Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Dès la plus haute antiquité, on rencontre, à l'occasion de problèmes concrets, des exemples de résolution d'équations du premier et du second degré, et, jusqu'au début du xixe siècle, l'étude des équations constitue l'unique préoccupation des algébristes.

Le développement de la théorie est étroitement lié aux extensions successives de la notion de nombre : introduction des nombres négatifs, des nombres irrationnels, tandis que les formules de résolution de l'équation du troisième degré allaient conduire les algébristes italiens du xvie siècle à raisonner sur les nombres imaginaires (cf. nombres complexes).

Par analogie avec le cas des équations de degré inférieur ou égal à 4, les algébristes pensèrent que toute solution d'une équation pouvait s'exprimer par des radicaux portant sur les coefficients de l'équation. Par un hasard de l'histoire des sciences, les tentatives pour établir cette conjecture, pourtant mathématiquement saugrenue, allaient conduire à dégager les premières structures abstraites et être à l'origine de l'algèbre moderne.

Équations affines

On étudiera en premier lieu le développement historique des systèmes d'équations affines.

Premier exemple

Problème 69 du Papyrus Rhind (Égypte), vers 1700 avant notre ère : « Trois boisseaux et demi de farine sont transformés en 80 pains. Dis-moi combien chaque pain contient de farine et quelle est leur force. »

Rappelons que le boisseau (heqat) mesure environ 4,5 litres. Il est divisé en 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 de boisseau et contient 320 « ros » (ou parties). La « force » d'un pain est la quantité de pains que peut fournir un boisseau de farine. Si x est cette force et si y est la quantité de farine contenue dans un pain, x et y sont – avec les mêmes unités – inverses l'un de l'autre. Le texte donne pour la force :

et, pour la quantité de farine contenue dans un pain, 3 boisseaux et demi divisés par 80, ou 1 120 ros divisés par 80, donnent 1/32 de boisseau et 4 ros.

C'est un problème très élémentaire du type ax = b ou a = by. Toute la difficulté provient, au point de vue concret, du choix des unités de mesure et de leurs subdivisions, et, au point de vue abstrait, du calcul égyptien des fractions. Dans ce calcul, la notion de fraction générale n'est pas encore dégagée, ou, en langage actuel, l'ensemble Q+ n'est pas mis en évidence. À part la fraction 2/3, l'Égyptien ne calcule que par quantièmes ou fractions de numérateur 1. Ces errements se prolongeront très longtemps dans les littératures mathématiques grecque (collection héronienne), byzantine et occidentale.

Deuxième exemple

On peut trouver en Égypte des problèmes plus savants que le précédent, qui se ramènent au même type d'équation. Prenons cependant, dans la mathématique babylonienne, un deuxième exemple à peu près contemporain du précédent (E. Bruins et M. Rutten, Textes mathématiques de Suse) : « Un quart de la largeur, ajoute à la longueur : 7 mains... à 10... 10 c'est la somme. Largeur ? » En désignant la longueur par x, la largeur par y, on obtient le système x + y/4 = 7 ; x + y = 10. Voici la solution donnée dans la tablette : « Porte 7 à 4 du « quart » : 28 tu trouves ; tu soustrais 10 de 28 : 18 tu trouves. Dénoue l'inverse de 3 : 20 tu trouves ; porte 20 à 18 : 6 tu trouves : 6 la longueur ; tu soustrais 6 de 10 : 4, la largeur... »

Ce système de deux équations à deux inconnues est résolu suivant un procédé encore utilisé dans notre enseignement élémentaire. La numération utilisée est à base 60. La division est remplacée par la multiplication par l'inverse du diviseur.

Troisième exemple

La littérature chinoise offre, dans le même ordre d'idées, des exemples ultérieurs, parmi lesquels le suivant,[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

  • : agrégé de l'Université, membre correspondant de l'Académie internationale d'histoire des sciences

. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 1 304 mots

    À une époque où la Norvège était d'une extrême pauvreté par suite des guerres qui l'avaient ruinée, Niels Henrik Abel, second fils d'une famille de sept enfants, naquit le 5 août 1802 dans l'île de Finnøy, près de Stavanger. Dès sa quinzième année, il lut et assimila les travaux les plus difficiles d'Euler...

  • AL-KHWARIZMI

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 183 mots

    Résident de la maison de la Sagesse à Bagdad, le mathématicien Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi a participé à la traduction de nombreux manuscrits scientifiques grecs. Son traité intitulé Hisab al-jabr w'al-muqabala est considéré comme le premier manuel d'algèbre...

  • ARITHMÉTIQUES (Diophante)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 188 mots

    Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques...

  • BÉZOUT ÉTIENNE (1739-1783)

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 172 mots

    Le nom d'Étienne Bézout doit être associé à l'utilisation des déterminants dans la théorie des équations algébriques. Dans son mémoire à l'Académie (1764) et surtout dans son ouvrage Théorie générale des équations algébriques (1779), Bézout donne des règles pour résoudre...

  • Afficher les 27 références

Voir aussi