GROUPES (mathématiques)Généralités
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Quelques exemples
Dans de nombreux cas, les éléments d'un groupe G seront réalisés comme des bijections d'un ensemble E sur lui-même ; par définition, le produit ab de deux telles bijections est alors la bijection composée obtenue en faisant d'abord b, puis a. L'ensemble Σ(E) de toutes les bijections d'un ensemble E est un groupe, appelé le groupe symétrique de l'ensemble E, pour la loi de composition ainsi définie.
Groupes cycliques
Un groupe G est dit cyclique s'il est engendré par un de ses éléments a. Tout élément de G est ainsi une puissance de a, et G est donc commutatif. Par exemple, le groupe additif Z des entiers relatifs est engendré par l'élément 1 ; car, avec les notations ci-dessus, n = n1. Si G est un groupe cyclique quelconque (on revient à la notation multiplicative), engendré par a ∈ G, l'application :


Groupes diédraux
Pour n ≥ 3, on appelle groupe diédral Dn le groupe des rotations et des symét [...]
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Écrit par :
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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GROUPES (mathématiques) - Vue d'ensemble
Les idées de symétrie et de régularité se retrouvent dans toutes les civilisations, bien avant que ne fût conçue la notion de groupe : par exemple, presque tous les groupes discrets de déplacements du plan (il y en a dix-sept types non isomorphes) sont sous-jacents aux multiples ornements géométriques imaginés par les artistes arabes. […] Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie
Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les directions de la […] Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes finis
Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan. Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de […] Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes
Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux classer les représentations linéaires, sont vitaux pour […] Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie
La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les […] Lire la suite
ALGÈBRE
Dans le chapitre « La structure de groupe » : […] La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et H. Poincaré a pu dire que la notion de groupe préexiste dans notre esprit car la géométrie ne se c […] Lire la suite
ALGÉBRIQUES STRUCTURES
Dans le chapitre « Espèce de structure de groupe-gradué de type A » : […] Soit G = (E, l ) un groupe. Une famille de sous-groupes de G est une application f d'un ensemble A dans P (E) telle que, pour tout élément λ de A, ( f (λ), l | f (λ) ) = G λ soit un sous-groupe de G . Une graduation de type A sur G est une famille f de sous-groupes distingués de G telle que G soit produit direct de ses sous-groupes G λ i = ( f (λ i ), l | f (λ i ) ), i apparte […] Lire la suite
BOREL ARMAND (1923-2003)
En 1992, le mathématicien Armand Borel a reçu le prix international Balzan « pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action inlassable en faveur de la recherche mathématique et de la propagation des idées nouvelles ». En effet, il excellait tant dans la recherche fondamentale que dans l'animation et l'o […] Lire la suite
BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)
Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches jusqu'en 1885. Dans son premier article, daté de 1883, il étudie certaines propriétés des fonctions ell […] Lire la suite
CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)
Dans le chapitre « Une production considérable » : […] La production de Cauchy a été considérable ; même ses contemporains lui reprochaient à juste titre sa hâte inconsidérée à livrer souvent à l'impression des débauches indignes de son génie, et il y a évidemment un déchet non négligeable dans le demi-millier de notes qu'il a publiées aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Il n'en est pas moins vrai que, même en faisant abstraction de ses tr […] Lire la suite
Voir aussi
Pour citer l’article
Jean-Luc VERLEY, « GROUPES (mathématiques) - Généralités », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-generalites/