NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres algébriques

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Unités

Dans une série de courtes notes, Dirichlet (1841-1846) a étudié les unités dans des anneaux de nombres algébriques de la forme Z[θ], où θ vérifie une équation irréductible xn + a1xn-1 + ... + an = 0 à coefficients ai entiers rationnels ; si les racines de cette équation sont θ, θ1, ..., θn-1, les conjugués d'un élément (θ) de Z[θ] sont 1), ..., n-1), et sa norme est le produit N(θ) = (θ)1) ... n-1). Les unités de Z[θ] sont les éléments (θ) de norme ± 1 (la norme est toujours un entier rationnel, mais elle peut être négative dans ce cas général) ; parmi les unités, les racines de 1 qui appartiennent à Z[θ] sont caractérisées par |(θ)| = |f (θ1)| = ... = |n-1)| = 1. En effet, si (θ) vérifie ces conditions, il en est de même de ses puissances (θ)k, ∈ N, dont tous les conjugués restent donc bornés. Or l'ensemble des éléments de Z[θ] dont les conjugués sont tous majorés par une constante M est fini, car ces éléments sont les racines d'un nombre fini d'équations de degré n (leurs coefficients sont les fonctions symétriques élémentaires des conjugués, donc ce sont des entiers rationnels majorés en fonction de M et de n) ; il n'y a donc qu'un nombre fini de puissances (θ)k distinctes, et (θ)l = 1 pour l convenable. Les racines de l appartenant à Z[θ] forment un groupe fini cyclique pour la multiplication ; la finitude provient du résultat précédent, et le caractère cyclique du fait que, pour tout l, il y a au plus l solutions de l'équation xl = l dans C, donc dans Z[θ] (cf. groupes (mathématiques) - Généralités). L'énoncé fondamental de Dirichlet est le suivant :

Théorème. Soit r1 le nombre de racines réelles de l'équation en θ, et 2 r2 le nombre de ses racines imaginaires (de sorte que r1 + 2 r2 = n). Il existe r = r1 + r2 − 1 unités fondamentales e1(θ), e2(θ), ..., er(θ) telles que toute unité s'écrive, d'une manière unique, sous la forme ωe1(θ)n1e2(θ)n2 ... er(θ)nr, où ω est une racine de 1 et où les exposants ni appartiennent à Z.

Autrement dit, le groupe multiplicatif des unités est le produit du groupe des racines de 1 par [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 10 mai 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/