NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres algébriques

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Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers : il en est ainsi du rapport de la diagonale d'un carré à son côté, puisque aucun nombre rationnel n'a un carré égal à 2. Plus généralement, Théétète (ve s. avant J.-C.) a établi qu'un entier qui n'est pas le carré d'un entier n'est pas non plus le carré d'un nombre rationnel. Le dixième livre des Éléments d'Euclide est consacré à l'étude et à la classification des grandeurs irrationnelles rencontrées dans les constructions géométriques.

Les recherches sur les équations algébriques ont toujours été inséparables de problèmes touchant la nature des solutions de ces équations. Durant le xviiie siècle, il fut établi que les n racines d'une équation algébrique de degré n à coefficients réels étaient des nombres complexes (cf. nombres complexes). On appelle maintenant nombre algébrique tout nombre complexe qui est racine d'une équation algébrique à coefficients rationnels : ainsi 2, racine de l'équation x2 − 2 = 0, ou bien i, racine de l'équation x2 + 1 = 0, ou encore e2iπ/n, racine de xn − 1 = 0, sont des nombres algébriques ; au contraire e, π, log 2 ou ii ne sont pas des nombres algébriques (cf. nombres transcendants).

Équations diophantiennes

Les problèmes de théorie des nombres conduisant à résoudre des équations de degré ≥ 2 ont progressivement montré la nécessité d'étudier les propriétés arithmétiques des nombres algébriques et de bâtir ainsi une extension de l'arithmétique élémentaire. Le premier de ces problèmes est probablement celui qu'Euler a improprement attribué à Pell : il s'agit de résoudre en nombre entiers x et y l'équation x2 − Dy2 = ± 1, où D est un entier positif donné, sans facteur carré. Euler remarqua très tôt que cette équation peut encore s'écrire :

et que, par suite, si (x, y) en est une solution, on en tire une infinité d'autres (u, v) en calculant (x + yD)n = u + vD pour tout ∈ N (cf. équations diophantiennes). L'équation x3 + y3 = z3 a fourni à Euler une autre occasion d'exploitation arithmétique de nombres irrationnels (imaginaires cette fois) ; pour établir que cette équation n'a pas de solution non triviale en nombres entiers (c'est un cas particulier du « dernier théorème de Fermat »), Euler (1770) se fonde sur le fait, admis sans démonstration, que, si p et q sont des entiers premiers entre eux tels que (p + q− 3)(p − q− 3) = p2 + 3q2 soit un cube, alors chacun des deux facteurs imaginaires p ± q− 3 est le cube d'un nombre complexe de la même forme.

Périodes

Un autre type de nombres algébriques apparaît dans la dernière section des Disquisitiones arithmeticae de Gauss (1801 ; cf. c. f. gauss), où se trouve élaborée la théorie de l'équation de la division du cercle en n parties égales, avec n premier impair. Si r est l'une des racines imaginaires de cette équation, les autres sont r2, r3, ..., rn-1, et Gauss introduit certaines sommes partielles de ces racines, qu'il appelle périodes, et qui sont solutions d'équations de degrés inférieurs : si f est un facteur de n − 1 et si λ est un entier quelconque, la période ( f, λ) de longueur f est, par définition, la somme :

h est un entier premier à n tel que h≡ 1 (mod n) mais que ha ≡/ 1 (modn) si 1 ≤ ≤ f − 1 ; la période ne dépend pas du choix de h vérifiant ces propriétés, et on obtient un tel h en posant h = ge, où g est une racine primitive modulo n et e = (n − 1)/f. Il y a e périodes distinctes de longueur f, correspondant à λ = 1, g, g2, ..., ge-1 (sans compter (f, 0) = ), qui sont les racines d'une équation de degré e à coefficients entiers ; ensuite, les f racines rλha qui constituent la période (f, λ) sont les racines d'une équation de degré f dont les coefficients sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers de 1 et des e périodes de longueur f. Gauss établit que le produit de deux périodes de longueur f est une combinaison linéaire du type précédent : ces combinaisons forment donc un sous-anneau du corps C des nombres complexes ; de plus, si p est une période de longueur f, les autres s'expriment par des polynômes en p (de degré au plus e − 1) à coefficients rationnels. Lorsque e = 2, les deux périodes de longueur m = (n − 1)/2 sont (m, 1) et (m, g), et elles sont construites avec h = g2 ; la première est la somme des ra avec a résidu quadratique modulo n et la seconde la somme des rb avec b non résidu. Gauss montre que l'équation dont les racines sont ces deux périodes est x2 + x ± ν = 0 si n = 4 ν ± 1 ; le discriminant de cette équation est ± n, dont la racine carrée est donc la valeur de la différence des deux périodes :
où (λ/n) est le symbole de Le Gendre. Les expressions du type :
(puisque  rλ = 0) et leurs généralisations λmodnsont appelées sommes de Gauss ; elles jouent un grand rôle en théorie des nombres, et Gauss lui-même en tira deux démonstrations de la loi de réciprocité quadratique (la quatrième, 1808, et la sixième, 1818). Si l'on précise la racine r choisie, par exemple r = e2iπ/n, il convient de préciser aussi celle des deux racines carrées de ± n qui donne la valeur de la somme de Gauss, et ce problème arrêta Gauss pendant longtemps. En notant z = 0 et z′ = 0 les deux équations de degré m dont les racines sont respectivement les ra (a résidu quadratique modulo n) et les rb (b non résidu), on a :
et Gauss en déduit que :
où Y = 2 xm + xm-1 + ... et Z = xm-1 + ... sont des polynômes en x à coefficients entiers ; si p est un nombre premier ≡ 1 (mod n), et si x≡ 1 (mod p) (mais x≡/ 1 (mod p) si 1 ≤ ≤ n − 1), on a donc Y≡ ± nZ2 (mod p) et (±n/p) = 1, ce qui donne un cas particulier de la loi de réciprocité.

Lorsque e = 3, les périodes p, p′ et p″ de longueur m = (n − 1)/3 sont (m, 1), (m, g) et (m, g2), et ce sont les racines d'une équation du troisième degré x3 + x2 − mx − (a2 − bc) = 0, où a, b et c sont des entiers tels que pp′ = bp + cp′ + ap″ ; ces entiers a, b, c sont aussi les nombres de solutions (x, y) modulo n pour les congruences x3 + 1 ≡ λy3 (mod n), avec λ = 1, g ou g2, et Gauss montre que 4n = (6a − 3 b − 3 c − 2)2 + 27 (b − c)2. Ainsi, le quadruple d'un nombre premier n de la forme 3 m + 1 est représenté par la forme quadratique x+ 27 y2 (cf. formes quadratiques) ; comme il est facile de voir qu'une telle représentation est unique, elle donne, inversement, un moyen de déterminer les entiers a, b et c.

Lien avec les fonctions elliptiques

La théorie des fonctions elliptiques (cf. fonctions analytiques - Fonctions elliptiques et modulaire) est une autre voie par laquelle les nombres algébriques sont intervenus en mathématiques : si p est une fonction elliptique de Weierstrass, on sait en général exprimer p(nu) par une fonction rationnelle de p(u) et de p′(u) lorsque n est entier ; mais, pour certain [...]

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  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/