DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

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Diophante d'Alexandrie, vers les années 250 de notre ère, fut le premier à rechercher systématiquement les solutions en nombres entiers, ou rationnels, d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Bien que ce ne soit qu'avec Fermat (1601-1665) que les méthodes utilisées pour résoudre ces équations prirent un aspect vraiment arithmétique, c'est-à-dire faisant pleinement intervenir la factorisation des nombres entiers, une longue tradition appelle équation diophantienne la donnée d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers :

à résoudre en nombre entiers, ou rationnels, x1, ..., xn.

Selon que l'on veut résoudre en nombre entiers ou rationnels, les méthodes et les résultats diffèrent souvent sensiblement.

Des méthodes générales existent pour résoudre un système d'équations du premier degré, ou encore une équation du second degré. On dispose encore de méthodes pour étudier une équation du troisième degré, mais déjà, là, les problèmes ouverts abondent. Quant aux équations de degré supérieur, il est significatif que beaucoup d'ouvrages consacrés aux équations diophantiennes n'apparaissent que comme une accumulation de résultats disparates.

De fait, il a maintenant été établi (J. Robinson, Yu. V. Matijasevic, 1970) que le dixième problème de Hilbert a une réponse négative : il n'existe pas d'algorithme universel permettant de décider si une équation diophantienne a une solution en nombre entiers.

On ne peut donc espérer obtenir des méthodes générales que pour des types particuliers de systèmes d'équations. Comment classifier ces « types » ? La façon la plus évidente est d'utiliser le degré des équations définissant le système. Cette classification est souvent trop grossière, mais peut être affinée grâce à la géométrie algébrique. Cette dernière permet d'obtenir des résultats généraux – parfois difficiles à traduire en termes d'équations concrètes. La géométrie algébrique nous donne aussi la mesure de notre ignorance : ainsi aucun changement de variables ne permet de ramener une équation du type :

(a, b, c, d entiers non nuls), à résoudre en (x, y, z) nombres ra [...]

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Pour citer l’article

Marcel DAVID, Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, « DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 décembre 2018. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/