ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Dès la plus haute antiquité, on rencontre, à l'occasion de problèmes concrets, des exemples de résolution d'équations du premier et du second degré, et, jusqu'au début du xixe siècle, l'étude des équations constitue l'unique préoccupation des algébristes.

Le développement de la théorie est étroitement lié aux extensions successives de la notion de nombre : introduction des nombres négatifs, des nombres irrationnels, tandis que les formules de résolution de l'équation du troisième degré allaient conduire les algébristes italiens du xvie siècle à raisonner sur les nombres imaginaires (cf. nombres complexes).

Par analogie avec le cas des équations de degré inférieur ou égal à 4, les algébristes pensèrent que toute solution d'une équation pouvait s'exprimer par des radicaux portant sur les coefficients de l'équation. Par un hasard de l'histoire des sciences, les tentatives pour établir cette conjecture, pourtant mathématiquement saugrenue, allaient conduire à dégager les premières structures abstraites et être à l'origine de l'algèbre moderne.

Équations affines

On étudiera en premier lieu le développement historique des systèmes d'équations affines.

Premier exemple

Problème 69 du Papyrus Rhind (Égypte), vers 1700 avant notre ère : « Trois boisseaux et demi de farine sont transformés en 80 pains. Dis-moi combien chaque pain contient de farine et quelle est leur force. »

Rappelons que le boisseau (heqat) mesure environ 4,5 litres. Il est divisé en 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 de boisseau et contient 320 « ros » (ou parties). La « force » d'un pain est la quantité de pains que peut fournir un boisseau de farine. Si x est cette force et si y est la quantité de farine contenue dans un pain, x et y sont – avec les mêmes unités – inverses l'un de l'autre. Le texte donne pour la force :

et, pour la quantité de farine contenue dans un pain, 3 boisseaux et demi divisés par 80, ou 1 120 ros divisés par 80, donnent 1/32 de boisseau et 4 ros.

C'est un problème très élémentaire du type ax = b ou a = by. Toute la difficulté provient, au point de vue concret, du choix des unités de mesure et de leurs subdivisions, et, au point de vue abstrait, du calcul égyptien des fractions. Dans ce calcul, la notion de fraction générale n'est pas encore dégagée, ou, en langage actuel, l'ensemble Q+ n'est pas mis en évidence. À part la fraction 2/3, l'Égyptien ne calcule que par quantièmes ou fractions de numérateur 1. Ces errements se prolongeront très longtemps dans les littératures mathématiques grecque (collection héronienne), byzantine et occidentale.

Deuxième exemple

On peut trouver en Égypte des problèmes plus savants que le précédent, qui se ramènent au même type d'équation. Prenons cependant, dans la mathématique babylonienne, un deuxième exemple à peu près contemporain du précédent (E. Bruins et M. Rutten, Textes mathématiques de Suse) : « Un quart de la largeur, ajoute à la longueur : 7 mains... à 10... 10 c'est la somme. Largeur ? » En désignant la longueur par x, la largeur par y, on obtient le système x + y/4 = 7 ; x + y = 10. Voici la solution donnée dans la tablette : « Porte 7 à 4 du « quart » : 28 tu trouves ; tu soustrais 10 de 28 : 18 tu trouves. Dénoue l'inverse de 3 : 20 tu trouves ; porte 20 à 18 : 6 tu trouves : 6 la longueur ; tu soustrais 6 de 10 : 4, la largeur... »

Ce système de deux équations à deux inconnues est résolu suivant un procédé encore utilisé dans notre enseignement élémentaire. La numération utilisée est à base 60. La division est remplacée par la multiplication par l'inverse du diviseur.

Troisième exemple

La littérature chinoise offre, dans le même ordre d'idées, des exemples ultérieurs, parmi lesquels le suivant, extrait de Neuf Chapitres sur l'art du calcul, ouvrage qui se situe dans les deux derniers siècles avant notre ère. « Les poids de deux gerbes d'une récolte A, de trois gerbes d'une récolte B, de quatre gerbes d'une récolte C sont supérieurs à une unité de poids. Deux gerbes A valent, en sus de l'unité, une gerbe B. Trois gerbes B valent, en sus de l'unité, une gerbe C, et quatre gerbes C, une gerbe A. Quel est le poids d'une gerbe de chaque récolte ? »

Le système d'équations à résoudre peut s'écrire :

Le calculateur chinois dispose sur un échiquier trois colonnes qui vont représenter les trois équations. Sur la première à droite, il place en première ligne deux bâtonnets de couleur (2x), en deuxième ligne un bâtonnet noir (−y), en quatrième ligne un bâtonnet de couleur : 1 unité.

Il procède de façon analogue pour les autres colonnes. Doublant la colonne de gauche et lui ajoutant celle de droite, il arrive à la nouvelle disposition :

Triplant la nouvelle colonne de gauche et lui ajoutant la colonne centrale, il obtient la disposition :

On voit ainsi que 23 z = 10, et z = 10/23, puis 3 y − 10/23 = 1, d'où y = 11/23, et 2 x − 11/23 = 1, d'où x = 17/23.

Cette solution, très remarquable, nécessite que tous les coefficients dans les équations soient des nombres entiers. Elle implique la connaissance des nombres négatifs. L'ouvrage d'où elle est extraite donne d'ailleurs les règles des signes pour les deux opérations fondamentales. Enfin le calculateur utilise les fractions dans leur généralité. En résumé, les mathématiciens chinois travaillaient, pour les systèmes d'équations affines, sur le corps Q des nombres rationnels.

Simple et double fausses positions

On trouve, dans Neuf Chapitres sur l'art du calcul, nettement expliquées, les deux règles de la fausse position simple, et de la double fausse position : lorsqu'un problème conduit pour nous à une équation ax = b, le calculateur, qui ne dispose pas du calcul littéral, est souvent très gêné pour trouver le coefficient a. S'il connaît le terme b, il effectue, sur une « fausse position » x0 mise à la place de l'inconnue x, tous les calculs proposés dans le problème. Il obtient ainsi une valeur b0 : ax0 = b0. Il ne lui reste plus qu'à résoudre la « proportion » :

Dans d'autres cas plus compliqués, il lui est difficile de calculer les deux coefficients a et b. Une première position x0 donne ax0 − r0 ; r0 est l'erreur. Une seconde position x1 donne ax1 − b = r1 ; r1 est une seconde erreur. Les facteurs a et b ne sont pas connus, mais les quatre nombres x0, x1, r0, r1 le sont.

Le calcul de x se fait alors par annulation du déterminant :

c'est-à-dire que :

Bien attestées dans l'ancienne mathématique chinoise, les règles de fausse position sont connues des Arabes et de l'Occident sous le nom d'al-khatayn (la chinoise). Elles existent toujours : c'est l'interpolation linéaire.

Indiquons enfin que les systèmes d'équations affines se rencontrent dans la littérature grecque, principalement chez Diophante d'Alexandrie (iiie siècle env.). Ce n'est d'ailleurs qu'un aspect mineur de l'œuvre du [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 9 pages

Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, membre correspondant de l'Académie internationale d'histoire des sciences

Classification

Autres références

«  ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES  » est également traité dans :

ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 309 mots

À l'aube du xix e  siècle, le mathématicien norvégien N. H. Abel allait révolutionner sa science, et Hermite a pu déclarer : « Il a laissé aux mathématiciens de quoi s'occuper pendant cinq cents ans. » D'abord algébriste, il établit l'impossibilité de résolution par radicaux des équations algébriques de degré ≥ 5 et sa méthode ouvrait la voie aux travaux de Galois sur les groupes de substitution d […] Lire la suite

AL-KHWARIZMI

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 183 mots

Résident de la maison de la Sagesse à Bagdad, le mathématicien Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi a participé à la traduction de nombreux manuscrits scientifiques grecs. Son traité intitulé Hisab al-jabr w'al-muqabala est considéré comme le premier manuel d'algèbre. Le terme « algèbre » vient ainsi du titre de cet ouvrage, tandis que le terme « algorithme » provient d'une traduction latine […] Lire la suite

ARITHMÉTIQUES (Diophante)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 192 mots

Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques , qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques sont une collection de solutions numériques de 130 équations. La méthode de résolution des équations indéterminées c […] Lire la suite

BÉZOUT ÉTIENNE (1739-1783)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 175 mots

Le nom d'Étienne Bézout doit être associé à l'utilisation des déterminants dans la théorie des équations algébriques. Dans son mémoire à l'Académie (1764) et surtout dans son ouvrage Théorie générale des équations algébriques (1779), Bézout donne des règles pour résoudre n équations à n inconnues par élimination, en utilisant des déterminants, sans cependant entrer dans la théorie. Il étudie au […] Lire la suite

BOMBELLI RAFFAELE (1526-1573)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  • , Universalis
  •  • 459 mots

On sait peu de chose de la vie de Raffaele Bombelli. Né à Bologne en 1526, il est l’aîné de sa fratrie au sein d’une famille de commerçants en laine. Il n’a pas reçu d’enseignement universitaire et a été formé par Pier Francesco Clementi, architecte et ingénieur. Placé sous la protection d’Alessandro Ruffini, futur évêque de Melfi, il est employé à l’arpentage et au drainage du Val di Chiana, au s […] Lire la suite

CARDAN JÉRÔME (1501-1576)

  • Écrit par 
  • Jean-Claude MARGOLIN
  •  • 1 962 mots

Dans le chapitre « De l'algèbre à l'astrologie »  : […] « Médecin milanais », comme il aime à se désigner lui-même sur la page de titre de ses œuvres imprimées, Cardan s'est pourtant assuré la réputation la plus durable dans le domaine des mathématiques, et notamment de l'algèbre. En 1539, il publie à Milan un ouvrage d'arithmétique, la Practica arithmeticè et mensurandi singularis (réimprimé à Nuremberg). Mais c'est surtout en 1545, avec son Ars mag […] Lire la suite

CHINOISE (CIVILISATION) - Sciences et techniques

  • Écrit par 
  • Jean-Claude MARTZLOFF
  •  • 6 597 mots

Dans le chapitre « Mathématiques »  : […] Les inscriptions sur os et écailles ( jiaguwen ) découvertes dans la région de Anyang, dans l'actuelle province du Henan, à la fin du xix e  siècle, nous apprennent que, dès les xiv e - xi e  siècles avant notre ère, les Chinois utilisaient une numération décimale de type « hybride », combinant dix signes fixes pour les unités de 1 à 9, avec des marqueurs de position particuliers pour les dizain […] Lire la suite

CORPS, mathématiques

  • Écrit par 
  • Robert GERGONDEY
  • , Universalis
  •  • 6 417 mots

Dans le chapitre « Théorie de Galois »  : […] Jusqu'à Abel et Galois, le problème central posé par les équations algébriques était celui de leur solution par radicaux, c'est-à-dire l'expression des racines au moyen d'opérations rationnelles et d'extractions de racines. Les Grecs connaissaient déjà des cas particuliers de la formule x  = (−  b  ±  b 2  − 4 ac )/(2 a ) pour la solution de l'équation du second degré ax 2  +  bx  +  c  = 0, et de […] Lire la suite

DEL FERRO SCIPIONE (1465-1526)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 614 mots

Le mathématicien italien Scipione Del Ferro (orthographié parfois Ferreo) est né à Bologne le 6 février 1465. On sait que son père travaillait dans un atelier de fabrication du papier. Del Ferro étudia probablement à l’université de Bologne, fameuse institution fondée en 1088 et protégée par une charte signée de l’empereur Frédéric Barberousse en 1158. Del Ferro y devient professeur d’arithmétiq […] Lire la suite

ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Gilles LACHAUD
  •  • 1 488 mots

Dans le chapitre « Équations algébriques »  : […] Ce sont les équations dont chaque terme est un polynôme , c'est-à-dire une expression obtenue en additionnant et en multipliant entre eux des nombres et des variables (en revanche, si les termes comportent des fonctions transcendantes, on dit que l'équation est transcendante ). La nature du problème de la résolution d'une équation algébrique dépend de l'ensemble où l'on cherche les solutions : nom […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean ITARD, « ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-algebriques/