DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

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Diophante d'Alexandrie, vers les années 250 de notre ère, fut le premier à rechercher systématiquement les solutions en nombres entiers, ou rationnels, d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Bien que ce ne soit qu'avec Fermat (1601-1665) que les méthodes utilisées pour résoudre ces équations prirent un aspect vraiment arithmétique, c'est-à-dire faisant pleinement intervenir la factorisation des nombres entiers, une longue tradition appelle équation diophantienne la donnée d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers :

à résoudre en nombre entiers, ou rationnels, x1, ..., xn.

Selon que l'on veut résoudre en nombre entiers ou rationnels, les méthodes et les résultats diffèrent souvent sensiblement.

Des méthodes générales existent pour résoudre un système d'équations du premier degré, ou encore une équation du second degré. On dispose encore de méthodes pour étudier une équation du troisième degré, mais déjà, là, les problèmes ouverts abondent. Quant aux équations de degré supérieur, il est significatif que beaucoup d'ouvrages consacrés aux équations diophantiennes n'apparaissent que comme une accumulation de résultats disparates.

De fait, il a maintenant été établi (J. Robinson, Yu. V. Matijasevic, 1970) que le dixième problème de Hilbert a une réponse négative : il n'existe pas d'algorithme universel permettant de décider si une équation diophantienne a une solution en nombre entiers.

On ne peut donc espérer obtenir des méthodes générales que pour des types particuliers de systèmes d'équations. Comment classifier ces « types » ? La façon la plus évidente est d'utiliser le degré des équations définissant le système. Cette classification est souvent trop grossière, mais peut être affinée grâce à la géométrie algébrique. Cette dernière permet d'obtenir des résultats généraux – parfois difficiles à traduire en termes d'équations concrètes. La géométrie algébrique nous donne aussi la mesure de notre ignorance : ainsi aucun changement de variables ne permet de ramener une équation du type :

(a, b, c, d entiers non nuls), à résoudre en (x, y, z) nombres rationnels, à un type d'équations que l'on sait actuellement traiter.

Par extension, on appelle aussi équations diophantiennes des équations dans lesquelles les exposants figurent parmi les inconnues ; la plus fameuse équation de ce type est :

à résoudre en entiers (x, y, m, n) au moins égaux à 1, qui n'admettrait (E. Catalan, 1814-1894) que la solution :
De grands progrès ont été réalisés dans cette direction.

Dans cet article, l'ensemble des entiers naturels est désigné par N, l'anneau des entiers relatifs par Z, le corps des nombres rationnels par Q.

Le premier et le second degré

Le premier degré

L'équation :

ou a, b, c sont entiers relatifs, se traite classiquement.

Si c n'est pas divisible par le plus grand commun diviseur de a et b, il n'y a pas de solution entière ; on peut donc supposer a et b premiers entre eux et utiliser la résolution de au bv = 1 (Bezout), d'où x = u0kb, v0c − ka, avec u0 et v0 solution particulière de l'équation de Bezout et k entier relatif quelconque.

La solution (u0, v0) peut se trouver par essais successifs, si a et b ne sont pas trop grands ; sinon, on développe a/b en fraction continuée et, si a/b = pn/qn est la n-ième réduite, on prend la (n − 1)-ième qui, au signe près, donne u0 = qn-1 et v0 = − pn-1. Par exemple, si 355 x + 113 = 1, on a 355/113 = [3, 7, 16], d'où pn-1/qn-1 = 22/7 et u0 = − 7, v0 = 22. Cela correspond aussi, si l'on veut, à l'application de l'algorithme d'Euclide au couple (a, b).

L'équation :

que nous écrirons A . X = c avec :
se résout, en supposant les ai premiers entre eux dans leur ensemble, par les points d'un réseau à (n − 1) dimensions  :
où U0 est solution particulière de l'équation de Bezout A . X = 1 et où B1, B2, ..., Bn-1 engendrent le module des solutions de A . X = 0.

Un système non homogène :

(i = 1, 2, ..., r) se discutera dans Zr, où on l'écrira :
avec Vi et C vecteurs colonnes de Zr. Une condition nécessaire et suffisante de résolution est que tous les déterminants d'ordre r extraits de la matrice des coordonnées de (C, V1, V2, ..., Vn) soient divisibles par le P.G.C.D. des déterminants d'ordre r extraits de la matrice des coordonnées de (V1, V2, ..., Vn).

Signalons que le théorème des restes chinois (≡ ai mod mi, pour i = 1 [...]

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Pour citer l’article

Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID, « DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 janvier 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/