Théorie des nombres


ANNEAUX COMMUTATIFS

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 231 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « L'arithmétique élémentaire et les anneaux principaux »  : […] Un anneau principal est un anneau d'intégrité dans lequel tout idéal est principal, c'est-à-dire formé des multiples d'un même élément, appelé générateur de l'idéal. L'étude de la divisibilité dans un tel anneau est analogue à la théorie arithmétique élémentaire des nombres entiers, qui en constitue d'ailleurs un cas […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-commutatifs/2-l-arithmetique-elementaire-et-les-anneaux-principaux/

ARITHMÉTIQUES (Diophante)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 191 mots

Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques . On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques sont une collection de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/arithmetiques/#i_0

CATALAN ÉQUATION DE

  • Écrit par 
  • Maurice MIGNOTTE
  •  • 515 mots

Dans une note publiée au Journal de Crelle en 1844, le Belge Eugène Catalan (1814-1894), alors répétiteur à l'École polytechnique, proposait l'énoncé suivant : « Il n'existe que deux nombres entiers consécutifs qui soient également des puissances parfaites, et ces deux nombres sont 8 et 9 ». L'expression algébrique de cette […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equation-de-catalan/#i_0

DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

  • Écrit par 
  • Marcel DAVID
  •  • 4 528 mots

La théorie des approximations diophantiennes concerne principalement l'approximation des irrationnels par des rationnels. Dans le cas d'un seul irrationnel, un rôle essentiel est joué par les fractions continuées (utilisées dès 1650 par Huygens pour le calcul des engrenages des horloges astronomiques). L'approximation des irrationnels algébriques […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/approximations-diophantiennes/#i_0

DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, 
  • Marcel DAVID, 
  • Universalis
  •  • 6 146 mots
  •  • 1 média

Diophante d'Alexandrie, vers les années 250 de notre ère, fut le premier à rechercher systématiquement les solutions en nombres entiers, ou rationnels, d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Bien que ce ne soit qu'avec Fermat (1601-1665) que les méthodes utilisées pour résoudre ces équations prirent un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/#i_0

DIVISIBILITÉ

  • Écrit par 
  • Marcel DAVID
  •  • 3 655 mots

L'étude élémentaire de la divisibilité dans l'anneau Z des entiers relatifs résulte de l'existence de la division euclidienne qui entraîne que cet anneau est principal. Les propriétés générales des anneaux principaux sont exposées dans l'article anneaux commutatifs , et nous nous […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/divisibilite/#i_0

DÉMONSTRATION DU GRAND THÉORÈME DE FERMAT (A. J. Wiles)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 196 mots
  •  • 1 média

Dans un article intitulé « Courbes elliptiques modulaires et dernier théorème de Fermat », Andrew John Wiles (né en 1953) donne la première démonstration intégrale du grand théorème de Fermat. En 1630, Pierre de Fermat avait affirmé que l'équation xn + y […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/demonstration-du-grand-theoreme-de-fermat/#i_0

EULER (CONJECTURE D')

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 661 mots

En 1769, le génial mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) proposait une conjecture généralisant le dernier théorème de Fermat. En 1966, les informaticiens américains Leon J. Lander et Thomas R. Parkin de la compagnie Aerospace à El Segundo (Californie) utilisèrent un ordinateur pour démontrer qu’elle était fausse. Vers 1630, le […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/euler-conjecture-d/#i_0

FRIEDMAN NOMBRES DE

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 501 mots

Proposés et étudiés il y a quelques années par Erich Friedman, les « nombres de Friedman » sont les nombres entiers qui s'écrivent avec les chiffres qui les composent en combinant les cinq opérations arithmétiques : addition (+), soustraction (–), multiplication (×), division (/) et élévation à la puissance (x […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-de-friedman/#i_0

MERSENNE NOMBRES DE

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 523 mots

Un nombre de Mersenne est un nombre entier naturel de la forme 2n – 1, où n est un nombre entier naturel. Ces nombres ont été nommés ainsi en l'honneur du Français Marin Mersenne (1588-1648), qui en avait entrepris l'étude. Pour qu'un tel nombre, généralement noté […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-de-mersenne/#i_0

NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 772 mots

L'idée intuitive de nombre doit remonter à l'émergence même de la pensée et il est impossible de savoir quel hominidé, et quand, a commencé à compter (ses doigts, les personnes de son groupe, des animaux, les jours...), ou au moins à distinguer un de deux ou de plusieurs. Les nombres interviennent dans la plupart des activités humaines, des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombre/#i_0

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 13 014 mots

Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers : il en est ainsi du rapport de la diagonale d'un carré à son côté, puisque aucun nombre rationnel n'a un carré égal à 2. Plus généralement, Théétète (v […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/#i_0

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 4 687 mots

On peut aborder l'étude d'un problème diophantien (cf. équations diophantiennes ) en commençant par chercher les solutions modulo p, un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z/pZ est un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-p-adiques/#i_0

NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 7 762 mots
  •  • 1 média

Ce qu'on appelle la « théorie analytique des nombres » ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu'on donne à ces mots, c'est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d'applications à des exemples importants. Il s'agit au contraire ici presque exclusivement de problèmes […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-theorie-analytique/#i_0

NOMBRES (THÉORIE DES) - Vue d'ensemble

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 3 182 mots

Dans la plupart des civilisations parvenues au stade de l'écriture, les nombres entiers ont, dès l'origine, été liés à des pratiques religieuses ou magiques, et leurs propriétés ont exercé une sorte de fascination sur les esprits, qui est loin d'être disparue de nos jours, où la « numérologie » conserve des adeptes ; il […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-vue-d-ensemble/#i_0

NOMBRES COMPLEXES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 3 432 mots
  •  • 2 médias

Introduits à l'origine comme symboles purement formels destinés à rendre compte des propriétés des équations algébriques , les nombres imaginaires sont d'un usage courant au xviiie siècle, mais ce n'est qu'au siècle suivant qu'ils seront définis et utilisés correctement, avec la rigueur qui […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-complexes/#i_0

NOTATION MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Hans FREUDENTHAL
  •  • 10 362 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « L'arithmétique élémentaire »  : […] Les nombres naturels En dehors des plus primitives, toutes les langues connaissent un système de mots numéraux pour désigner les premiers nombres (en général jusqu'à 9) et des unités supérieures (en général quelques puissances de 10), avec lesquels on forme des noms pour d'autres nombres par des procédures qui doivent refléter l'addition […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/notation-mathematique/1-l-arithmetique-elementaire/

NUMÉRATION

  • Écrit par 
  • Josette ADDA
  •  • 2 370 mots

Le problème de la numération est celui de la désignation des nombres. Les nombres sont définis de manière intrinsèque, indépendamment de leur nom, et la façon de les désigner dépend du langage, du « code » choisi. Pour comprendre en quoi consiste la numération, il est important d'abord de savoir distinguer un nombre de ses représentations dans […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/numeration/#i_0

PRIX ABEL 2016

  • Écrit par 
  • Yves GAUTIER
  •  • 1 172 mots
  •  • 2 médias

Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables, ouvrant ainsi une nouvelle ère dans la théorie des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/prix-abel-2016/#i_0

RECHERCHES ARITHMÉTIQUES (C. F. Gauss)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 193 mots

Les Recherches arithmétiques (Disquisitiones arithmeticae) que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publie à Brunswick en 1801 marquent un progrès fondamental en théorie des nombres. Les quatre premières sections sont consacrées aux congruences et, selon la Préface même de l'auteur, contiennent peu de résultats […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/recherches-arithmetiques/#i_0

RÉELS NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean DHOMBRES
  •  • 14 949 mots

Par les différents adjectifs généralement accolés au substantif commun qu'est le nombre, la langue mathématique familière surprend et inquiète, car elle risque de susciter des confusions : nombres rationnels (d'autres nombres seraient donc sans raison ?), nombres réels (des nombres doués d'existence propre ?), nombres algébriques (seuls […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/#i_0

SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

  • Écrit par 
  • Christophe BREUIL
  •  • 4 325 mots

« Toute courbe elliptique sur ℚ est modulaire » : la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est devenue un théorème en 1999, mais l'appellation initiale est demeurée. Sa démonstration est due au mathématicien anglais Andrew Wiles et à ses continuateurs (cf. bibliographie : Wiles [1995] ; Taylor et Wiles [1995] ; Diamond [1996] ; Conrad, Diamond et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/conjecture-de-shimura-taniyama-weil/#i_0

TRANSCENDANTS NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 2 019 mots

Si la notion de nombre irrationnel remonte aux Grecs, l'idée de nombre transcendant n'a pu se dégager qu'après la création de notations algébriques assez développées pour que le concept de polynôme de degré quelconque puisse être clairement formulé ; aussi est-ce seulement au xviie siècle que l'on […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-transcendants/#i_0

ZÊTA FONCTION

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 2 956 mots

Issues d'un calcul formel d'Euler, la « fonction zêta » de Riemann et les « fonctions L » de Dirichlet ont été jusqu'ici les outils analytiques les plus puissants pour étudier la répartition et les propriétés des nombres premiers (cf.  théorie desnombres - Théorie analytique des nombres). Mais ces fonctions sont elles-mêmes […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonction-zeta/#i_0


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Équation de Pythagore

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Solutions entières premières entre elles de l'équation de Pythagore… 

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Racines 6es de 1

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Racines 6es de 1… 

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Théorie géométrique

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Rapports entre les différents anneaux

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Équation de Pythagore

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Racines 6 es  de 1

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