GROUPES (mathématiques)Généralités

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Produits

Soit n groupes G1, ..., Gn. L'ensemble produit :

est un groupe, appelé groupe produit, pour la loi de composition :
si H1, H2, ..., Hn sont des sous-groupes de G1, G2, ..., Gn respectivement, le groupe produit :
est un sous-groupe de G, distingué si chacun des Hi l'est. Prenons en particulier Hi = Gi et Hj = {1} pour ≠ i ; le groupe produit est un sous-groupe distingué de G isomorphe à Gi et nous identifierons ces deux groupes. Remarquons que, en effectuant cette identification, tout élément de Gi commute avec tout élément de Gj pour ≠ j.

Dans la situation précédente, le groupe G apparaît comme produit de certains de ses sous-groupes et les groupes obtenus en changeant l'ordre des groupes facteurs sont isomorphes.

On dira qu'un groupe G est produit direct d'une famille finie H1, ..., Hn de sous-groupes distincts de G si tout élément de Hi commute avec tout élément de Hj pour ≠ j et si tout élément u de G s'écrit de manière unique comme un produit :

on dit que ui est le composant de u dans Hi. Cela entraîne que les Hi sont des sous-groupes distingués de G et que l'application :
est un isomorphisme du groupe produit H1 × ... × Hn sur le groupe G. Si H1, H2, ..., Hn sont des sous-groupes distingués d'un groupe G tels que :
on montre que l'ensemble H1 H2 ... Hn est un sous-groupe distingué de G qui est produit direct de la famille considérée.

Un sous-groupe distingué H d'un groupe K est dit facteur direct dans G s'il existe un sous-groupe distingué K de G tels que G soit égal au produit direct de H et K ; remarquons que le groupe K est alors isomorphe au groupe quotient G/H.

En notation additive, on parle de somme directe au lieu de produit direct.

Le produit direct permet de définir une nouvelle et importante classe de groupes (cf. groupes – Groupes classiques et géométrie et groupes – Groupes de Lie). Un groupe G est dit semi-simple s'il est produit direct d'un nombre fini de sous-groupes simples (c'est-à-dire dont les seuls sous-groupes distingués sont triviaux). On montre que le nombre de ces sous-groupes, appelé la longueur de G, est le même pour toutes les ex [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « GROUPES (mathématiques) - Généralités », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 octobre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-generalites/