NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres algébriques

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Idèles et adèles

Dans ses recherches sur les formes quadratiques à coefficients dans un corps de nombres algébriques k, en vue d'étendre un résultat de Minkowski, Hilbert avait été conduit à considérer simultanément des congruences modulo les puissances des idéaux premiers du corps, et les équations correspondantes dans R ou dans C, provenant des divers plongements de k ; il appelait place de k un idéal premier de k, ou bien un plongement de k dans R ou dans C, ces dernières places étant qualifiées de « places à l'infini ». Takagi (1920), dans ses démonstrations des conjectures de Weber en théorie du corps de classes, a modifié la notion de diviseur telle que nous l'avons introduite plus haut, de manière à inclure les places à l'infini : selon Takagi, un diviseur est un symbole m = p1n1p2n2 ... prnr, avec n∈ N, les pi étant des places finies (= idéaux premiers) ou non. Dans les diviseurs fractionnaires, on admet des exposants ni négatifs, et on a ainsi un groupe multiplicatif ; à un diviseur entier m, on associe le groupe Am des diviseurs fractionnaires premiers à m, et le sous-groupe Hm des diviseurs principaux congrus à 1 modulo m, c'est-à-dire congrus à 1 modulo pini pour tout i tel que pi soit un idéal premier, et d'image positive pour toute place à l'infini réelle pi. Les groupes de classes d'idéaux de Weber sont alors remplacés par les groupes de classes de diviseurs Am/Hm et leurs quotients de la forme Am/Hm ( NK/k(Am(K)), où K est une extension galoisienne finie de k, Am(K) est le groupe des diviseurs fractionnaires de K premiers à m, et NK/k est la « norme relative » ; si l'ordre du groupe quotient précédent est égal au degré (K : k), K est un corps de classes au sens de Takagi, et son groupe de Galois sur k est isomorphe à ce quotient. Toute extension abélienne de k est un corps de classes pour un certain diviseur m, que l'on peut choisir minimal (le « conducteur » de K).

Une théorie analogue, mais beaucoup plus simple, a été développée par Hasse (1929-1930), en considérant, au lieu du corps de nombres algébriques k son complété kp pour la valuation asso [...]


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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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NOMBRES (THÉORIE DES) - Vue d'ensemble

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
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Dans la plupart des civilisations parvenues au stade de l'écriture, les nombres entiers ont, dès l'origine, été liés à des pratiques religieuses ou magiques, et leurs propriétés ont exercé une sorte de fascination sur les esprits, qui est loin d'être disparue de nos jours, où la « numérologie » conserve des adeptes ; il n'est donc pas étonnant que ce soit au sein de l'école […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-vue-d-ensemble/

NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique

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  • Jean DIEUDONNÉ
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Ce qu'on appelle la « théorie analytique des nombres » ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu'on donne à ces mots, c'est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d'applications à des exemples importants. Il s'agit au contraire ici presque exclusivement de problèmes particuliers qui […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-theorie-analytique/

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

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  • Christian HOUZEL
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On peut aborder l'étude d'un problème diophantien (cf. équations diophantiennes) en commençant par chercher les solutions modulo p, un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z/pZ est un corps. Cette méthode ne donne qu'une information insu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-p-adiques/

ARITHMÉTIQUES (Diophante)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
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Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques , qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques sont une collection de solutions numériques de 130 équations. La méthode de résolution des équations indéterminées c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/arithmetiques/#i_25910

ARTIN EMIL (1898-1962)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
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Dans le chapitre « Corps de nombres algébriques et théorie du corps de classe »  : […] Emil Artin est né le 3 mars 1898 à Vienne. La décennie de 1921 à 1931 constitue une période d'intense activité créatrice où Artin fait les principales découvertes qui l'ont rendu célèbre ; grâce à lui, l'université de Hambourg, la plus jeune d'Allemagne, se place alors au premier rang pour les mathématiques. Fuyant le régime nazi, Artin et sa famille émigrent aux États-Unis en 1937 ; professeur à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/emil-artin/#i_25910

BAKER ALAN (1939-2018)

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Alan Baker, mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres, est né le 19 août 1939 à Londres. Il a fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en 1964. Il est nommé professeur à l'université de Cambridge en 1966. Ce spécialiste de la théorie des nombr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alan-baker/#i_25910

BOMBIERI ENRICO (1940- )

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  • Bernard PIRE
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Mathématicien italien, lauréat de la médaille Fields en 1974 pour ses travaux en théorie des nombres. Né le 26 novembre 1940 à Milan (Italie), Enrico Bombieri soutient, en 1963, sa thèse de doctorat à l'université de Milan. Professeur à l'université de Pise de 1966 à 1973, il enseigne à partir de 1974 à l'École normale supérieure de Pise et occupe la chaire I.B.M.-von Neumann à l'Institute for Adv […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/enrico-bombieri/#i_25910

CASSELS JOHN WILLIAM SCOTT (1922- )

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Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des nombres. Né le 11 juillet 1922 à Durham, John William Scott Cassels est le fils du directeur de l'agriculture du comté de Durham dans le nord de l'Angleterre. Après des études secondaires et supérieures à Édimbourg (Écosse), il est admis en 1943 au Trinity College de l'université de Cambridge, où il soutient sa thèse de doctorat en 1949 sous […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/john-william-scott-cassels/#i_25910

CHEVALLEY CLAUDE (1909-1984)

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Fils d'ambassadeur, né à Johannesburg, Chevalley a fait la plus grande partie de ses études à Paris, où il fut élève de l'École normale supérieure, de 1926 à 1929. Il a enseigné à l'université de Rennes, puis aux États-Unis, aux universités de Princeton et de Columbia (New York). Il termina sa carrière comme professeur et correspondant de l'Académie des sciences à l'université de Paris. Ses travau […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/claude-chevalley/#i_25910

DICKSON LEONARD EUGENE (1874-1954)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
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Mathématicien américain, né à Independence dans l'Iowa et mort à Harlingen, dans le Texas. Dickson fit ses premières études à l'université du Texas, avant de les poursuivre à Chicago, à Leipzig et à Paris. Il enseigna à l'université de Chicago de 1900 jusqu'en 1941, date de sa retraite. Il fut membre de la National Academy of Sciences (1913), de la London Mathematical Society et président de l'Ame […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/leonard-eugene-dickson/#i_25910

DIOPHANTE D'ALEXANDRIE

  • Écrit par 
  • Roshdi RASHED
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Dans le chapitre « Organisation et nature des « Arithmétiques » »  : […] Mais, avant de confronter ces interprétations, décrivons les Arithmétiques. Le but de Diophante y est clair : édifier une théorie mathématique dont les éléments constitutifs seraient les nombres, considérés comme pluralités d'unités, et les parties fractionnaires comme fractions de grandeurs. Ces éléments de la théorie ne sont pas seulement présents « en personne », mais aussi comme espèces des n […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/diophante-d-alexandrie/#i_25910

DIRICHLET PETER GUSTAV LEJEUNE- (1805-1859)

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  • Jean DIEUDONNÉ
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Dans le chapitre « Théorie des nombres »  : […] Dirichlet était un des rares mathématiciens de sa génération à connaître à fond les Disquisitiones arithmeticae de Gauss qui ne quittaient jamais sa table de travail et où il a puisé mainte inspiration : il est très souvent revenu aux problèmes de la théorie des formes quadratiques binaires et ternaires, et a généralisé cette théorie aux formes sur l'anneau des entiers de Gauss ; il a donné d'i […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/dirichlet-lejeune/#i_25910

DRINFELD VLADIMIR GERSHONOVITCH (1954- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 384 mots

Mathématicien ukrainien, lauréat de la médaille Fields en 1990. Né le 14 février 1954 à Kharkov en Ukraine, Vladimir Gershonovitch Drinfeld fait ses études supérieures à l'université de Moscou et à l'institut Steklov de mathématiques, où il soutient sa thèse en 1988. Il est, depuis 1985, membre de l'institut de physique des basses températures de Kharkov. Les contributions de Drinfeld couvrent des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/vladimir-gershonovitch-drinfeld/#i_25910

EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 881 mots

Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien une puissance de production inouïe. De 1833 à 1837, Eisenstein résidait à l'académie Cauer à Berlin-Char […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ferdinand-gotthold-max-eisenstein/#i_25910

ERDÖS PAUL (1913-1996)

  • Écrit par 
  • Jean-Louis NICOLAS
  •  • 966 mots

Mathématicien brillant et hors du commun, lauréat du prix Wolf en 1983. Né le 26 mars 1913 à Budapest et décédé le 20 septembre 1996 à Varsovie, Paul Erdös fut un enfant prodige et, à l'âge de quatre ans, il savait déjà compter avec des nombres de trois chiffres et avait redécouvert les nombres négatifs. Il fut élevé par ses parents, professeurs de mathématiques, comme un fils unique, ses deux sœu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/paul-erdos/#i_25910

EULER (CONJECTURE D')

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 694 mots

En 1769, le génial mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) proposait une conjecture généralisant le dernier théorème de Fermat. En 1966, les informaticiens américains Leon J. Lander et Thomas R. Parkin de la compagnie Aerospace à El Segundo (Californie) utilisèrent un ordinateur pour démontrer qu’elle était fausse. Vers 1630, le magistrat et mathématicien Pierre de Fermat (1601-1665) note […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/euler-conjecture-d/#i_25910

FERMAT PIERRE DE (1601-1665)

  • Écrit par 
  • Catherine GOLDSTEIN, 
  • Jean ITARD
  • , Universalis
  •  • 4 157 mots

Dans le chapitre « Théories des nombres »  : […] Comme algébriste, Fermat garde toute son originalité, en particulier dans sa méthode d'élimination des radicaux dans une équation et dans son mémoire de 1661 sur les équations de la division des arcs de cercle en parties égales. Il fait apparaître dans ce mémoire, pour la première fois, une analogie entre fonctions circulaires et fonctions exponentielles. Mais le domaine où il triomphe est celui d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/pierre-de-fermat/#i_25910

GERMAIN SOPHIE (1776-1831)

  • Écrit par 
  • Jean MEYER
  •  • 256 mots

Née à Paris, Sophie Germain suivit les cours de l'École polytechnique par correspondance (car les femmes n'y étaient pas admises). S'intéressant aux mathématiques, elle devint l'amie de J. L. Lagrange et de C. F. Gauss, avec qui elle correspondit sous le pseudonyme masculin de M. Leblanc avant de révéler sa véritable identité. Gauss l'estimait tellement qu'il la recommanda pour un titre honorifiqu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sophie-germain/#i_25910

GOLDBACH CHRISTIAN (1690-1764)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 389 mots

Mathématicien prussien ayant effectué la majeure partie de sa carrière en Russie, connu pour ses travaux en théorie des nombres. Né le 18 mars 1690 à Königsberg en Prusse (actuellement Kaliningrad en Russie), Christian Goldbach était le fils d'un pasteur. Dès 1710, il entreprend ses premiers voyages en Europe, au cours desquels il rencontre les principaux mathématiciens de son temps. En 1725, il e […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/christian-goldbach/#i_25910

GOLDBACH TERNAIRE (CONJECTURE DE)

  • Écrit par 
  • Pierre COLMEZ
  •  • 949 mots

La conjecture de Goldbach est issue d'un échange de lettres entre Goldbach et Euler datant de 1742. Elle affirme que tout nombre pair ≥ 4 est somme de deux nombres premiers. Elle admet comme conséquence le fait que tout nombre impair ≥ 7 est somme de trois nombres premiers, énoncé qui est connu sous le nom de conjecture de Goldbach ternaire. La conjecture de Goldbach résiste encore à tous les eff […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/goldbach-ternaire-conjecture-de/#i_25910

GORDAN PAUL ALBERT (1837-1912)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 334 mots

Algébriste allemand, né et mort à Erlangeus, Paul Gordan fut pendant plusieurs années employé de banque avant d'entreprendre des études universitaires à Breslau, Königsberg et Berlin, où il suivit des cours de Ernst Kummer sur la théorie des nombres. Après avoir soutenu une thèse de doctorat (1862) sur la géodésie sur les sphéroïdes, il fit un séjour à Göttingen, où travaillait alors Riemann, puis […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/paul-albert-gordan/#i_25910

GROTHENDIECK ALEXANDER (1928-2014)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ, 
  • Universalis
  •  • 791 mots

Né le 28 mars 1928 à Berlin d'un père russe (assassiné par les nazis) et d'une mère allemande, Alexander Grothendieck est venu comme réfugié en France à l'âge de treize ans et y a toujours vécu, restant longtemps apatride par respect des convictions philosophiques de son père. Il est naturalisé français en 1971. Professeur à l'Institut des hautes études scientifiques (IHES) de 1960 à 1969, il a re […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alexander-grothendieck/#i_25910

HARDY GODFREY HAROLD (1877-1947)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 440 mots

Mathématicien anglais, né à Granleigh, dans le Surrey, et mort à Cambridge. Godfrey Harold Hardy fit ses études au Trinity College de Cambridge, où il enseigna de 1906 à 1919. En 1908, il découvre, en même temps que le physicien W. Weinberg, mais indépendamment de lui, la loi de Hardy-Weinberg, qui décrit l'équilibre génétique au sein d'une population et qui aura une très grande importance pour l' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/godfrey-harold-hardy/#i_25910

HENSEL KURT (1861-1941)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 389 mots

Mathématicien allemand, Kurt Hensel est né le 21 décembre 1861 à Königsberg et mort le 1 er juin 1941 à Marburg. Il est le créateur de la théorie des nombres p -adiques. Kurt Hensel soutint en 1886 sa thèse, à Berlin, devant Kronecker, avec qui il était très lié. Il enseigna à Berlin, puis, à partir de 1901, à l'université de Marburg. Les premiers travaux de Hensel portent sur l'algèbre linéaire […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/kurt-hensel/#i_25910

INDE (Arts et culture) - Les mathématiques

  • Écrit par 
  • Agathe KELLER
  •  • 5 558 mots
  •  • 4 médias

Dans le chapitre « Mathématiques et histoire des mathématiques sous la colonisation britannique »  : […] Au début du moment colonial, lorsque les administrateurs souscrivent encore à l’idée qu’ils pourront greffer sur la culture savante sanskrite et(ou) persane des idées scientifiques modernes et « civiliser » de cette manière le sous-continent, on voit apparaître des traductions de textes mathématiques anglais – notamment ceux d’Augustus de Morgan (1806-1871), mathématicien et logicien – dans diver […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/inde/#i_25910

ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences

  • Écrit par 
  • Georges C. ANAWATI, 
  • Roshdi RASHED
  • , Universalis
  •  • 22 470 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « La théorie classique des nombres »  : […] La contribution des mathématiciens de l'époque à la théorie des nombres ne se borna pas à l'analyse diophantienne entière. Deux autres courants de recherche, partant de deux points distincts, ont abouti à l'extension et au renouvellement de la théorie hellénistique des nombres. Le premier courant avait pour source, mais aussi pour modèle, les trois livres arithmétiques des Éléments d' Euclide, tan […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/islam-la-civilisation-islamique-les-mathematiques-et-les-autres-sciences/#i_25910

JACOBI CARL (1804-1851)

  • Écrit par 
  • Jean ITARD
  •  • 983 mots

Dans le chapitre « Fonctions elliptiques »  : […] Dans l'hiver 1826-1827, Jacobi, qui ignorait les travaux non encore publiés d'Abel, écrivit ses premiers essais sur les fonctions elliptiques obtenues par inversion des intégrales elliptiques (cf. abel [ n.h. ], analyse mathématique , chap. 2). A. M.  Legendre remarqua ses travaux et signala « la grande sagacité de l'auteur et la fécondité de ses méthodes ». C'est alors que débuta la correspondan […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/carl-jacobi/#i_25910

JORDAN CAMILLE (1838-1921)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 554 mots

Dans le chapitre « Algèbre linéaire et théorie des nombres »  : […] En plus des résultats donnés ci-dessus relatifs au groupe linéaire, on doit à Jordan un exposé complet de la géométrie euclidienne réelle à n dimensions par des méthodes entièrement analytiques : notion de perpendicularité, angles, distances y sont introduits, comme de nos jours, à partir d'une forme bilinéaire. Les considérations infinitésimales de Jordan sur le groupe orthogonal sont le premier […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/camille-jordan/#i_25910

LAGRANGE JOSEPH LOUIS (1736-1813)

  • Écrit par 
  • Jean ITARD
  • , Universalis
  •  • 1 608 mots

Dans le chapitre « L'œuvre de Lagrange »  : […] Joseph Louis Lagrange appartenait à une famille turinoise originaire de France par les hommes. Les aptitudes scientifiques du jeune Lagrange se révélèrent très tôt et, bien que destiné au barreau, il se tourna à l'âge de dix-sept ans vers l'analyse mathématique. La lecture de l'ouvrage d' Euler sur les isopérimètres le conduisit, dès 1754, à des résultats fondamentaux sur le calcul des variations […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/joseph-louis-lagrange/#i_25910

LANDAU EDMUND (1877-1938)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 325 mots

Mathématicien allemand né et mort à Berlin. Edmund Landau fit ses études au lycée français de cette ville, puis à son université où il suivit les cours de Georg F. Frobenius. Docteur en mathématiques en 1899, il commença à enseigner deux ans plus tard. Il fut nommé en 1909 professeur à Göttingen et participa, aux côtés de Christian F. Klein et de David Hilbert, au développement de cette université […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/edmund-landau/#i_25910

LANGLANDS ROBERT (1936- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 1 086 mots
  •  • 1 média

Le prix Abel 2018 décerné par l’Académie norvégienne des sciences et des lettres, qui depuis 2003 récompense un mathématicien dont les « contributions sont reconnues comme extraordinairement profondes et influentes pour les sciences mathématiques », a couronné le Canadien Robert Phelan Langlands pour son « programme visionnaire reliant la théorie des représentations des groupes à la théorie des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/langlands-robert-1936/#i_25910

LEGENDRE ADRIEN MARIE (1752-1833)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 305 mots

Mathématicien français né le 18 septembre 1752 à Paris et mort le 10 janvier 1833 dans la même ville. L'ouvrage qui rendit célèbre Adrien Marie Legendre a pour titre Éléments de géométrie (1794). Il représente un des premiers essais de formalisation rigoureuse de la géométrie, et il devait exercer une très grande influence sur les mathématiciens de son temps (vingt éditions de son vivant). Mais L […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/adrien-marie-legendre/#i_25910

MARKOV ANDREÏ ANDREÏEVITCH (1856-1922)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 361 mots

Mathématicien russe né à Riazan et mort à Petrograd. Andreï Andreïevitch Markov est connu comme un spécialiste de la théorie des nombres, de la théorie des probabilités et de l'analyse mathématique. Issu d'une famille d'un petit fonctionnaire du gouvernement, il fait ses études à l'université de Saint-Pétersbourg et reçoit une médaille d'or pour son mémoire De l'intégration des équations différen […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andrei-andreievitch-markov/#i_25910

MÉDAILLES FIELDS 2014

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 1 045 mots
  •  • 1 média

Les médailles Fields récompensent tous les quatre ans de jeunes mathématiciens dont les travaux originaux ont été particulièrement remarqués. En août 2014, à l’occasion du Congrès international des mathématiciens réuni à Séoul en Corée du Sud, quatre chercheurs ont reçu ce prix prestigieux . Le mathématicien franco-brésilien Artur Ávila (né le 29 juin 1979 à Rio de Janeiro) est distingué pour ses […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/medailles-fields-2014/#i_25910

MEYER YVES (1939- )

  • Écrit par 
  • Stéphane JAFFARD
  •  • 1 231 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Des contributions très variées »  : […] Une caractéristique d’Yves Meyer est l’éclectisme dans le choix de ses thèmes de recherche. Même si les ondelettes constituent une part majeure de ses travaux, il a contribué à une grande variété de domaines des mathématiques. Jeune, il s’intéresse à l’interface entre les séries de Fourier et la théorie des nombres, ce qui l’amène à construire la théorie des ensembles modèles : il s’agit de conce […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/yves-meyer/#i_25910

MINKOWSKI HERMANN (1864-1909)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 282 mots

Mathématicien allemand né en Russie, à Alexoten, et mort à Göttingen. Hermann Minkowski habita Königsberg dès sa plus tendre enfance, et il fit ses études universitaires à Königsberg et à Berlin. De 1887 à 1902, il enseigna successivement à l'université de Bonn et à l'université de Königsberg, puis à l'École polytechnique de Zurich, où il eut comme élève A. Einstein. En 1902, il devint titulaire à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/hermann-minkowski/#i_25910

MORDELL LOUIS JOËL (1888-1972)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 510 mots

Mathématicien américain naturalisé britannique en 1929, spécialiste de la théorie des nombres. Né le 28 janvier 1888 à Philadelphie en Pennsylvanie (États-Unis), Louis Joël Mordell est le fils d'émigrants juifs lituaniens installés à Philadelphie en 1881. Passionné par les mathématiques dès son plus jeune âge, il rêve d'aller étudier à l'université de Cambridge et, en décembre 1906, après avoir ra […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/louis-joel-mordell/#i_25910

NOMBRES PREMIERS JUMEAUX

  • Écrit par 
  • Pierre COLMEZ
  •  • 790 mots

On dit que des nombres premiers p et q sont jumeaux si leur différence est égale à 2. Par exemple, 3 et 5 sont jumeaux ; 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, 29 et 31 le sont aussi. Si on continue, on s'aperçoit que les couples de nombres premiers jumeaux ont tendance à se raréfier, mais qu'on en trouve toujours, ce qui conduit à penser qu'il en existe une infinité. Le problème de l'existence d'une infi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-premiers-jumeaux/#i_25910

PRIX ABEL 2016

  • Écrit par 
  • Yves GAUTIER
  •  • 1 206 mots
  •  • 2 médias

Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables, ouvrant ainsi une nouvelle ère dans la théorie des nombres ». Wiles est né le 11 avril 1953 à Cambri […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/prix-abel-2016/#i_25910

PROBABILITÉS CALCUL DES

  • Écrit par 
  • Daniel DUGUÉ
  •  • 12 208 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Probabilités en arithmétique »  : […] Deux nombres entiers positifs étant choisis « au hasard », quelle est la probabilité pour qu'ils soient premiers entre eux ? Ici encore, il faut préciser l'expression « au hasard » ; elle voudrait signifier « en donnant la même probabilité à chaque entier positif », mais il n'est pas possible de donner directement cette égalité de chances : si elle était nulle, la probabilité de l'ensemble des en […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-probabilites/#i_25910

RECHERCHES ARITHMÉTIQUES (C. F. Gauss)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 190 mots

Les Recherches arithmétiques ( Disquisitiones arithmeticae ) que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publie à Brunswick en 1801 marquent un progrès fondamental en théorie des nombres. Les quatre premières sections sont consacrées aux congruences et, selon la Préface même de l'auteur, contiennent peu de résultats originaux ; ils sont cependant le fruit des recherches propres de Gauss qui entreprit ce […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/recherches-arithmetiques/#i_25910

RELATION

  • Écrit par 
  • Jean LADRIÈRE
  •  • 7 662 mots

Dans le chapitre « La théorie des relations d'Alfred Tarski »  : […] Dans l'œuvre de Russell, la théorie des relations s'inscrit dans un projet général : celui du logicisme. Les Principles formulent ce projet de la manière suivante : il s'agit de démontrer « que les mathématiques pures tout entières traitent exclusivement de concepts définissables dans les termes d'un très petit nombre de concepts logiques fondamentaux et que toutes leurs propositions sont déducti […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/relation/#i_25910

ROBINSON ABRAHAM (1918-1974)

  • Écrit par 
  • Daniel ANDLER
  •  • 1 124 mots

Mathématicien et logicien américain d'origine allemande. Né à Waldenburg, en Allemagne (l'actuelle Walbrzych polonaise), dans une famille intellectuelle sioniste, Abraham Robinson émigre en Palestine avec sa famille en 1933. Tout en gagnant sa vie et en suivant l'entraînement militaire de la Haganah, il étudie les mathématiques à l'université hébraïque de Jérusalem ; il y manifeste un talent si éc […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/abraham-robinson/#i_25910

ROBINSON JULIA (1919-1985)

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 1 026 mots

Née le 8 décembre 1919 à Saint. Louis, dans le Missouri, Julia Robinson fut une logicienne éminente et la mathématicienne américaine la plus connue du xx e siècle. Épouse d'un mathématicien de grand talent, Raphael M. Robinson, professeur à l'université de Californie à Berkeley, elle vit sa carrière académique contrariée par une réglementation qui interdisait à ladite université de recruter comme […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/julia-robinson/#i_25910

ROTH KLAUS FRIEDRICH (1925-2015)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 255 mots

Mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1958 pour ses travaux en théorie des nombres. Né allemand le 29 octobre 1925 à Breslau, ville devenue polonaise en 1945 sous le nom de Wrocław, Klaus Friedrich Roth fait ses études supérieures à l'université de Cambridge, puis à l'université de Londres où il obtient son doctorat en 1950. Il enseigne à l'University College de Londres de 19 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/klaus-friedrich-roth/#i_25910

SELBERG ATLE (1917-2007)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 276 mots

Mathématicien norvégien, lauréat de la médaille Fields en 1950 pour ses travaux en théorie des nombres. Né le 14 juin 1917 à Langesund (Norvège), mort le 6 août 2007 à Princeton, Atle Selberg fait ses études supérieures à l'université d'Oslo, où il obtient son doctorat en 1943. Chercheur à Oslo jusqu'en 1947, il devient boursier puis membre de l'Institute for Advanced Study de Princeton (New Jerse […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/atle-selberg/#i_25910

SIEGEL CARL LUDWIG (1896-1981)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 434 mots

Mathématicien allemand, né à Berlin et mort à Göttingen, dont les travaux portent principalement sur la théorie des nombres et les fonctions automorphes. Carl Ludwig Siegel fut l'élève de G. F. Frobenius ; il enseigna aux universités de Francfort et de Göttingen et fut membre de l'Institute for Advanced Study de Princeton à partir de 1940, ayant préféré s'expatrier que de rester professeur sous le […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/carl-ludwig-siegel/#i_25910

SKOLEM ALBERT THORALF (1887-1963)

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 438 mots

Logicien et mathématicien norvégien né à Sandsvaer et mort à Oslo. Ses travaux en algèbre (théorème de Skolem-Noether pour les algèbres associatives) et en théorie des nombres (introduction des méthodes p -adiques dans la théorie des équations diophantiennes), qui lui vaudraient, en tout état de cause, un rang honorable parmi les mathématiciens de son époque, sont éclipsés par ses éclatantes contr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/albert-thoralf-skolem/#i_25910

STIELTJES THOMAS-JEAN (1856-1894)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 497 mots

Mathématicien né le 29 décembre 1856 à Zwolle (Pays-Bas), mort le 31 décembre 1894 à Toulouse. Sentant une profonde vocation pour les travaux théoriques, Thomas Stieltjes fit le tour de toute l'analyse de son époque. Sa méthode de recherche s'apparentait à celle de Gauss : découvrir les lois générales à travers les particularités de l'exemple. Fils d'ingénieur, Stieltjes fit ses études à l'École p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/thomas-jean-stieltjes/#i_25910

SYLVESTER JAMES JOSEPH (1814-1897)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 412 mots

Mathématicien anglais, né et mort à Londres, qui a créé avec Arthur Cayley la théorie des invariants algébriques. En 1838, James Joseph Sylvester devint professeur de philosophie naturelle au collège de l'université de Londres. En 1841, il accepta la chaire de mathématiques de l'université de Virginie (Charlottesville), mais donna sa démission au bout de trois mois. Quatre ans plus tard, il revint […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/james-joseph-sylvester/#i_25910

TAO TERENCE CHI-SHEN (1975- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 314 mots

Mathématicien d'origine chinoise, Terence Chi-Shen Tao (né en Australie en 1975, médaillé Fields en 2006) démontre en 2012 que tout entier impair peut se décomposer en cinq nombres premiers. Comme il en a pris l'habitude depuis plusieurs années, le jeune professeur de l'université de Californie à Los Angeles présente et commente son travail dans son blog (http ://terrytao.wordpress.com/) : « le r […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/tao/#i_25910

TATE JOHN (1925-2019)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 325 mots
  •  • 1 média

Professeur à l'université Harvard la plus grande part de sa carrière, puis à l'université du Texas à Austin, le mathématicien américain John Tate a reçu le prix Abel en 2010 « pour l'étendue et le caractère durable de son influence sur la théorie des nombres ». Développée au cours du xx e  siècle en l'une des branches les plus élaborées et sophistiquées des mathématiques, cette théorie a tissé de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/john-tate/#i_25910

TCHEBYCHEV PAFNOUTIÏ LVOVITCH (1821-1894)

  • Écrit par 
  • Georges GLAESER
  •  • 1 319 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Théorie des nombres »  : […] Tchebychev a contribué à l'étude de la répartition des nombres premiers. Il démontre la conjecture de Bertrand selon laquelle, pour tout entier n supérieur à 6, il existe au moins un nombre premier compris entre n /2 et n  − 2. D'autre part, il refuse la conjecture de Legendre qui pensait que n /(ln  n  − 1,083 66) représente asymptotiquement le nombre des entiers premiers inférieurs à n. Après […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/pafnoutii-lvovitch-tchebychev/#i_25910

VINOGRADOV IVAN MATVEÏEVITCH (1891-1983)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 291 mots

Mathématicien russe, né le 14 septembre 1891 à Milolioub (Velikie Louki) et mort le 20 mars 1983 à Moscou, membre de l'Académie des sciences de l'ex-U.R.S.S. et membre correspondant de l'Académie des sciences de Paris, ainsi que de nombreux autres pays. Alors qu'aux xviii e et xix e siècles on utilisait principalement des méthodes algébriques pour traiter les problèmes de théorie des nombres, Vi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ivan-matveievitch-vinogradov/#i_25910

WARING EDWARD (1736-1798)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 480 mots

Mathématicien britannique, spécialiste d'algèbre et de théorie des nombres. Né en 1736 à Old Heath près de Shrewsbury en Angleterre, Edward Waring était le fils d'un paysan. Après des études élémentaires à l'école de Shrewsbury, Waring est admis au Magdalene College de l'université de Cambridge le 24 mars 1753, avec des frais de scolarité réduits pourvu qu'il effectue de multiples services. Élève […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/edward-waring/#i_25910

WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 804 mots

Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en algèbre et en théorie des nombres. Né le 5 mai 1842 à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/heinrich-martin-weber/#i_25910

WEIL ANDRÉ (1906-1998)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 804 mots
  •  • 1 média

Mathématicien français, André Weil a mené des travaux portant principalement sur la géométrie algébrique et ses applications à la théorie des nombres. Né le 6 mai 1906, André Weil entra à l'École normale supérieure à l'âge de seize ans ; il fut docteur ès sciences à vingt-deux ans, avec une thèse qui fit époque : il y étendait à toutes les courbes algébriques un théorème de finitude obtenu peu a […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andre-weil/#i_25910

WILES ANDREW JOHN (1953- )

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 566 mots

Mathématicien anglais, né le 11 avril 1953 à Cambridge. Andrew John Wiles étudie au Merton College d’Oxford, où il obtient sa licence en 1974, puis au Clare College de Cambridge, où il obtient son doctorat en 1980. D’abord nommé à l’université Harvard (Massachusetts), Wiles rejoint celle de Princeton (New Jersey) en 1982. Il travaille sur un certain nombre de problèmes non résolus de la théorie […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andrew-john-wiles/#i_25910

Voir aussi

Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/