Théorie des nombres
4354ANNEAUX COMMUTATIFS
Dans le chapitre « L'arithmétique élémentaire et les anneaux principaux » : […] Un anneau principal est un anneau d'intégrité dans lequel tout idéal est principal, c'est-à-dire formé des multiples d'un même élément, appelé générateur de l'idéal. L'étude de la divisibilité dans un tel anneau est analogue à la théorie arithmétique élémentaire des nombres entiers, qui en constitue d'ailleurs un cas particulier. L'étude de la divi […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-commutatifs/2-l-arithmetique-elementaire-et-les-anneaux-principaux/
ARITHMÉTIQUES (Diophante)
Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques sont une collec […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/arithmetiques/#i_0
CATALAN ÉQUATION DE
Dans une note publiée au Journal de Crelle en 1844, le Belge Eugène Catalan (1814-1894), alors répétiteur à l'École polytechnique, proposait l'énoncé suivant : « Il n'existe que deux nombres entiers consécutifs qui soient également des puissances parfaites, et ces deux nombres sont 8 et 9 ». L'expression algébrique de cette conjecture est : l'équat […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equation-de-catalan/#i_0
DÉMONSTRATION DU GRAND THÉORÈME DE FERMAT (A. J. Wiles)
Dans un article intitulé « Courbes elliptiques modulaires et dernier théorème de Fermat », Andrew John Wiles (né en 1953) donne la première démonstration intégrale du grand théorème de Fermat. En 1630, Pierre de Fermat avait affirmé que l'équation xn […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/demonstration-du-grand-theoreme-de-fermat/#i_0
DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS
La théorie des approximations diophantiennes concerne principalement l'approximation des irrationnels par des rationnels. Dans le cas d'un seul irrationnel, un rôle essentiel est joué par les fractions continuées (utilisées dès 1650 par Huygens pour le calcul des engrenages des horloges astronomiques). L'approximation des irrationnels algébriques f […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/approximations-diophantiennes/#i_0
DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS
Diophante d'Alexandrie, vers les années 250 de notre ère, fut le premier à rechercher systématiquement les solutions en nombres entiers, ou rationnels, d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Bien que ce ne soit qu'avec Fermat (1601-1665) que les méthodes utilisées pour résoudre ces équations prirent un aspec […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/#i_0
DIVISIBILITÉ
L'étude élémentaire de la divisibilité dans l'anneau Z des entiers relatifs résulte de l'existence de la division euclidienne qui entraîne que cet anneau est principal. Les propriétés générales des anneaux principaux sont exposées dans l'article anneaux commutatifs, et nous nous contenterons ici d'énumérer les principaux résultats relatifs au cas p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/divisibilite/#i_0
EULER (CONJECTURE D')
En 1769, le génial mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) proposait une conjecture généralisant le dernier théorème de Fermat. En 1966, les informaticiens américains Leon J. Lander et Thomas R. Parkin de la compagnie Aerospace à El Segundo (Californie) utilisèrent un ordinateur pour démontrer […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/euler-conjecture-d/#i_0
FRIEDMAN NOMBRES DE
Proposés et étudiés il y a quelques années par Erich Friedman, les « nombres de Friedman » sont les nombres entiers qui s'écrivent avec les chiffres qui les composent en combinant les cinq opérations arithmétiques : addition (+), soustraction (–), multiplication (×), division (/) et élévation à la puissance (xy). En voici quatre exemples : 25 = 52 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-de-friedman/#i_0
MERSENNE NOMBRES DE
Un nombre de Mersenne est un nombre entier naturel de la forme 2n – 1, où n est un nombre entier naturel. Ces nombres ont été nommés ainsi en l'honneur du Français Marin Mersenne (1588-1648), qui en avait entrepris l'étude.Pour qu'un tel nombre, généralement noté Mn, soit premier (c'est-à-dire n'ait pas d'autre diviseur que 1 et lui-même), il faut […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-de-mersenne/#i_0
NOMBRES
L'idée intuitive de nombre doit remonter à l'émergence même de la pensée et il est impossible de savoir quel hominidé, et quand, a commencé à compter (ses doigts, les personnes de son groupe, des animaux, les jours...), ou au moins à distinguer un de deux ou de plusieurs.Les nombres interviennent dans la plupart des activités humaines, des langages […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombre/#i_0
NOMBRES COMPLEXES
Introduits à l'origine comme symboles purement formels destinés à rendre compte des propriétés des équations algébriques, les nombres imaginaires sont d'un usage courant au xviiie siècle, mais ce n'est qu'au siècle suivant qu'ils seront définis et utilisés correctement, avec la rigueur qui carac […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-complexes/#i_0
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques
Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers : il en est ainsi du rapport de la diagonale d'un carré à son côté, puisque aucun nombre rationnel n'a un carré égal à 2. Plus généralement, Thé […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/#i_0
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques
On peut aborder l'étude d'un problème diophantien (cf. équations diophantiennes) en commençant par chercher les solutions modulo p, un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z/pZ est un corps. Cette méthode ne donne qu'une information insuffisante pour le problème initial […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-p-adiques/#i_0
NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique
Ce qu'on appelle la « théorie analytique des nombres » ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu'on donne à ces mots, c'est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d'applications à des exemples importants. Il s'agit au contraire ici p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-theorie-analytique/#i_0
NOMBRES (THÉORIE DES) - Vue d'ensemble
Dans la plupart des civilisations parvenues au stade de l'écriture, les nombres entiers ont, dès l'origine, été liés à des pratiques religieuses ou magiques, et leurs propriétés ont exercé une sorte de fascination sur les esprits, qui est loin d'être disparue de nos jours, où la « numérologie » conserve des adeptes ; il n'est donc pas étonnant que […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-vue-d-ensemble/#i_0
NOTATION MATHÉMATIQUE
Dans le chapitre « L'arithmétique élémentaire »
: […]
En dehors des plus primitives, toutes les langues connaissent un système de mots numéraux pour désigner les premiers nombres (en général jusqu'à 9) et des unités supérieures (en général quelques puissances de 10), avec lesquels on
NUMÉRATION
Le problème de la numération est celui de la désignation des nombres. Les nombres sont définis de manière intrinsèque, indépendamment de leur nom, et la façon de les désigner dépend du langage, du « code » choisi. Pour comprendre en quoi consiste la numération, il est important d'abord de savoir distinguer un nombr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/numeration/#i_0
PRIX ABEL 2016
Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables, ouvrant ainsi une nouvelle ère dans la théorie des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/prix-abel-2016/#i_0
RECHERCHES ARITHMÉTIQUES (C. F. Gauss)
Les Recherches arithmétiques (Disquisitiones arithmeticae) que Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publie à Brunswick en 1801 marquent un progrès fondamental en théorie des nombres. Les quatre premières sections sont consacrées aux congruences et, selon la Préface même de l'auteur, contiennent peu d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/recherches-arithmetiques/#i_0
RÉELS NOMBRES
Par les différents adjectifs généralement accolés au substantif commun qu'est le nombre, la langue mathématique familière surprend et inquiète, car elle risque de susciter des confusions : nombres rationnels (d'autres nombres seraient donc sans raison ?), nombres ré […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/#i_0
SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE
« Toute courbe elliptique sur ℚ est modulaire » : la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est devenue un théorème en 1999, mais l'appellation initiale est demeurée. Sa démonstration est due au mathématicien anglais Andrew Wiles et à ses continuateurs (cf. bibliographie : Wiles [1995] ; Taylor et Wiles [1995] ; Diamond [1996] ; Conrad, Diamond et Tay […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/conjecture-de-shimura-taniyama-weil/#i_0
TRANSCENDANTS NOMBRES
Si la notion de nombre irrationnel remonte aux Grecs, l'idée de nombre transcendant n'a pu se dégager qu'après la création de notations algébriques assez développées pour que le concept de polynôme de degré quelconque puisse être clairement formulé ; aussi est-ce seulement au xviie siècle que l'on commence à f […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-transcendants/#i_0
ZÊTA FONCTION
Issues d'un calcul formel d'Euler, la « fonction zêta » de Riemann et les « fonctions L » de Dirichlet ont été jusqu'ici les outils analytiques les plus puissants pour étudier la répartition et les propriétés des nombres premiers (cf. théorie desnombres - Théorie analytique des nombres). Mais ces fonctions sont elles-mêmes devenues l'objet d'études […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonction-zeta/#i_0
Équation de Pythagore
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Solutions entières premières entre elles de l'équation de Pythagore…
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Rapports entre les différents anneaux
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Théorie géométrique
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Racines 6es de 1
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Équation de Pythagore
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Figure
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