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Relations d'équivalence et quotients

Dans ce qui suit interviendra souvent le fait que l'inverse d'un produit ab de deux éléments d'un groupe est le produit b-1a-1 des inverses en renversant l'ordre ; car, en utilisant l'associativité :

À partir d'un sous-groupe, on peut définir plusieurs relations d'équivalence sur un groupe. Si le sous-groupe vérifie une propriété supplémentaire, ces relations coïncident et on peut alors munir l'ensemble quotient d'une structure de groupe.

Classes suivant un sous-groupe

Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. La relation :

est une relation d'équivalence sur G. En effet g x, car x-1x = 1 ∈ H ; si y, l'élément x-1y appartient à H et, par suite, aussi son inverse (x-1y)-1 = y-1x, ce qui signifie : y ∼g x ; la transitivité résulte du fait que, si x-1y et y-1z sont deux éléments du sous-groupe H, leur produit (x-1y)(y-1z) = x-1z est aussi un élément de H. La classe d'équivalence d'un élément ∈ G est l'ensemble xH des produits xh lorsque h parcourt H, appelé classe à gauche de x suivant H (ou modulo H). Deux classes à gauche sont disjointes ou confondues. Lorsque le nombre de classes à gauche distinctes est fini, on l'appelle l'indice du sous-groupe H dans G, et on note ce nombre [G : H]. Remarquons que, puisque, pour x fixé, l'application  xg est, d'après la règle de simplification (cf. chap. 1), une bijection de G sur lui-même, si le sous-groupe H est fini, toutes les classes à gauche ont le même nombre d'éléments que H. Pour G fini, on obtient, puisque les classes à gauche distinctes forment une partition, que l'ordre du groupe G est le produit de l'ordre de H par l'indice de H dans G, soit :
résultat obtenu par Lagrange, sous une forme différente, à propos de la théorie des équations et avant l'élaboration de la théorie des groupes proprement dite (cf. groupes – Groupes finis).

Bien entendu, on pourrait définir de manière analogue les classes à droite Hx pour la relation d'équivalence xy-1 ∈ H. La symétrie  x-1 est une bijection du groupe sur lui-même qui conserve les sous-group [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « GROUPES (mathématiques) - Généralités », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-generalites/