NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres algébriques

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Idèles et adèles

Dans ses recherches sur les formes quadratiques à coefficients dans un corps de nombres algébriques k, en vue d'étendre un résultat de Minkowski, Hilbert avait été conduit à considérer simultanément des congruences modulo les puissances des idéaux premiers du corps, et les équations correspondantes dans R ou dans C, provenant des divers plongements de k ; il appelait place de k un idéal premier de k, ou bien un plongement de k dans R ou dans C, ces dernières places étant qualifiées de « places à l'infini ». Takagi (1920), dans ses démonstrations des conjectures de Weber en théorie du corps de classes, a modifié la notion de diviseur telle que nous l'avons introduite plus haut, de manière à inclure les places à l'infini : selon Takagi, un diviseur est un symbole m = p1n1p2n2 ... prnr, avec n∈ N, les pi étant des places finies (= idéaux premiers) ou non. Dans les diviseurs fractionnaires, on admet des exposants ni négatifs, et on a ainsi un groupe multiplicatif ; à un diviseur entier m, on associe le groupe Am des diviseurs fractionnaires premiers à m, et le sous-groupe Hm des diviseurs principaux congrus à 1 modulo m, c'est-à-dire congrus à 1 modulo pini pour tout i tel que pi soit un idéal premier, et d'image positive pour toute place à l'infini réelle pi. Les groupes de classes d'idéaux de Weber sont alors remplacés par les groupes de classes de diviseurs Am/Hm et leurs quotients de la forme Am/Hm ( NK/k(Am(K)), où K est une extension galoisienne finie de k, Am(K) est le groupe des diviseurs fractionnaires de K premiers à m, et NK/k est la « norme relative » ; si l'ordre du groupe quotient précédent est égal au degré (K : k), K est un corps de classes au sens de Takagi, et son groupe de Galois sur k est isomorphe à ce quotient. Toute extension abélienne de k est un corps de classes pour un certain diviseur m, que l'on peut choisir minimal (le « conducteur » de K).

Une théorie analogue, mais beaucoup plus simple, a été développée par Hasse (1929-1930), en considérant, au lieu du corps de nombres algébriques k son complété kp pour la valuation associée à l'idéal premier p ; ce corps kp est une extension finie du corps p-adique Qp, où p est le nombre premier que p divise (cf. théorie des nombres - Nombres p-adiques), et il a des propriétés analogues : son anneau op des entiers, éléments de valuation ≥ 0, est principal et il a un seul idéal premier non nul, engendré par p. La théorie du corps de classes local de Hasse établit une correspondance bijective entre les sous-groupes d'indice fini H du groupe multiplicatif de kp et les extensions abéliennes finies Kp de kp (ce sont aussi des corps locaux, extensions finies de Qp, et on note P l'unique idéal premier non nul) ; pour une telle extension, H est l'image du groupe multiplicatif de Kp par la norme relative NKp/kp. Les démonstrations de Hasse étaient fondées sur la théorie « globale » de Takagi, mais Chevalley (1933) est parvenu à un exposé autonome de la théorie locale. Il eut ensuite l'idée de récupérer la théorie globale à partir de la théorie locale (1936-1940), en remplaçant les diviseurs de Takagi par les idèles. Un idèle de k est un élément (ξp)p du produit des groupes multiplicatifs de tous les complétés kp de k, p variant dans l'ensemble de toutes les places, y compris les places à l'infini ; pour ces dernières, le complété est R si la place est réelle, et C si la place est imaginaire (d'après un théorème d'Ostrowski (1935), toutes les valeurs absolues possibles sur k sont équivalentes à l'une de celles qui sont définies par les places ; cf. topologie-Topologie algébrique). On impose, de plus, que vpp) = 0 sauf pour un nombre fini de places finies p, en notant vp la valuation correspondante ; l'ensemble I(k) des idèles de k est un sous-groupe du produit :

des groupes multiplicatifs. Le groupe multiplicatif kx de k se plonge dans I(k), chaque ξ ∈ k donnant pour image l'idèle (ξp) tel que ξp = ξ pour toute place p ; on a un homomorphisme de I(k) sur le groupe des idéaux fractionnaires de k, qui transforme l'idèle (ξp) en l'idéal :
(produit étendu aux places finies). Le noyau de cet homomorphisme est l'ensemble U(k) des idèles (ξp) tels que ξp soit une unité de kp (élément de valuation 0) pour toute place finie p ; il en résulte que le groupe des classes d'idéaux est isomorphe au quotient I(k)/kxU(k). Lorsque K est une extension abélienne finie de k, Chevalley définit un homomorphisme de norme NK/k : I(K) → I(k) en combinant les normes relative [...]

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  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/