GROUPES (mathématiques)Généralités
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Produits
Soit n groupes G1, ..., Gn. L'ensemble produit :



Dans la situation précédente, le groupe G apparaît comme produit de certains de ses sous-groupes et les groupes obtenus en changeant l'ordre des groupes facteurs sont isomorphes.
On dira qu'un groupe G est produit direct d'une famille finie H1, ..., Hn de sous-groupes distincts de G si tout élément de Hi commute avec tout élément de Hj pour i ≠ j et si tout élément u de G s'écrit de manière unique comme un produit :



Un sous-groupe distingué H d'un groupe K est dit facteur direct dans G s'il existe un sous-groupe distingué K de G tels que G soit égal au produit direct de H et K ; remarquons que le groupe K est alors isomorphe au groupe quotient G/H.
En notation additive, on parle de somme directe au lieu de produit direct.
Le produit direct permet de définir une nouvelle et importante classe de groupes (cf. groupes – Groupes classiques et géométrie et groupes – Groupes de Lie). Un groupe G est dit semi-simple s'il est produit direct d'un nombre fini de sous-groupes simples (c'est-à-dire dont les seuls sous-groupes distingués sont triviaux). On montre que le nombre de ces sous-groupes, appelé la longueur de G, est le même pour toutes les ex [...]
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Écrit par :
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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Pour citer l’article
Jean-Luc VERLEY, « GROUPES (mathématiques) - Généralités », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 avril 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-generalites/