GROUPES (mathématiques)Généralités

Un groupe G est dit cyclique s'il est engendré par un de ses éléments a. Tout élément de G est ainsi une puissance de a, et G est donc commutatif. Par exemple, le groupe additif Z des entiers relatifs est engendré par l'élément 1 ; car, avec les notations ci-dessus, n = n1. Si G est un groupe cyclique quelconque (on revient à la notation multiplicative), engendré par a ∈ G, l'application :

est un morphisme surjectif de Z sur G. Si ce morphisme est injectif, c'est un isomorphisme. Dans le cas contraire, il existe des entiers n et n′ distincts tels que aⁿ = aⁿ′ ; si on suppose n′ > n, on en déduit a^n-n′ = 1. Désignons par p le plus petit entier positif tel que a^p = 1 ; les éléments :sont donc distincts et ce sont les seuls éléments du groupe G, car pour tout entier n on a : aⁿ = a^pq+r = a^r si n = pq + r est l'identité de division euclidienne de n par p, avec r ∈ {0, 1, ..., p − 1}. Ainsi tout groupe cyclique infini est isomorphe à Z ; tous les groupes cycliques finis de même ordre p sont isomorphes entre eux. On désignera le groupe cyclique d'ordre p par C_p. On peut le réaliser comme l'ensemble des rotations du plan de centre O et d'« angles » 2 kπ/p, k = 0, 1, ..., p − 1, la loi de groupe étant la composition des rotations, ou encore comme l'ensemble des rotations d'angle 2 kπ/p autour de l'axe Oz dans l'espace à trois dimensions. Remarquons que le groupe multiplicatif des racines p-ièmes de l'unité dans le corps des nombres complexes (cf. nombres complexes) est aussi une réalisation de ce groupe.