NOMBRES COMPLEXES

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Introduits à l'origine comme symboles purement formels destinés à rendre compte des propriétés des équations algébriques, les nombres imaginaires sont d'un usage courant au xviiie siècle, mais ce n'est qu'au siècle suivant qu'ils seront définis et utilisés correctement, avec la rigueur qui caractérise les préoccupations des mathématiciens du xixe siècle. Et c'est alors le prodigieux essor de la théorie des fonctions d'une variable complexe et l'entrée en force des imaginaires dans presque tous les domaines des mathématiques. De nos jours, les nombres complexes interviennent de manière essentielle, comme un cadre naturel, dans maintes théories mathématiques et physiques.

Historique

Les nombres « impossibles »

Alors que de nombreux mathématiciens (dont Viète) hésitaient encore à utiliser les nombres négatifs, les algébristes italiens du xvie siècle, Cardan et ses élèves, s'enhardirent à introduire dans les calculs des symboles purement formels − a> 0, représentant le résultat de l'extraction « impossible » de la racine carrée du nombre négatif − a ; ils décrivent en détail des règles de calcul permettant de manipuler ces nouveaux « nombres », appelés par eux nombres impossibles.

À l'origine, il s'agissait seulement de donner des racines à toutes les équations du second degré ; les résultats obtenus dans l'étude de l'équation du troisième degré allaient familiariser les mathématiciens avec ces symboles et mettre en évidence leur rôle comme intermédiaire commode de calcul dans de nombreux cas. Au moyen de la formule dite de Cardan, Bombelli montre, en 1572, que la racine x = 4 de l'équation x3 = 15 x + 4 peut s'écrire :

mettant par là en évidence le fait que certaines quantités réelles peuvent être représentées par des expressions en apparence imaginaires. Ainsi, la formule de Cardan permet de représenter des racines réelles par l'intermédiaire d'opérations effectuées sur des nombres impossibles, ou « imaginaires ». Les nombres imaginaires fournissent donc des méthodes de calcul, de nature certes mystérieuse, mais qui permettent d'obtenir des résultats « vrais » qu'il serait souvent beaucoup plus long ou beaucoup plus difficile d'obtenir directement.

Pour ces raisons, somme toute empiriques, les mathématiciens utilisèrent avec une confiance croissante les nombres imaginaires depuis le début du xviie siècle. Dès 1629, A. Girard soupçonnait que toute équation de degré n a n racines réelles ou imaginaires, ce qui revenait à pressentir que les nombres imaginaires constituent le cadre « naturel » de la théorie des équations. À partir de 1675, Leibniz applique avec succès ses méthodes (de développements en série par exemple) aux nombres imaginaires et obtient ainsi de nombreux résultats, tandis qu'A. de Moivre, au début du xviiie siècle, met en évidence, par une utilisation systématique de la trigonométrie, les liens entre la recherche des racines des nombres imaginaires et la division d'un arc de circonférence en parties égales.

La possibilité, admise implicitement, d'étendre aux nombres complexes la plupart des notions relatives aux nombres réels allait se trouver mise en question par la controverse des logarithmes des nombres complexes, dont l'intérêt était apparu, par analogie avec le cas des pôles réels, dans l'intégration des fractions rationnelles. Les différentes formules contradictoires obtenues suscitèrent contre les imaginaires un vent de méfiance, qui fut dissipé par L. Euler ; celui-ci comprit qu'il fallait abandonner le caractère univoque du logarithme pour obtenir une théorie satisfaisante et établit d'innombrables formules relatives aux fonctions élémentaires d'une variable complexe.

À la fin du xviiie siècle, les imaginaires sont d'usage courant, mais leur « existence mathématique » véritable n'est pas établie ; c'est aux mathématiciens du xixe siècle qu'il appartenait de les construire à partir des quantités connues, de leur donner une « réalité mathématique ». Avec Cauchy, c'est le prodigieux essor de la théorie des fonctions d'une variable complexe et le début de l'analyse contemporaine (cf. analyse mathématique et fonctions analy- tiques).

Théorie géométrique

L'idée, non seulement de représenter les nombres imaginaires par les points du plan, exprimée maladroitement par Wallis dès 1685, mais de les définir à partir de ces notions, est apparue dans deux mémoires, passés inaperçus à l'époque, du Danois Wessel (1798) et du Suisse Argand (1806). En fait, c'est Cauchy qui diffusera ce point de vue.

Dans le plan muni de deux axes de coordonnées Ox et Oy, on dira que les vecteurs d'origine O portés par Ox définissent les nombres réels, tandis que les autres vecteurs d'origine O définissent les nombres imaginaires ; le terme nombres complexes recouvre à la fois les nombres réels et les nombres imaginaires.

L'addition des nombres complexes se définit à partir de l'addition usuelle des vecteurs. Pour la multiplication, on fait la construction suivante : soit OU le vecteur unitaire de l'axe Ox ; le vecteur OC « produit » des vecteurs OA et OB s'obtient alors en construisant sur OA un triangle OAC directement semblable au triangle OUB. À partir de là, on retrouve géométriquement toutes les propriétés des nombres complexes.

Théorie géométrique

Dessin : Théorie géométrique

 

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Le nombre complexe i est défini par le vecteur unitaire de l'axe Oy, et la multiplication d'un vecteur OA par i revient donc à prendre un vecteur OA′ directement perpendiculaire à OA ; répétant cette opération, on obtient le vecteur OA″ opposé du vecteur OA, c'est-à-dire que la multiplication par i2 revient à multiplier par le nombre réel − 1.

Théorie arithmétique

La théorie géométrique présente l'inconvénient de subordonner toutes les propriétés algébriques des nombres complexes à des considérations géométriques qui peuvent sembler étrangères. La théorie arithmétique, due à Hamilton (1835), consiste à considérer les nombres complexes comme des couples de nombres réels et à définir la somme et le produit par des formules explicites ; nous n'insisterons pas davantage ici sur cette approche, que nous exposerons ci-dessous. Ce point de vue conduit à essayer de définir plus généralement des opérations d'addition et de multiplication pour des systèmes de n nombres réels et a conduit Hamilton à introduire les quaternions et plus généralement les algèbres de dimension finie (appelées, au xixe siècle, systèmes hypercomplexes  ; cf. anneaux et algèbres).

Les équivalences algébriques

Dès 1847, Cauchy considère que les calculs sur les nombres complexes reviennent à calculer sur les polynômes en la variable i, soumis aux règles usuelles de l'algèbre, en remplaçant i2 + 1 par 0 ; cela revient à considérer que deux polynômes sont équivalents, c'est-à-dire définissent le même nombre complexe, si leur différence est divisible par X2 + 1. Dans le langage contempo [...]

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Théorie géométrique

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Racines 6es de 1

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  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « NOMBRES COMPLEXES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 29 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-complexes/