DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

Diophante d'Alexandrie, vers les années 250 de notre ère, fut le premier à rechercher systématiquement les solutions en nombres entiers, ou rationnels, d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Bien que ce ne soit qu'avec Fermat (1601-1665) que les méthodes utilisées pour résoudre ces équations prirent un aspect vraiment arithmétique, c'est-à-dire faisant pleinement intervenir la factorisation des nombres entiers, une longue tradition appelle équation diophantienne la donnée d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers :

Selon que l'on veut résoudre en nombre entiers ou rationnels, les méthodes et les résultats diffèrent souvent sensiblement.

Des méthodes générales existent pour résoudre un système d'équations du premier degré, ou encore une équation du second degré. On dispose encore de méthodes pour étudier une équation du troisième degré, mais déjà, là, les problèmes ouverts abondent. Quant aux équations de degré supérieur, il est significatif que beaucoup d'ouvrages consacrés aux équations diophantiennes n'apparaissent que comme une accumulation de résultats disparates.

De fait, il a maintenant été établi (J. Robinson, Yu. V. Matijasevic, 1970) que le dixième problème de Hilbert a une réponse négative : il n'existe pas d'algorithme universel permettant de décider si une équation diophantienne a une solution en nombre entiers.

On ne peut donc espérer obtenir des méthodes générales que pour des types particuliers de systèmes d'équations. Comment classifier ces « types » ? La façon la plus évidente est d'utiliser le degré des équations définissant le système. Cette classification est souvent trop grossière, mais peut être affinée grâce à la géométrie algébrique. Cette dernière permet d'obtenir des résultats généraux – parfois difficiles à traduire en termes d'équations concrètes. La géométrie algébrique nous donne aussi la mesure de notre ignorance : ainsi aucun changement de variables ne permet de ramener une équation du type :

Par extension, on appelle aussi équations diophantiennes des équations dans lesquelles les exposants figurent parmi les inconnues ; la plus fameuse équation de ce type est :

Dans cet article, l'ensemble des entiers naturels est désigné par N, l'anneau des entiers relatifs par Z, le corps des nombres rationnels par Q.

Le premier et le second degré

Le premier degré

L'équation :

ou a, b, c sont entiers relatifs, se traite classiquement.

Si c n'est pas divisible par le plus grand commun diviseur de a et b, il n'y a pas de solution entière ; on peut donc supposer a et b premiers entre eux et utiliser la résolution de au + bv = 1 ( Bezout), d'où x = u₀c + kb, y = v₀c − ka, avec u₀ et v₀ solution particulière de l'équation de Bezout et k entier relatif quelconque.

La solution (u₀, v₀) peut se trouver par essais successifs, si a et b ne sont pas trop grands ; sinon, on développe a/b en fraction continuée et, si a/b = p_n/q_n est la n-ième réduite, on prend la (n − 1)-ième qui, au signe près, donne u₀ = q_n-1 et v₀ = − p_n-1. Par exemple, si 355 x + 113 y = 1, on a 355/113 = [3, 7, 16], d'où p_n-1/q_n-1 = 22/7 et u₀ = − 7, v₀ = 22. Cela correspond aussi, si l'on veut, à l'application de l'algorithme d'Euclide au couple (a, b).

L'équation :[...]