GROUPES (mathématiques)Généralités

Soit n groupes G₁, ..., G_n. L'ensemble produit :

est un groupe, appelé groupe produit, pour la loi de composition :si H₁, H₂, ..., H_n sont des sous-groupes de G₁, G₂, ..., G_n respectivement, le groupe produit :est un sous-groupe de G, distingué si chacun des H_i l'est. Prenons en particulier H_i = G_i et H_j = {1} pour j ≠ i ; le groupe produit est un sous-groupe distingué de G isomorphe à G_i et nous identifierons ces deux groupes. Remarquons que, en effectuant cette identification, tout élément de G_i commute avec tout élément de G_j pour i ≠ j.

Dans la situation précédente, le groupe G apparaît comme produit de certains de ses sous-groupes et les groupes obtenus en changeant l'ordre des groupes facteurs sont isomorphes.

On dira qu'un groupe G est produit direct d'une famille finie H₁, ..., H_n de sous-groupes distincts de G si tout élément de H_i commute avec tout élément de H_j pour i ≠ j et si tout élément u de G s'écrit de manière unique comme un produit :

on dit que u_i est le composant de u dans H_i. Cela entraîne que les H_i sont des sous-groupes distingués de G et que l'application :est un isomorphisme du groupe produit H₁ × ... × H_n sur le groupe G. Si H₁, H₂, ..., H_n sont des sous-groupes distingués d'un groupe G tels que :on montre que l'ensemble H₁ H₂ ... H_n est un sous-groupe distingué de G qui est produit direct de la famille considérée.

Un sous-groupe distingué H d'un groupe K est dit facteur direct dans G s'il existe un sous-groupe distingué K de G tels que G soit égal au produit direct de H et K ; remarquons que le groupe K est alors isomorphe au groupe quotient G/H.

En notation additive, on parle de somme directe au lieu de produit direct.

Le produit direct permet de définir une nouvelle et importante classe de groupes (cf. groupes – Groupes classiques et géométrie et groupes – Groupes de Lie). Un groupe G est dit semi-simple s'il est produit direct d'un nombre fini de sous-groupes simples (c'est-à-dire dont les seuls sous-groupes distingués sont triviaux). On montre que le nombre de ces sous-groupes, appelé la longueur de G, est le même pour toutes les ex [...]