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NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres algébriques

Les « nombres idéaux » de Kummer

Entiers cyclotomiques

Considérons, avec Kummer, un nombre premier impair λ et une racine λ-ième imaginaire α de 1 ; ainsi :

L'équation de degré λ − 1 précédente est irréductible sur le corps Q des nombres rationnels, donc les nombres 1, α, α2, ..., αλ-2 sont linéairement indépendants sur Q ; les entiers cyclotomiques correspondant à λ sont les nombres de la forme :

où a0, a1, ..., aλ-2 ∈ Z, c'est-à-dire les éléments du sous- anneau Z[α] de C engendré par α. Il résulte des remarques précédentes que l'écriture d'un entier cyclotomique sous la forme f (α), polynôme en α de degré ≤ λ − 2 à coefficients entiers, est unique (il n'en serait pas de même avec des polynômes de degré ≤ λ − 1 qu'il est parfois utile d'introduire). L'anneau Z[α] des entiers cyclotomiques ne dépend pas du choix de α parmi les racines λ-ièmes imaginaires de 1, puisque toutes ces racines sont les puissances de l'une d'elles ; à l'entier cyclotomique f (α), on associe ses conjugués f (α2), f (α3), ..., f (αλ-1) et sa norme Nf (α) = f (α) f (α2) ... f (αλ-1), qui est un entier ordinaire car elle ne change pas lorsqu'on remplace α par une de ses puissances. Comme αj et αλ-j sont complexes conjugués, f (αj)f (αλ-j) est réel positif, et Nf (α) est donc un entier positif ; on vérifie facilement que la norme est multiplicative : N(f (α)g(α)) = Nf (α) ( Ng(α). On dit qu'un entier cyclotomique f (α) en divise un autre h(α) s'il existe un entier cyclotomique g(α) tel que h(α) = f (α)g(α) ; on dit que h1(α) et h2(α) sont congrus modulo f (α), et on écrit h1(α) ≡ h2(α) (mod f (α)), si h1(α) − h2(α) est divisible par f (α). Kummer appelle unités les entiers cyclotomiques dont la norme est 1, c'est-à-dire ceux qui divisent 1 ; par exemple les αj sont des unités, de même que les quotients :
(avec 1 ≤ j ≤ λ − 1), car N(1 − αj) = (1 − αj)(1 − α2j) ... (1 − α(λ-1)j) est la valeur, pour x = 1, du polynôme (x − αj ) ... (x − α(λ-1)j) = 1 + x + x2 + ... + xλ-1, ce qui donne N(1 − αj) = λ indépendamment de j . Des calculs précédents, on titre aussi :
ainsi λ se décompose, dans l'anneau des entiers cyclotomiques, en le produit de (1 − α)λ-1 par une unité.

On dit qu'un entier cyclotomique h(α) est premier s'il n'est pas une unité et s'il ne peut diviser un produit f (α)g(α) sans diviser l'un des facteurs f (α) ou g(α) ; si h(α) est premier, il en est de même de ses conjugués h(αj) et des produits de ces conjugués par des unités. Par exemple, 1 − α est premier : en effet, si 1 − α divise un entier rationnel m, λ = N(1 − α) divise Nm = mλ-1, c'est-à-dire que λ divise m (puisque λ est premier) et, inversement, les multiples de λ sont divisibles par 1 − α ; si 1 − α divise f (α)g(α), c'est-àdire f (α)g(α) ≡ 0 (mod (1 − α)), comme α ≡ 1 (mod (1 − α)), on a f (1)g(1) ≡ 0 (mod (1 − α)), donc f (1) ou g(1) est divisible par λ et, par suite, f (α) ≡ 0 ou g(α) ≡ 0 (mod (1 − α)). Soit h(α) un entier cyclotomique de norme λ ; le nombre premier cyclotomique 1 − α divise Nh(α), donc divise l'un de ses facteurs h(αj) (1 ≤ j ≤ λ − 1), et, comme Nh(αj) = Nh(α) = λ = N(1 − α), le quotient est une unité : h(α) est donc encore premier et c'est le produit d'un des conjugués de 1 − α par une unité.

Considérons maintenant un entier cyclotomique h(α) dont la norme soit un nombre premier q ≠ λ ; ainsi [...]

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Écrit par

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Classification

Pour citer cet article

Christian HOUZEL. NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par Yves GAUTIER
    • 1 168 mots
    • 2 médias

    Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables,...

  • ARITHMÉTIQUES (Diophante)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 188 mots

    Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques...

  • ARTIN EMIL (1898-1962)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 1 319 mots
    La part la plus importante de l'œuvre d'Artin concerne l'étude des corps de nombres algébriques etl'application des résultats obtenus à la théorie des nombres. Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui...

  • BAKER ALAN (1939-2018)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 338 mots

    Alan Baker, mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres, est né le 19 août 1939 à Londres. Il a fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en...

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Voir aussi

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