MATHÉMATIQUE

La mathématique est une science hypothético-déductive qui, en développant un langage autonome, élabore et étudie des notions abstraites liées les unes aux autres et souvent capables de fournir des modèles et des processus opératoires permettant de mieux comprendre de nombreux aspects du monde observable, en particulier lorsque peuvent être invoquées des idées de quantité, de forme et de partie de quelque chose.

Riche d'une histoire immémoriale, elle a pris un essor prodigieux et unificateur au cours du xxe siècle. Son étude et sa pratique constituent, par la difficulté de certaines de ses parties et par la rectitude de raisonnement qu'elle exige, un exercice formateur de l'intelligence et de la volonté. Par la beauté de sa construction théorique structurée et de certains de ses aspects plus visibles (courbes, surfaces...), et par le plaisir que l'on peut éprouver à la résolution de certains problèmes, la mathématique est aussi un espace esthétique et ludique sans fin. Par la rigueur de la pensée et l'honnêteté dans les résultats qu'elle exige, et par un mélange de liberté relative dans les notions définissables et d'humilité devant les limitations rencontrées, la mathématique peut éduquer à la probité intellectuelle.

Une science hypothético-déductive

S'appuyant sur une logique généralement bivalente (à deux valeurs : vrai et faux), la mathématique se développe à partir d'un petit nombre de notions premières indéfinissables, d'hypothèses appelées axiomes, non démontrables mais mettant en relation ces notions premières, et de règles permettant de définir de nouvelles notions, de former des expressions et d'en déduire de nouvelles. Parmi les notions premières, les principales sont celles d'ensemble et d'appartenance, qui sont liées par divers axiomes pour former la théorie des ensembles.

Les objets mathématiques, c'est-à-dire les entités abstraites que définit (ou adopte comme notions premières indéfinissables) et étudie la mathématique, sont soit des ensembles, soit (pour re [...]


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  • : éditeur, diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie

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ABEL PRIX

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L'algèbre au sens moderne, à savoir l'étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s'est dégagée que très progressivement au cours du xixe siècle, en liaison avec le mouvement général d'axiomatisation de l'ensemble des mathématiques et la préoccupation croissante […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/#i_26744

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ANNEAUX COMMUTATIFS

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ANNEAUX & ALGÈBRES

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Le calcul infinitésimal des fonctions de plusieurs variables a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d'un seul argument. Inauguré avec un siècle de retard, il ne parvient à établir solidement ses fondements qu'au début du xxe siècle […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-plusieurs-variables/#i_26744

COMBINATOIRE ANALYSE

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L'analyse combinatoire est l'ensemble des techniques qui servent, en mathématiques, à compter (ou dénombrer) certaines structures finies, ou à les énumérer (établir des listes exhaustives de structures considérées), enfin à démontrer leur existence […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-combinatoire/#i_26744

COMPACITÉ, mathématique

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La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/compacite-mathematique/#i_26744

COMPLEXITÉ, mathématique

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Au cœur de l'informatique théorique, la théorie du calcul – ou théorie de la calculabilité – née dans la décennie 1930 des travaux de Kurt Gödel (1906-1978), Alan Turing (1912-1954) et Alonzo Church (1903-1995), répond à des questions sur ce qui est faisable dans l'absolu par le calcul avec un ordinateur. Elle énonce des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/complexite-mathematique/#i_26744

CONIQUES

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
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L'étude des coniques a été pendant deux millénaires le terrain de prédilection des géomètres qui ont accumulé sur ce sujet d'innombrables théorèmes. Dès la fin du iiie siècle avant J.-C., les mathématiciens avaient obtenu par des méthodes purement géométriques des résultats très complets : le […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/coniques/#i_26744

CONNEXITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 002 mots

L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ℝ des nombres réels, et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue, si I est un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/connexite-mathematique/#i_26744

CONSTRUCTION, mathématique

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  • André WARUSFEL
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Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xixe siècle et surtout le début du xxe, on a mis au point une méthode axiomatique […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/construction-mathematique/#i_26744

CONTINUITÉ, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
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L'idée de continuité remonte à l'Antiquité, en particulier aux mathématiciens et philosophes grecs, dont Aristote (385 env.-322 av. J.-C.), et a longuement évolué, mais elle n'a pu prendre sa forme mathématique générale et rigoureuse que lorsque les premiers éléments de la théorie axiomatique des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/continuite-mathematique/#i_26744

CONVEXITÉ - Ensembles convexes

  • Écrit par 
  • Victor KLEE
  •  • 4 796 mots
  •  • 7 médias

Un sous-ensemble C d'un espace vectoriel réel E est dit convexe si, pour tout couple de points quelconques de C, le segment qui a pour extrémités ces deux points est entièrement contenu dans C. Par exemple, un cube est convexe, mais sa surface ne l'est pas, car elle ne contient le segment d'extrémités x et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/convexite-ensembles-convexes/#i_26744

CONVEXITÉ - Fonctions convexes

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND
  •  • 2 839 mots
  •  • 6 médias

L'étude des fonctions convexes a permis de fournir un cadre dans lequel peut se résoudre toute une classe de problèmes d'analyse fonctionnelle non linéaire ; les problèmes ainsi abordés sont des questions d'optimisation provenant de divers domaines : la mécanique, l'économie, les équations aux dérivées partielles, l'analyse […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/convexite-fonctions-convexes/#i_26744

CORPS, mathématiques

  • Écrit par 
  • Robert GERGONDEY
  • , Universalis
  •  • 6 416 mots

La structure de corps n'est en fait qu'un cas particulier de la structure plus générale d'anneau ; en plus des axiomes généraux, on stipule que le groupe multiplicatif des éléments inversibles est le complémentaire de 0. Les corps sont donc les domaines dans lesquels les opérations habituelles du calcul sont valables, y compris la division par un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/corps-mathematiques/#i_26744

COURBES ALGÉBRIQUES

  • Écrit par 
  • Luc GAUTHIER
  •  • 4 355 mots
  •  • 8 médias

En fondant la géométrie analytique, Descartes avait substitué au plan de la géométrie d'Euclide l'ensemble R2 des couples de nombres réels et, de ce fait, à la notion de courbe, celle d'équation. La construction d'un point, puis la détermination d'un lieu géométrique se […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/courbes-algebriques/#i_26744

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)  - Analyse numérique

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS, 
  • Martin ZERNER
  •  • 6 000 mots
  •  • 7 médias

Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-analyse-numerique/#i_26744

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)  - Équations non linéaires

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS
  •  • 10 861 mots
  •  • 3 médias

L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-equations-non-lineaires/#i_26744

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)  - Sources et applications

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
  •  • 6 319 mots
  •  • 1 média

On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-sources-et-applications/#i_26744

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)  - Théorie linéaire

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
  •  • 5 497 mots

Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-theorie-lineaire/#i_26744

DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Christian COATMELEC, 
  • Maurice ROSEAU
  • , Universalis
  •  • 12 432 mots

Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Si, dans les premières investigations, l'on s'attachait surtout à en calculer les solutions au moyen de fonctions déjà connues, très vite ce point de vue s […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-differentielles/#i_26744

DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, 
  • Marcel DAVID, 
  • Universalis
  •  • 6 367 mots
  •  • 1 média

Diophante d'Alexandrie, vers les années 250 de notre ère, fut le premier à rechercher systématiquement les solutions en nombres entiers, ou rationnels, d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Bien que ce ne soit qu'avec Fermat (1601-1665) que les méthodes utilisées pour résoudre ces équations prirent un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/#i_26744

DISTRIBUTIONS, mathématiques

  • Écrit par 
  • Paul KRÉE
  •  • 5 253 mots
  •  • 1 média

Il est arrivé à plusieurs reprises que certaines exigences de la physique, par exemple, aient conduit les utilisateurs des mathématiques à des « calculs » non rigoureusement justifiables au moyen des concepts mathématiques existants, mais qui traduisaient avec succès la réalité expérimentale. C'est ainsi que l'ingénieur Heaviside introduisit dans l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/distributions-mathematiques/#i_26744

DYSCALCULIE DÉVELOPPEMENTALE

  • Écrit par 
  • Marie-Pascale NOËL
  •  • 1 159 mots

développementale est une difficulté sévère de l’apprentissage des mathématiques qui n’est pas due à une déficience mentale, un déficit sensoriel ou un enseignement inapproprié. Ce trouble n’est pas non plus la conséquence d’une pathologie cérébrale acquise, sinon, on parlerait d’acalculie acquise. Entre 3 et 6 p. 100 des enfants ayant une […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/dyscalculie-developpementale/#i_26744

ÉCONOMIE (Définition et nature) - Une science trop humaine ?

  • Écrit par 
  • Bernard GUERRIEN
  •  • 4 849 mots

Dans le chapitre « Économie et mathématiques  »  : […] et les revues académiques ne peuvent qu'impressionner par la place qu'y occupent les mathématiques, parfois très complexes ; les économistes sont probablement, avec les physiciens, les plus gros utilisateurs de mathématiques avancées. Il y a là de quoi surprendre : les mathématiques étant synonymes de rigueur et de précision, comment expliquer qu' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/economie-definition-et-nature-une-science-trop-humaine/#i_26744

ÉCONOMIE (Définition et nature) - Enseignement de l'économie

  • Écrit par 
  • Jean-Marc DANIEL
  •  • 5 519 mots

Dans le chapitre «  L'institutionnalisation de la recherche en économie »  : […] scientifique d'économie appliquée (I.S.E.A.), qu'il transforme ensuite en I.S.M.É.A., le « M » signifiant mathématique, comme pour insister sur la nécessité d'introduire systématiquement les mathématiques dans toute approche économique. Cette volonté correspond à une nécessité pratique de recours à des mécanismes mathématiques. La révolution […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/economie-definition-et-nature-enseignement-de-l-economie/#i_26744

ENSEMBLES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • André ROUMANET, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 8 749 mots
  •  • 20 médias

L'algèbre des ensembles et l'étude abstraite des relations sont d'une importance croissante dans toutes les disciplines qui cherchent à s'exprimer dans un cadre rigoureux. En mathématiques, c'est l'interrogation sur les fondements de cette science, ainsi que les tentatives de formalisation des opérations logiques de la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ensembles-theorie-des-theorie-elementaire/#i_26744

ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Gilles LACHAUD
  •  • 1 488 mots

Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equation-mathematique/#i_26744

ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

  • Écrit par 
  • Jean ITARD
  •  • 5 787 mots

Dès la plus haute antiquité, on rencontre, à l'occasion de problèmes concrets, des exemples de résolution d'équations du premier et du second degré, et, jusqu'au début du xixe siècle, l'étude des équations constitue l'unique préoccupation des algébristes […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-algebriques/#i_26744

ERGODIQUE THÉORIE

  • Écrit par 
  • Antoine BRUNEL
  •  • 3 358 mots

Ergodique vient du mot grec ἔργον qui signifie travail. C'est en effet d'un problème de mécanique que la théorie ergodique est issue. À l'origine se trouve une hypothèse de la théorie cinétique des gaz, audacieusement posée par L. Boltzmann en 1885, qui permettait aux physiciens de résoudre une difficulté liée à l'étude des systèmes mécaniques à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-ergodique/#i_26744

ESPACE, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Marc SCHLENKER
  •  • 1 669 mots

La géométrie antique, telle qu'elle apparaît dans les Éléments d'Euclide, propose une vision formalisée de l'espace. Elle traite d'objets géométriques idéalisés – points, droites, polyèdres, sections coniques, etc. – selon leurs propriétés d'incidence et leurs mesures (longueurs, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/espace-mathematique/#i_26744

EXPONENTIELLE & LOGARITHME

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 280 mots
  •  • 8 médias

Pour les constructeurs des premières tables, les logarithmes étaient avant tout un outil de calcul numérique ; mais leur importance n'a cessé de croître. Il suffira de feuilleter cette encyclopédie pour constater que, de nos jours, les logarithmes et les exponentielles interviennent dans tous les domaines de l'activité […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/exponentielle-et-logarithme/#i_26744

FIELDS MÉDAILLE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 775 mots

Médaille des prix internationaux de mathématiques, qui est, avec le prix Abel (depuis 2003), l'une des plus hautes distinctions dans cette science. C'est selon le désir posthume du mathématicien canadien John Charles Fields (1863-1932) que le IXe Congrès international des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/medaille-fields/#i_26744

FONCTION, mathématiques

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 286 mots

Depuis l'introduction en mathématique du mot « fonction » et de la notation y = f (x) par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1692, à propos de parties de droites dépendant d'un point variable sur une courbe, cette notion, déjà présente implicitement dans la pensée de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonction-mathematiques/#i_26744

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
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On se propose, dans ce premier article, d'exposer, avec des démonstrations quasiment complètes, les résultats les plus élémentaires de la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe ; les deux derniers chapitres sont consacrés à quelques résultats sans démonstration. Historiquement, l'extension au cas complexe de nombreuses fonctions […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-d-une-variable-complexe/#i_26744

FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 5 478 mots
  •  • 10 médias

La représentation conforme la plus anciennement connue est la projection stéréographique, inventée par les Grecs (Hipparque, Ptolémée). Les problèmes cartographiques conduisirent à la découverte d'autres applications conservant les angles d'un domaine sphérique sur un domaine plan, telle la projection de Mercator (xvi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-representation-conforme/#i_26744

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire

  • Écrit par 
  • Michel HERVÉ
  •  • 3 205 mots
  •  • 1 média

Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xixe siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la base de la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-elliptiques-et-modulaire/#i_26744

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes

  • Écrit par 
  • André MARTINEAU, 
  • Henri SKODA
  •  • 8 734 mots

La notion de fonction holomorphe de plusieurs variables complexes est aussi ancienne que l'analyse complexe. Les problèmes les plus simples, qui font intervenir des relations algébriques ou analytiques ou des équations différentielles, introduisent nécessairement ces fonctions. Mais, à part quelques faits élémentaires, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-de-plusieurs-variables-complexes/#i_26744

GÉNÉRATEUR, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 024 mots

Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène, ou encore posséder un générateur a, si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/generateur-mathematique/#i_26744

GENRE ET COGNITION

  • Écrit par 
  • Michel HUTEAU
  •  • 1 133 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « La réussite scolaire »  : […] En mathématiques, la supériorité moyenne des garçons est plus faible que la supériorité moyenne des filles en français. C'est en géométrie qu'elle est la plus marquée. Cet écart intersexe est en voie de réduction. Dans les enquêtes internationales, la supériorité des garçons est faible et elle n'apparaît pas dans plusieurs […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/genre-et-cognition/#i_26744

GÉOMÉTRIE

  • Écrit par 
  • François RUSSO
  •  • 10 635 mots
  •  • 4 médias

La géométrie est communément définie comme la science des figures de l'espace. Cette définition un peu incertaine risque de conduire à inclure dans la géométrie des questions qui ne sont géométriques que dans leur langage, mais relèvent en fait d'autres domaines. Tel est le cas de l'algèbre géométrique des Grecs qui parlait […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie/#i_26744

GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 13 073 mots
  •  • 7 médias

Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l'algèbre relativement récente (cf. algèbre, dedekind). Pour « comprendre » les phénomènes d'intersection des courbes et des surfaces, il s […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-algebrique/#i_26744

GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

  • Écrit par 
  • Paulette LIBERMANN
  •  • 7 356 mots
  •  • 12 médias

L'histoire des courbes planes est intimement liée à l'histoire et aux développements du calcul infinitésimal, et les premiers résultats obtenus au xviie siècle sont directement issus de considérations géométriques et cinématiques (cf. calcul infinitésimal […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-differentielle-classique/#i_26744

GRAPHES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Hervé RAYNAUD
  •  • 3 651 mots
  •  • 10 médias

On appelle théorie des graphes une classe de problèmes d'apparence hétéroclite, plus ou moins bien résolus, mais qui suscite un engouement à la hauteur de la fascination qu'exercent ses résultats […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-graphes/#i_26744

GROUPES (mathématiques) - Généralités

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 229 mots
  •  • 1 média

On se propose de présenter ici les notions fondamentales de théorie des groupes qui interviendront constamment dans la suite des articles qui traitent des groupes. Ces articles contiennent un très grand nombre d'exemples, c'est pourquoi cet exposé introductif n'explicite que quelques groupes utilisés aussi ailleurs, notamment en cristallographie, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-generalites/#i_26744

GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 862 mots
  •  • 3 médias

Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les directions de la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-classiques-et-geometrie/#i_26744

GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 5 062 mots

Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan. Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de leurs élèves vers le […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-finis/#i_26744

GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 3 759 mots

Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-representation-lineaire-des-groupes/#i_26744

GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 10 813 mots
  •  • 2 médias

La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les équations aux dérivées […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-de-lie/#i_26744

INFORMATIQUE ET VÉRITÉ MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 1 990 mots
  •  • 1 média

« Tel nombre est premier », « tels graphes sont isomorphes », « telle classification est complète », etc. Traditionnellement, en mathématiques, la certitude concernant de telles affirmations formelles ne peut résulter que d'une démonstration. La pratique, cependant, semble remettre en question certaines des idées communément admises en la matière. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/informatique-et-verite-mathematique/#i_26744

INTÉGRALES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Michel HERVÉ
  • , Universalis
  •  • 2 561 mots

Les premières équations intégrales furent obtenues par Daniel Bernoulli vers 1730 dans l'étude des oscillations d'une corde tendue (cf. analyse mathématique, chap. 6). Après l'introduction du noyau de Green, il fallut attendre les dernières années du […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-integrales/#i_26744

INTÉGRATION ET MESURE

  • Écrit par 
  • André REVUZ
  •  • 6 222 mots

La théorie de l'intégration joue en mathématique un rôle extrêmement important. C'est une théorie riche et complexe. Il ne sera pas question ici d'en donner une description exhaustive ni d'en aborder les assez redoutables aspects techniques. On s'efforcera de mettre en lumière les grandes idées simples qui y sont à l'œuvre […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/integration-et-mesure/#i_26744

INVARIANT, mathématique

  • Écrit par 
  • Nicole BERLINE
  •  • 1 753 mots

À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax2 + 2bxy + […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/invariant-mathematique/#i_26744

ITÉRATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE, 
  • Universalis
  •  • 876 mots

Itérer signifie recommencer, faire à nouveau. Construire les nombres entiers peut être vu comme l'opération consistant à partir de zéro à itérer indéfiniment l'ajout d'une unité […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/iteration-mathematique/#i_26744

JEUX THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Bernard GUERRIEN
  •  • 8 066 mots

mathématique – calcul d'extremums, approche probabiliste. La théorie des jeux est de ce fait parfois présentée comme une « branche des mathématiques » ; il est vrai que des mathématiciens (Émile Borel et John von Neumann, qui se situaient dans une tradition remontant au moins à Pascal et Bernoulli) sont à son origine, et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-jeux/#i_26744

LIMITE (mathématique)

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 203 mots

La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de nombres […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/limite/#i_26744

LINÉAIRE ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL, 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 13 828 mots

L'algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu'on la trouvera présentée ici, s'est progressivement dégagée, au cours du xixe siècle et au début du xxe, de la théorie des équations linéaires (systèmes de n équations linéaires à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lineaire-algebre/#i_26744

MATHÉMATIQUE ÉCOLE ÉCONOMIQUE

  • Écrit par 
  • François ETNER
  •  • 2 774 mots

De toutes les sciences sociales, l'économie est, de beaucoup, la plus mathématisée : dans les revues économiques qui comptent, les articles sont écrits dans le langage des mathématiques ; les économistes distingués chaque année par le prix Nobel d'économie sont le plus souvent des économistes mathématiciens. Pourtant, l' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ecole-economique-mathematique/#i_26744

MATHÉMATIQUE ÉPISTÉMOLOGIE DE LA

  • Écrit par 
  • Jean-Michel SALANSKIS
  •  • 2 877 mots

à la question pratique « Que faire de la science ? ». Elle ne prétend pas travailler à la constitution d'une « conscience » de la science. Mais, en mathématique comme ailleurs, cette restriction préliminaire ne suffit pas à définir ce qu'elle doit être, quelle est sa tâche, comment elle peut prétendre accompagner la science de façon intéressante […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/epistemologie-de-la-mathematique/#i_26744

MATHÉMATIQUES (DIDACTIQUE DES)

  • Écrit par 
  • Régine DOUADY
  •  • 6 924 mots
  •  • 1 média

Les problèmes posés par l'enseignement des mathématiques ne sont pas nouveaux. Au début du siècle, Henri Lebesgue était préoccupé par les conditions de l'enseignement et de la formation des professeurs. Des efforts plus récents se sont déployés dans tous les pays. Depuis les années 1960-1970, des institutions, de statut […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/mathematiques-didactique-des/#i_26744

MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

  • Écrit par 
  • Jean Toussaint DESANTI
  •  • 10 438 mots
  •  • 1 média

Au sens premier et fort, le mot « fondement » désigne la base, jugée inébranlable, sur laquelle repose un corps d'énoncés, un système de connaissances, un complexe de croyances ou de conduites. « Reposer sur la base » signifie ici « trouver en elle à la fois son origine et sa raison ». Point fixe à partir de quoi l'on explique et déploie, région […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fondements-des-mathematiques/#i_26744

MÉSOPOTAMIE - Les mathématiques

  • Écrit par 
  • Christine PROUST
  •  • 3 607 mots
  •  • 7 médias

Le Proche-Orient ancien a livré aux archéologues des centaines de tablettes d’argile contenant des textes mathématiques notés en écriture cunéiforme. Les plus anciennes d’entre elles remontent au début du IIIe millénaire avant notre ère, et les plus récentes aux derniers siècles avant notre ère […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/mesopotamie-les-mathematiques/#i_26744

MESURE, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 324 mots

Mesurer les objets concrets mathématisables fut l'un des premiers actes scientifiques conscients : il est d'usage de citer la redistribution, à des fins fiscales, des terres émergées après une crue du Nil, dans l'Égypte antique. Le premier niveau consiste à calculer des longueurs, d'abord d'intervalles de droites, puis de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/mesure-mathematique/#i_26744

MODÉLISATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 1 579 mots

La notion de modèle en mathématiques se présente sous un double aspect : d'une part, les mathématiques permettent de modéliser, c'est-à-dire de représenter, toutes sortes de situations, d'objets et de structures du monde réel, l'étude mathématique ou les simulations informatiques de ces représentations nous informant – […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/modelisation-mathematique/#i_26744

NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 785 mots

L'idée intuitive de nombre doit remonter à l'émergence même de la pensée et il est impossible de savoir quel hominidé, et quand, a commencé à compter (ses doigts, les personnes de son groupe, des animaux, les jours...), ou au moins à distinguer un de deux ou de plusieurs […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombre/#i_26744

NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 183 mots
  •  • 1 média

Ce qu'on appelle la « théorie analytique des nombres » ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu'on donne à ces mots, c'est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d'applications à des exemples importants. Il s'agit au contraire ici presque exclusivement […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-theorie-analytique/#i_26744

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 5 198 mots

On peut aborder l'étude d'un problème diophantien (cf. équations diophantiennes) en commençant par chercher les solutions modulo p, un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z/p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-p-adiques/#i_26744

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 14 051 mots

Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers : il en est ainsi du rapport de la diagonale d'un carré à son côté, puisque aucun nombre rationnel n'a un carré égal à 2. Plus généralement, Théétète (v […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/#i_26744

NOMBRES COMPLEXES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 3 538 mots
  •  • 2 médias

Introduits à l'origine comme symboles purement formels destinés à rendre compte des propriétés des équations algébriques, les nombres imaginaires sont d'un usage courant au xviiie siècle, mais ce n'est qu'au siècle suivant qu'ils seront définis et utilisés correctement, avec la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-complexes/#i_26744

NORMÉES ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc SAUVAGEOT, 
  • René SPECTOR
  •  • 4 734 mots

Au point de rencontre de deux types de structures, structures algébriques et structures topologiques, les algèbres normées jouent un rôle important dans de nombreux domaines de l'analyse mathématique. Développée à partir de 1940 environ, essentiellement par des mathématiciens soviétiques (I. M. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebres-normees/#i_26744

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 094 mots

L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xxe siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions orthogonales, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-vectoriels-normes/#i_26744

NOTATION MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Hans FREUDENTHAL
  •  • 10 386 mots
  •  • 1 média

Pour connaître une langue naturelle, il n'est pas nécessaire d'en apprendre l'histoire ni, pour comprendre sa littérature, de faire l'étude historique de la grammaire et du vocabulaire. À cet égard, le langage mathématique, en raison de son caractère plutôt artificiel, se […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/notation-mathematique/#i_26744

NUMÉRATION

  • Écrit par 
  • Josette ADDA
  •  • 2 388 mots

Le problème de la numération est celui de la désignation des nombres. Les nombres sont définis de manière intrinsèque, indépendamment de leur nom, et la façon de les désigner dépend du langage, du « code » choisi. Pour comprendre en quoi consiste la numération, il est important d'abord de savoir distinguer un nombre de ses […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/numeration/#i_26744

NUMÉRIQUE ANALYSE

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 645 mots

Les problèmes et les méthodes numériques ne délimitent pas un secteur spécifique des mathématiques ; ils interviennent en effet non seulement dans les domaines traditionnels (analyse classique et équations fonctionnelles), mais aussi en algèbre, en théorie des nombres, etc. La spécificité de l'analyse numérique relève de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-numerique/#i_26744

OBJET MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 1 074 mots

Le but des mathématiques est de démontrer des résultats non triviaux sur ce qu'on peut appeler globalement des objets mathématiques. Il en existe de nombreux types : nombres entiers, nombres réels, points, droites ou courbes de la géométrie, suites, séries et fonctions de l'analyse, ensembles divers, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/objet-mathematique/#i_26744

OBJET UNIVERSEL, mathématique

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 1 106 mots

Des objets universels apparaissent dans de multiples contextes mathématiques, mais l'idée de base est commune : un objet universel est un objet à partir duquel tous les autres membres de la famille considérée peuvent se reconstruire. Par conséquent, un objet universel est, quand il existe, le plus grand, le plus général de la famille. L'existence d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/objet-universel-mathematique/#i_26744

OPÉRATION, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 085 mots

Une définition formelle du concept d'application est la suivante : une application f d'un ensemble A dans un ensemble B est une partie du produit cartésien A × B [c'est-à-dire des couples (xy) où x décrit A et y décrit B], telle que, pour tout […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/operation-mathematique/#i_26744

PHYSIQUE - Les fondements et les méthodes

  • Écrit par 
  • Roland OMNÈS
  •  • 10 732 mots
  •  • 8 médias

Dans le chapitre « Une science exacte »  : […] là une hypothèse fondamentale, qui peut être énoncée de la manière suivante : les phénomènes naturels obéissent à des lois fixes. Plus précisément, il apparaît que la réalité peut être décrite, et ses processus prédits à l'aide de représentations mathématiques. De telles représentations sont constituées par un objet mathématique plus ou moins […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/physique-les-fondements-et-les-methodes/#i_26744

PHYSIQUE - Physique et mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Marc LÉVY-LEBLOND
  •  • 7 176 mots

L'existence d'une relation particulière entre la physique et les mathématiques est universellement reconnue. Les témoignages explicites en abondent à travers toute l'histoire de la physique, à commencer par la célèbre assertion de Galilée : « La philosophie est écrite dans ce livre immense perpétuellement ouvert devant nos […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/physique-physique-et-mathematique/#i_26744

POLYNÔMES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 2 313 mots

La théorie des équations et des polynômes a été le propos essentiel de l'algèbre jusqu'au xixe siècle (cf. équations algébriques, algèbre) et est à la base de la théorie des corps et de la théorie des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/polynomes/#i_26744

POTENTIEL THÉORIE DU

  • Écrit par 
  • Arnaud de la PRADELLE
  •  • 6 342 mots

La théorie du potentiel, directement issue de l'électrostatique, est une source d'inspiration extrêmement riche en analyse. Si, au début du xixe siècle, on connaissait déjà l'équation de Laplace, la fonction de Green et l'intégrale de Poisson dans la boule, ce n'est vraiment qu'avec C. F. Gauss (1840) […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-du-potentiel/#i_26744

PRIX ABEL 2016

  • Écrit par 
  • Yves GAUTIER
  •  • 1 206 mots
  •  • 2 médias

Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/prix-abel-2016/#i_26744

PROBABILITÉS CALCUL DES

  • Écrit par 
  • Daniel DUGUÉ
  •  • 12 211 mots
  •  • 6 médias

Le calcul des probabilités est certainement l'une des branches les plus récentes des mathématiques, bien qu'il ait en fait trois siècles et demi d'existence. Après s'être cantonné dans l'étude des jeux de hasard, il s'est introduit dans presque toutes les branches de l'activité scientifique, aussi bien dans l'analyse ( […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-probabilites/#i_26744

QUADRATIQUES FORMES

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 6 811 mots
  •  • 1 média

La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d'espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l'analyse […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/formes-quadratiques/#i_26744

RÉELS NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean DHOMBRES
  •  • 15 294 mots

Par les différents adjectifs généralement accolés au substantif commun qu'est le nombre, la langue mathématique familière surprend et inquiète, car elle risque de susciter des confusions : nombres rationnels (d'autres nombres seraient donc sans raison ?), nombres réels (des nombres doués d'existence propre ?), nombres algébriques (seuls […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/#i_26744

SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL
  •  • 3 246 mots

La notion de limite d'une suite est à la base de l'analyse. Le langage des séries, équivalent à celui des suites, s'est imposé dès le xviie siècle à propos du développement des fonctions en série entière. Cependant, les fondements rigoureux de la théorie des séries, reposant sur […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/series-et-produits-infinis/#i_26744

SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

  • Écrit par 
  • Alain CHENCINER
  •  • 10 517 mots
  •  • 19 médias

De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est pas de rang maximal, des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/singularites-des-fonctions-differentiables-la-theorie-mathematique-et-ses-applications/#i_26744

STATISTIQUE

  • Écrit par 
  • Georges MORLAT
  •  • 14 017 mots
  •  • 1 média

Le mot « statistique » désigne à la fois un ensemble de données d'observation et l'activité qui consiste dans leur recueil, leur traitement et leur interprétation […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/statistique/#i_26744

TOPOLOGIE - Topologie générale

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 4 364 mots
  •  • 3 médias

Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-generale/#i_26744

TOPOLOGIE - Topologie algébrique

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 8 676 mots
  •  • 1 média

Inventée au début du xxe siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grâce à l'introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l'exposé, on a décomposé cet article en deux parties. Dans la première partie ( […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-algebrique/#i_26744

TRANSCENDANTS NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 2 106 mots

Si la notion de nombre irrationnel remonte aux Grecs, l'idée de nombre transcendant n'a pu se dégager qu'après la création de notations algébriques assez développées pour que le concept de polynôme de degré quelconque puisse être clairement formulé ; aussi est-ce seulement au xviie siècle que l'on […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-transcendants/#i_26744

VARIATIONS CALCUL DES

  • Écrit par 
  • Claude GODBILLON
  •  • 3 805 mots
  •  • 1 média

L'étude d'une fonction à valeurs réelles comporte en particulier la détermination de ses extrémums. C'est là un des objets du calcul différentiel classique lorsque la source de cette fonction est un espace numérique ; c'est l'objet de ce qu'Euler a appelé le calcul des variations lorsque cette source est un espace fonctionnel […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-variations/#i_26744

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 10 347 mots
  •  • 7 médias

On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B. Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde ; elle fut longuement développée par les […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/varietes-differentiables/#i_26744

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Pour citer l’article

Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN, « MATHÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 septembre 2017. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/mathematique/