NOMBRES PREMIERS

Articles

• NOMBRES PREMIERS JUMEAUX

  • Écrit par Pierre COLMEZ
  • 755 mots

  On dit que des nombres premiers p et q sont jumeaux si leur différence est égale à 2. Par exemple, 3 et 5 sont jumeaux ; 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, 29 et 31 le sont aussi. Si on continue, on s'aperçoit que les couples de nombres premiers jumeaux ont tendance à se raréfier, mais qu'on en trouve toujours,...

• ALGORITHMIQUE

  • Écrit par Philippe COLLARD, Philippe FLAJOLET
  • 6 652 mots
  • 3 médias
  La base de nombreux tests de primalité est le « petit » théorème de Fermat, d'après lequel, si m est premier,

  

  pour tout a : 1 < a < m. Il en résulte que la découverte d'un entier a tel que a^m−1 /≡ 1 (mod m) constitue une preuve du caractère composite de m, sans...

• ANNEAUX COMMUTATIFS

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 6 217 mots
  • 1 média
  ...des propriétés de divisibilité très analogues et sont dits associés. Pour terminer ces définitions, indiquons qu'un élément a de A* est dit premier, ou irréductible, s'il n'est pas inversible et si pour toute décomposition a = bc ; b, c éléments de A*, l'un des deux facteurs...

• COMPLEXITÉ, mathématique

  • Écrit par Jean-Paul DELAHAYE
  • 1 626 mots
  ...de très nombreux travaux ont été menés dans ce but. En 2002 par exemple, des chercheurs indiens ont démontré un résultat attendu depuis deux décennies : le problème de savoir si un nombre est premier (problème de la primalité) est dans la classe P (le problème de la primalité n'est pas équivalent à celui...

• DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

  • Écrit par Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID, Universalis
  • 6 121 mots
  • 1 média
  Kummer obtint des résultats spectaculaires, mais encore incomplets : le théorème de Fermat est vérifié pour tout premier p pour lesquels le nombre de classes d'idéaux n'est pas divisible par p (un tel nombre p est appelé nombre premier régulier). Le théorème de Fermat a finalement été...

• DIVISIBILITÉ

  • Écrit par Marcel DAVID
  • 3 645 mots
  ...| a, antisymétrique car a | b et b | a entraînent a = b. Cet ordre n'est pas total car deux entiers a et b ne vérifient pas obligatoirement l'une des relations a | b ou b | a. Unnombre p ≠ 1 est dit premier s'il n'est divisible que par 1 et par lui-même.

• EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 885 mots

  Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien...

• ERDÖS PAUL (1913-1996)

  • Écrit par Jean-Louis NICOLAS
  • 945 mots

  Mathématicien brillant et hors du commun, lauréat du prix Wolf en 1983.

  Né le 26 mars 1913 à Budapest et décédé le 20 septembre 1996 à Varsovie, Paul Erdös fut un enfant prodige et, à l'âge de quatre ans, il savait déjà compter avec des nombres de trois chiffres et avait redécouvert les nombres négatifs....

• EULER LEONHARD (1707-1783)

  • Écrit par Christian HOUZEL, Jean ITARD
  • 2 759 mots
  • 1 média
  ...ou irrationnelle. Au chapitre xv de l'Introductio, Euler transforme la série ζ(s), s entier, en un produit infini faisant intervenir la suite des nombres premiers ; la divergence de ζ(1) lui donne alors non seulement l'infinitude des nombres premiers, mais encore la divergence de la série des inverses...

• GÉNÉRATEUR, mathématique

  • Écrit par André WARUSFEL
  • 985 mots

  Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène, ou encore posséder un générateur a, si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux...

• GOLDBACH TERNAIRE (CONJECTURE DE)

  • Écrit par Pierre COLMEZ
  • 924 mots

  La conjecture de Goldbach est issue d'un échange de lettres entre Goldbach et Euler datant de 1742. Elle affirme que tout nombre pair ≥ 4 est somme de deux nombres premiers. Elle admet comme conséquence le fait que tout nombre impair ≥ 7 est somme de trois nombres premiers, énoncé qui est connu...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 1 média
  Théorème. Soit A le corps des nombres algébriques et Q celui des rationnels, 1. Si a est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et si b est un irrationnel algébrique, alors a^b est transcendant, 2. Si a et b sont des nombres algébriques différents de 0 et de 1, alors log a/log ...

• INFORMATIQUE ET VÉRITÉ MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Jean-Paul DELAHAYE
  • 1 988 mots
  La cryptographie a fréquemment besoin de grands nombres premiers (de cent chiffres décimaux et plus) et aucune méthode sûre ne permet aujourd'hui d'en produire dans un délai raisonnable. On utilise donc ce qu'on appelle des algorithmes probabilistes. Le test probabiliste de primalité de Fermat en fournit...

• ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences

  • Écrit par Georges C. ANAWATI, Universalis, Roshdi RASHED
  • 22 273 mots
  • 1 média
  ...été la caractérisation des nombres : amiables, équivalents, parfaits. On ne doit pas s'étonner dans ces conditions que les mathématiciens reviennent aux nombres premiers pour procéder à une tâche analogue. C'est précisément ce qu'a fait Ibn al-Haytham au cours de sa solution du problème dit du « reste chinois...

• MÉDAILLES FIELDS 2022

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 1 637 mots
  • 4 médias

  Les prestigieuses médailles Fields distinguent, tous les quatre ans, deux, trois ou quatre jeunes mathématiciens (âgés de moins de quarante ans) pour « leurs résultats mathématiques exceptionnels ». Leur attribution doit aussi, selon leur fondateur le mathématicien canadien John Charles...

• MERSENNE NOMBRES DE

  • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  • 516 mots

  Un nombre de Mersenne est un nombre entier naturel de la forme 2ⁿ – 1, où n est un nombre entier naturel. Ces nombres ont été nommés ainsi en l'honneur du Français Marin Mersenne (1588-1648), qui en avait entrepris l'étude.

  Pour qu'un tel nombre, généralement noté M_n, soit...

• NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 12 998 mots
  .... Abel (1828) a utilisé cette multiplication complexe pour établir que l'équation algébrique dont les racines sont les nombres sl(ω/p), où p est un nombre premier de la forme 4 k + 1 et ω est l'une quelconque des périodes de la fonction sl, est résoluble par radicaux ; dans ce cas, ...

• TAO TERENCE CHI-SHEN (1975- )

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 313 mots

  Mathématicien d'origine chinoise, Terence Chi-Shen Tao (né en Australie en 1975, médaillé Fields en 2006) démontre en 2012 que tout entier impair peut se décomposer en cinq nombres premiers. Comme il en a pris l'habitude depuis plusieurs années, le jeune professeur de l'université de Californie...