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GROUPES (mathématiques) Généralités

Produits

Soit n groupes G1, ..., Gn. L'ensemble produit :

est un groupe, appelé groupe produit, pour la loi de composition :
si H1, H2, ..., Hn sont des sous-groupes de G1, G2, ..., Gn respectivement, le groupe produit :
est un sous-groupe de G, distingué si chacun des Hi l'est. Prenons en particulier Hi = Gi et Hj = {1} pour j ≠ i ; le groupe produit est un sous-groupe distingué de G isomorphe à Gi et nous identifierons ces deux groupes. Remarquons que, en effectuant cette identification, tout élément de Gi commute avec tout élément de Gj pour i ≠ j.

Dans la situation précédente, le groupe G apparaît comme produit de certains de ses sous-groupes et les groupes obtenus en changeant l'ordre des groupes facteurs sont isomorphes.

On dira qu'un groupe G est produit direct d'une famille finie H1, ..., Hn de sous-groupes distincts de G si tout élément de Hi commute avec tout élément de Hj pour i ≠ j et si tout élément u de G s'écrit de manière unique comme un produit :

on dit que ui est le composant de u dans Hi. Cela entraîne que les Hi sont des sous-groupes distingués de G et que l'application :
est un isomorphisme du groupe produit H1 × ... × Hn sur le groupe G. Si H1, H2, ..., Hn sont des sous-groupes distingués d'un groupe G tels que :
on montre que l' ensemble H1 H2 ... Hn est un sous-groupe distingué de G qui est produit direct de la famille considérée.

Un sous-groupe distingué H d'un groupe K est dit facteur direct dans G s'il existe un sous-groupe distingué K de G tels que G soit égal au produit direct de H et K ; remarquons que le groupe K est alors isomorphe au groupe quotient G/H.

En notation additive, on parle de somme directe au lieu de produit direct.

Le produit direct permet de définir une nouvelle et importante classe de groupes (cf. groupes – Groupes classiques et géométrie et groupes – Groupes de Lie). Un groupe G est dit semi-simple s'il est produit direct d'un nombre fini de sous-groupes simples (c'est-à-dire dont les seuls sous-groupes distingués sont triviaux). On montre que le nombre de ces sous-groupes, appelé la longueur de G, est le même pour toutes les expressions de G comme produit direct de sous-groupes simples. Si G est produit direct d'une famille finie (Hi), i ∈ I, de sous-groupes simples, tout sous-groupe distingué K est isomorphe au produit direct d'une sous-famille (Hj), j ∈ J, J ⊂ I ; en particulier tout sous-groupe distingué est semi-simple, de longueur inférieure ou égale à celle de G (avec égalité des longueurs si et seulement si K = G). Il en est de même des groupes quotients d'un groupe semi-simple.

On va maintenant généraliser la notion de produit direct. Soit H et K deux groupes, et soit donné, pour tout x ∈ H, x ↦ τx un morphisme de H dans le groupe Aut (K) des automorphismes de K. On appelle produit semi-direct de H par K relatif à τ l'ensemble H × K, muni de la loi de composition :

qui est un groupe ; on notera H ×τ K ce produit semi-direct. Si τx(y) = y pour tout x ∈ H, on retrouve le produit direct défini ci-dessus. On vérifie que les éléments de la forme (x, 1), x ∈ H, forment un sous-groupe de G isomorphe à H et que les éléments de la forme (l, y), y ∈ K, forment un sous-groupe distingué de G isomorphe à K. Réciproquement, soit G un groupe, H un sous-groupe de G et K un sous-groupe distingué de G tel que H ∩ K = {1}. Cela a pour conséquence que xy = x′y′, pour x, x′ ∈ H et y, y′ ∈ K, entraîne x = x′ et y =y′ (car on a alors x′-1x = y′y-1 ∈ H ∩ K, d'où x′-1 x = y′y-1 = 1). Puisque K est distingué, pour tout x ∈ H, l'automorphisme intérieur défini par x-1 induit un automorphisme de K que nous désignerons par τx. On voit alors facilement[...]

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Écrit par

  • Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer cet article

Jean-Luc VERLEY, « GROUPES (mathématiques) - Généralités », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :

Média

Groupe des symétries du cube

Groupe des symétries du cube

Encyclopædia Universalis France

Groupe des symétries du cube

Groupe des symétries du cube.

Encyclopædia Universalis France

Autres références

  • ALGÉBRIQUES STRUCTURES

    • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
    • 29 463 mots
    Un groupe peut être défini indifféremment comme un monoïde (E, l) tel que tout élément de E soit symétrisable, ou comme un magma associatif unifère (E, l) tel que tout élément de E soit symétrisable, ou comme un groupoïde ayant un et un seul élément neutre. Tout semi-groupe fini est un groupe....

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots
    La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et...

  • BOREL ARMAND (1923-2003)

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  • BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

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    Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches...

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