FONCTIONS ELLIPTIQUES & MODULAIRE

Articles

• FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 3 098 mots
  • 1 média

  Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xix^e siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions...

• ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 1 304 mots

  À une époque où la Norvège était d'une extrême pauvreté par suite des guerres qui l'avaient ruinée, Niels Henrik Abel, second fils d'une famille de sept enfants, naquit le 5 août 1802 dans l'île de Finnøy, près de Stavanger. Dès sa quinzième année, il lut et assimila les travaux les plus difficiles d'Euler...

• PRIX ABEL 2016

  • Écrit par Yves GAUTIER
  • 1 168 mots
  • 2 médias
  ...En 1984, le mathématicien allemand Gerhard Frey présenta un résultat crucial en réécrivant l’équation de Fermat xⁿ + yⁿ = zⁿ sous la forme d’une fonction elliptique (qualifiée de semi-stable car elle peut s’inscrire sous plusieurs formes avec des conditions aux limites différentes). Sa démarche...

• ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 8 527 mots
  Un des plus beaux exemples de l'élargissement apporté à l'analyse classique par la considération des fonctions de variables complexes est fourni par la théorie des fonctions elliptiques, développée par Abel et Jacobi indépendamment des premiers travaux de Cauchy (une bonne part de leurs résultats et...

• COURBES ALGÉBRIQUES

  • Écrit par Luc GAUTHIER
  • 4 255 mots
  • 8 médias
  La définition de la fonction elliptique p(u) de Weierstrass met en évidence la représentation paramétrique x = p(u), y = p′(u) ; c'est la raison pour laquelle les cubiques sans singularité sont appelées cubiques elliptiques.

• EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 885 mots

  Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien...

• GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

  • Écrit par Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ
  • 4 886 mots
  ...non publiées de son vivant) avec lesquelles Gauss, dès les premières années du siècle, s'inscrit comme le précurseur d'une large part de la théorie des fonctions elliptiques et de la fonction modulaire, une des œuvres maîtresses du xix^e siècle. Il s'agit peut-être là de la partie la plus profonde de...

• HALPHEN GEORGES-HENRI (1844-1889)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 631 mots

  Mathématicien brillant, travailleur acharné, doué d'un profond talent d'algébriste, Georges-Henri Halphen a attaché son nom surtout à des résultats de géométrie analytique.

  Né à Rouen le 30 octobre 1844, il fut élevé à Paris, reçut sa première formation au lycée Saint-Louis,...

• HECKE ERICH (1887-1947)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 337 mots

  Né à Buk (Posnanie), Hecke fut l'élève de Hilbert à Göttingen, où il soutint sa thèse en 1912. Il enseigna brièvement à Bâle et à Göttingen, puis à Hambourg à partir de 1919, où il demeura jusqu'à sa mort.

  Hecke a consacré la quasi-totalité de ses recherches à la fascinante...

• HERMITE CHARLES (1822-1901)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 1 169 mots
  Les travaux d'analyse d'Hermite portent la marque de son tempérament d'algébriste. Son sujet de prédilection pendant toute sa vie a été lathéorie des fonctions elliptiques et des fonctions abéliennes, dont il aimait particulièrement explorer les liens cachés avec l'algèbre et la théorie des nombres....

• HURWITZ ADOLF (1859-1919)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 782 mots

  Élève de Felix Klein, Adolf Hurwitz représentait une tendance unificatrice en mathématiques. Avec ses étudiants Hilbert et Minkowski, il s'éleva contre le partage abusif des mathématiques en de nombreuses branches, non seulement suivant le sujet traité, mais même suivant la façon d'aborder...

• JACOBI CARL (1804-1851)

  • Écrit par Jean ITARD
  • 984 mots
  Dans l'hiver 1826-1827, Jacobi, qui ignorait les travaux non encore publiés d'Abel, écrivit ses premiers essais sur les fonctions elliptiques obtenues par inversion des intégrales elliptiques (cf. abel[n.h.], analyse mathématique, chap. 2). A. M.  Legendre remarqua ses travaux et signala « la grande...

• NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 7 744 mots
  • 1 média
  Les premiers exemples de cette méthode ont été donnés par Jacobi à l'aide de sa théorie des fonctions elliptiques, pour le problème consistant à chercher le nombre de solutions en nombres entiers (positifs ou négatifs) de l'équation à r inconnues :

  

• NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 4 678 mots
  En s'inspirant de la théorie de Jacobi, J.  Tate a élaboré une théorie analytique des fonctions elliptiques sur un corps p-adique. Soit q ∈ Q_p tel que 0 < |q| < 1, on considère le corps des fonctions strictement méromorphes dans Q_p − {0} (couronne de rayons 0 et ∞) qui sont...

• NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 12 998 mots
  La théorie des fonctions elliptiques (cf. fonctions analytiques - Fonctions elliptiques et modulaire) est une autre voie par laquelle les nombres algébriques sont intervenus en mathématiques : si p est une fonction elliptique de Weierstrass, on sait en général exprimer p(nu) par une fonction...

• SYLVESTER JAMES JOSEPH (1814-1897)

  • Écrit par Universalis
  • 413 mots

  Mathématicien anglais, né et mort à Londres, qui a créé avec Arthur Cayley la théorie des invariants algébriques.

  En 1838, James Joseph Sylvester devint professeur de philosophie naturelle au collège de l'université de Londres. En 1841, il accepta la chaire de mathématiques de l'université...

• WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 806 mots

  Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique...

• WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 2 229 mots
  Lathéorie des fonctions elliptiques, elle aussi, doit beaucoup à Weierstrass. C'est lui qui introduit les fonctions p, ζ, σ (cf. fonctions analytiques - Fonctions elliptiques et modulaire), cette dernière construite à l'aide d'un produit infini de Weierstrass ; c'est lui qui reconnut l'existence...

• WEIL ANDRÉ (1906-1998)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 803 mots
  • 1 média

  Mathématicien français, André Weil a mené des travaux portant principalement sur la géométrie algébrique et ses applications à la théorie des nombres.

  Né le 6 mai 1906, André Weil entra à l'École normale supérieure à l'âge de seize ans ; il fut docteur ès sciences à vingt-deux...