TRANSCENDANTS NOMBRES

Si la notion de nombre irrationnel remonte aux Grecs, l'idée de nombre transcendant n'a pu se dégager qu'après la création de notations algébriques assez développées pour que le concept de polynôme de degré quelconque puisse être clairement formulé ; aussi est-ce seulement au xvii^e siècle que l'on commence à faire la distinction entre les nombres algébriques, tels √3/2 ou cos (π/n) pour n entier, qui sont racines de polynômes à coefficients entiers, les autres nombres réels étant qualifiés de transcendants. L'existence de nombres transcendants n'a été prouvée qu'au xix^e siècle ; s'il est facile de construire des nombres transcendants, la question de savoir si un nombre donné est ou non transcendant est généralement un problème fort difficile. L'exemple le plus célèbre est celui du nombre π, dont la transcendance n'a été démontrée qu'en 1882 ; ce résultat prouvait définitivement l'impossibilité de la « quadrature du cercle », c'est-à-dire le problème, posé depuis les Grecs, de la construction géométrique « par la règle et le compas » d'une longueur égale à la circonférence de diamètre unité ; il est facile, en effet, de montrer qu'une telle construction ne peut jamais donner que des longueurs dont la mesure est un nombre algébrique (et même un nombre algébrique d'un type très particulier).

L'existence des nombres transcendants

Il est commode d'étendre la définition des nombres algébriques aux nombres complexes, et d'appeler encore nombre transcendant un nombre complexe non algébrique. J.  Liouville a établi, en 1844, l'existence des nombres transcendants par une construction fondée sur la propriété, découverte par lui, de « mauvaise approximation » des nombres irrationnels algébriques par les nombres rationnels. En 1873, G.  Cantor déduisit l'existence des nombres transcendants de son théorème prouvant que l'ensemble de tous les nombres réels est non dénombrable : il suffit, en effet, de prouver que l'ensemble A de tous les nombres algébriques est dénombrable. Pour cela, associons à chaque polynôme à coefficients entiers :

Comme un polynôme n'a qu'un nombre fini de racines, l'ensemble A_N des nombres algébriques qui sont racines de polynômes à coefficients entiers de degré ≤ N et de hauteur ≤ N est un ensemble fini ; comme A est réunion des A_N, pour N = 1, 2, ... l'ensemble A est dénombrable.

L'ensemble des nombres transcendants n'est donc pas dénombrable ; en termes imagés, on peut dire qu'un nombre pris au hasard (par exemple en se donnant au hasard son développement décimal illimité) n'a « aucune chance » d'être algébrique.