MATHÉMATIQUE
La mathématique est une science hypothético-déductive qui, en développant un langage autonome, élabore et étudie des notions abstraites liées les unes aux autres et souvent capables de fournir des modèles et des processus opératoires permettant de mieux comprendre de nombreux aspects du monde observable, en particulier lorsque peuvent être invoquées des idées de quantité, de forme et de partie de quelque chose.
Riche d'une histoire immémoriale, elle a pris un essor prodigieux et unificateur au cours du xxe siècle. Son étude et sa pratique constituent, par la difficulté de certaines de ses parties et par la rectitude de raisonnement qu'elle exige, un exercice formateur de l'intelligence et de la volonté. Par la beauté de sa construction théorique structurée et de certains de ses aspects plus visibles (courbes, surfaces...), et par le plaisir que l'on peut éprouver à la résolution de certains problèmes, la mathématique est aussi un espace esthétique et ludique sans fin. Par la rigueur de la pensée et l'honnêteté dans les résultats qu'elle exige, et par un mélange de liberté relative dans les notions définissables et d'humilité devant les limitations rencontrées, la mathématique peut éduquer à la probité intellectuelle.
Une science hypothético-déductive
S'appuyant sur une logique généralement bivalente (à deux valeurs : vrai et faux), la mathématique se développe à partir d'un petit nombre de notions premières indéfinissables, d'hypothèses appelées axiomes, non démontrables mais mettant en relation ces notions premières, et de règles permettant de définir de nouvelles notions, de former des expressions et d'en déduire de nouvelles. Parmi les notions premières, les principales sont celles d'ensemble et d'appartenance, qui sont liées par divers axiomes pour former la théorie des ensembles.
Les objets mathématiques, c'est-à-dire les entités abstraites que définit (ou adopte comme notions premières indéfinissables) et étudie la mathématique, sont soit des ensembles, soit (pour remédier au fait que l'on ne peut parler de « l'ensemble de tous les ensembles ») des ensembles et d'autres objets souvent appelés « collections » ou « classes ».
Notons toutefois que cette vision de la mathématique, inspirée par la conception de Bourbaki, n'est pas partagée par tous les mathématiciens : pour certains, qui souvent écrivent « mathématiques » au pluriel, de nombreux objets mathématiques ne sont que « représentés » par des ensembles. Ainsi, une construction classique de l'ensemble des nombres entiers naturels consiste à définir zéro comme l'ensemble vide (0 = Ø ; l'ensemble vide, noté Ø, dont l'affirmation de l'existence est un axiome, étant un ensemble, unique, qui ne contient aucun élément), un comme l'ensemble à un élément qui est l'ensemble vide (1 = {Ø}), deux comme l'ensemble à deux éléments qui sont 0 et 1 (2 = {0, 1} = {Ø, {Ø}}), etc., le « successeur » de n étant {0, 1, 2, ..., n} (qui, si l'on définit ensuite l'addition habituelle dans l'ensemble des nombres entiers naturels, est identique à n + 1). De ce point de vue, que nous défendons, les nombres entiers naturels sont des ensembles particuliers et sont parfaitement définis mathématiquement. Pour d'autres, au contraire, ces ensembles désignés par cette construction ne sont que des représentations des nombres entiers naturels. Mais alors, qu'est-ce qu'un nombre entier naturel ? Avec seulement une représentation mathématique, mais sans définition vraiment mathématique, ce n'est plus un objet mathématique, mais un objet de mathématique, ou un objet d'étude mathématique, et sa définition est laissée à l'intuition du langage courant[...]
- 1. Une science hypothético-déductive
- 2. Un langage précis d'origine éclectique
- 3. Une belle architecture abstraite
- 4. Un mode de compréhension rayonnant
- 5. Une discipline autonome
- 6. Un essor prodigieux
- 7. Un « sport » cérébral formateur
- 8. Un espace ludique
- 9. Une éthique de la probité intellectuelle
- 10. Bibliographie
- 11. Sites internet
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Écrit par
- Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN : diplômé en sciences de l'éducation, mathématique, économie, philosophie, ethnologie et bibliothéconomie
Classification
Pour citer cet article
Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN, « MATHÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :
Média
Enseignement des mathématiques, N. Berline
Encyclopædia Universalis France
Enseignement des mathématiques, N. Berline
Nicole Berline, professeur des Universités détachée à l'École polytechnique, chercheuse en…
Encyclopædia Universalis France
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- Écrit par Universalis, Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
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