NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres algébriques
Corps de classes
La difficile théorie du corps de classes tire son origine de plusieurs résultats établis au cours du xixe siècle. Nous avons vu que Gauss avait associé, à tout nombre premier impair p, une somme :
En étendant la théorie de Kummer aux corps cyclotomiques Q(α) = K, où α est une racine m-ième de 1, m entier quelconque, on constate que la décomposition d'un nombre premier rationnel p qui ne divise pas md (d discriminant de K) ne dépend que de l'ordre f de p modulo m : p se décompose en e = ϕ(m)/f facteurs premiers idéaux distincts de degré f dans K, où ϕ (m) est l'indicateur d'Euler. En particulier, si p ≡ 1 (mod m), c'est le produit de ϕ(m) idéaux premiers de degré 1 ; au moyen de la fonction ζK, on peut montrer que l'ensemble des idéaux premiers de degré 1 de K est infini, et il en résulte qu'il y a une infinité de nombres premiers dans la progression arithmétique de raison m qui contient 1 (cf. théorie des nombres - Théorie analytique des nombres). Weber a essayé de généraliser ce genre de considérations en remplaçant Q par un corps de nombres algébriques k et m par un idéal m ; il considère le groupe Am des idéaux fractionnaires de k premiers à m et un sous-groupe Hm d'indice fini h′ formé d'idéaux principaux dans Am. Il fait alors les hypothèses suivantes :
a) Les idéaux entiers de k sont « également distribués » dans les classes de Am/Hm (comme ils le sont dans les classes d'idéaux habituelles).
b) Il existe une extension K de k de degré ≤ h′ telle que les idéaux premiers de Hm de degré 1 se décomposent complètement dans K (c'est-à-dire en produit d'idéaux distincts tous de degré 1) ; l'extension K s'appelle un corps de classes pour k.
Weber montre alors que chaque classe de Am/Hm contient une infinité d'idéaux du premier degré. Dans le cas où k = Q, on peut prendre pour Hm le groupe des idéaux engendré par un nombre congru à 1 modulo m ; dans ce cas, Weber a aussi établi que le groupe de Galois de Q(ζm) = K sur Q s'identifie à Am/Hm (ζm racine m-ième de 1), et qu'à chaque sous-groupe H′m ⊃ Hm correspond un corps de classes K′ ⊂ Q(ζm) de groupe de Galois Am/Hm. Dans le cas général, en supposant l'existence du corps de classes K, Weber a seulement démontré que son degré sur k est égal à h′ et qu'il est galoisien sur k. Revenant au cas particulier k = Q, si L est une extension abélienne quelconque de Q, elle se plonge dans un corps Q(ζm) (théorème de Kronecker-Weber) et correspond donc à un groupe d'idéaux principaux H′m, tel que Hm ⊂ H′m ⊂ Am et que Gal(L/Q) ≃ Am/H′m ; l'entier m n'est pas unique, mais il admet une valeur minimale dont toutes les autres sont des multiples (le conducteur de L). Weber a encore formulé des conjectures qui[...]
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Écrit par
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
Classification
Pour citer cet article
Christian HOUZEL. NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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PRIX ABEL 2016
- Écrit par Yves GAUTIER
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- 2 médias
Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables,...
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ARITHMÉTIQUES (Diophante)
- Écrit par Bernard PIRE
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Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques...
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ARTIN EMIL (1898-1962)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
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La part la plus importante de l'œuvre d'Artin concerne l'étude des corps de nombres algébriques etl'application des résultats obtenus à la théorie des nombres. Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui... -
BAKER ALAN (1939-2018)
- Écrit par Bernard PIRE
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Alan Baker, mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres, est né le 19 août 1939 à Londres. Il a fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en...
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Voir aussi
- GAUSS PÉRIODES DE, algèbre
- CONGRUENCE MODULO N
- NOMBRES PREMIERS
- IDÉAL, mathématiques
- FRACTIONNAIRE IDÉAL
- DEDEKIND ANNEAU DE
- CONJUGUÉ D'UN ÉLÉMENT
- EXTENSION, mathématiques
- NOMBRES ALGÉBRIQUES CORPS DE
- ALGÉBRIQUE ENTIER ou ENTIER RELATIF
- GALOIS GROUPE DE
- GAUSS ENTIER DE
- RACINE D'UNE ÉQUATION
- UNITÉ, mathématiques
- PREMIER IDÉAL
- NOMBRE IDÉAL
- CORPS DE CLASSES THÉORIE DU
- IDÉAUX CLASSES D'
- FERMAT GRAND THÉORÈME DE
- IDÈLES
- LEGENDRE SYMBOLE DE
- CORPS QUADRATIQUE
- RÉCIPROCITÉ QUADRATIQUE LOI DE
- PELL ÉQUATION DE
- RÉSIDU QUADRATIQUE
- RACINE PRIMITIVE
- CYCLOTOMIQUES ANNEAUX & CORPS
- NOMBRES ALGÉBRIQUES
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- FROBENIUS AUTOMORPHISME DE
- HASSE HELMUT (1898-1979)
- GAUSS SOMMES DE
- BIQUADRATIQUE LOI DE RÉCIPROCITÉ
- MATHÉMATIQUES HISTOIRE DES
