-gradué de type A ; S_l▾, structure de monoïde commutatif. La graduation f telle que (f (e_▾), l_|f (e▾)) = (E, l_⊤) et, pour tout λ appartenant à A et différent de e_▾, (f (λ), l_|f (λ)) = ({e_⊤}, l_⊤|{e⊤}), est dite triviale.

Espèces de structures plus riches que celle d'anneau-gradué de type (A, l)

Si l'une des structures sous-jacentes à une structure d'anneau-gradué de type (A, l_▾) est une structure d'espèce plus riche que les espèces de structures ci-dessus nommées, S_ag = (S_l⊤, S_l⊥, S_l▾, G_f) est une structure d'espèce plus riche que l'espèce de structure d'anneau-gradué de type (A, l_▾) ; c'est le cas, par exemple, d'un corps-gradué de type (A, l_▾), ou d'un corps-gradué commutatif de type G, où G est un groupe abélien.

Espèces de structures de caractérisation typique S ∈ P((A×E)×E) ou S ∈ P((E×A)×E)

Soient E et A deux ensembles. Appelons préloi d'action à gauche (respectivement à droite) de A sur E, ou encore préloi de composition externe à gauche (respectivement à droite) sur E avec A comme ensemble d'opérateurs à gauche (respectivement à droite), une application λ_g = (M_g, E, G_λg) d'une partie M_g du produit cartésien A×E [respectivement une application λ_d = (M_d, E, G_λd) d'une partie M_d du produit cartésien E×A] dans E ; G_λg (respectivement G_λd), graphe de λ_g (respectivement de λ_d), est donc une partie de M_g×E (respectivement de M_d×E), et donc une partie de (A×E)×E [respectivement de (E×A)×E]. Une loi d'action à gauche (respectivement à droite) de A sur E, appelée aussi loi de composition externe à gauche (respectivement à droite) sur E avec A comme ensemble d'opérateurs à gauche (respectivement à droite), est une application l_g = (A×E, E, G_lg) [respectivement l_d = (E×A, E, G_ld)] du produit cartésien A×E (respectivement E×A) dans E ou, en d'autres termes, une préloi d'action à gauche (respectivement à droite) λ = (M, E, G) de A sur E [...]

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