ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

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Dès la plus haute antiquité, on rencontre, à l'occasion de problèmes concrets, des exemples de résolution d'équations du premier et du second degré, et, jusqu'au début du xixe siècle, l'étude des équations constitue l'unique préoccupation des algébristes.

Le développement de la théorie est étroitement lié aux extensions successives de la notion de nombre : introduction des nombres négatifs, des nombres irrationnels, tandis que les formules de résolution de l'équation du troisième degré allaient conduire les algébristes italiens du xvie siècle à raisonner sur les nombres imaginaires (cf. nombres complexes).

Par analogie avec le cas des équations de degré inférieur ou égal à 4, les algébristes pensèrent que toute solution d'une équation pouvait s'exprimer par des radicaux portant sur les coefficients de l'équation. Par un hasard de l'histoire des sciences, les tentatives pour établir cette conjecture, pourtant mathématiquement saugrenue, allaient conduire à dégager les premières structures abstraites et être à l'origine de l'algèbre moderne.

Équations affines

On étudiera en premier lieu le développement historique des systèmes d'équations affines.

Premier exemple

Problème 69 du Papyrus Rhind (Égypte), vers 1700 avant notre ère : « Trois boisseaux et demi de farine sont transformés en 80 pains. Dis-moi combien chaque pain contient de farine et quelle est leur force. »

Rappelons que le boisseau (heqat) mesure environ 4,5 litres. Il est divisé en 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 de boisseau et contient 320 « ros » (ou parties). La « force » d'un pain est la quantité de pains que peut fournir un boisseau de farine. Si x est cette force et si y est la quantité de farine contenue dans un pain, x et y sont – avec les mêmes unités – inverses l'un de l'autre. Le texte donne pour la force :

et, pour la quantité de farine contenue dans un pain, 3 boisseaux et demi divisés par 80, ou 1 120 ros divisés par 80, donnent 1/32 de boisseau et 4 ros.

C'est un problème très élémentaire du type ax = b ou a = by. Toute [...]

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  • : agrégé de l'Université, membre correspondant de l'Académie internationale d'histoire des sciences

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Pour citer l’article

Jean ITARD, « ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 mai 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-algebriques/