ZÊTA FONCTION

Issues d'un calcul formel d'Euler, la « fonction zêta » de Riemann et les « fonctions L » de Dirichlet ont été jusqu'ici les outils analytiques les plus puissants pour étudier la répartition et les propriétés des nombres premiers (cf. théorie desnombres - Théorie analytique des nombres). Mais ces fonctions sont elles-mêmes devenues l'objet d'études analytiques poussées, en raison de leurs propriétés très particulières qui semblent être liées aux comportements les plus cachés de la théorie des nombres et sont encore loin d'être bien comprises.

Le mouvement d'idées qui tend, depuis 1920, à l'unification de la théorie des nombres et de la géométrie algébrique a conduit à définir, dans cette dernière théorie, des « fonctions zêta » et des « fonctions L » analogues aux fonctions classiques et présentant un comportement semblable. Il y a lieu de penser qu'on se trouve en présence de fragments encore mal reliés d'une vaste théorie générale, participant de l'analyse, de la théorie des groupes et de la géométrie algébrique, qui nous fera un jour pénétrer dans les recoins les plus mystérieux de la « reine des mathématiques » (C. F. Gauss), l'étude des nombres entiers.

La fonction zêta de Riemann

La série :

avec n^-s = exp(− s Log n), et le produit infini :

étendu aux nombres premiers p, sont tous deux absolument convergents pour s = σ + it de partie réelle σ > 1 et représentent la même fonction analytique ζ(s) dans ce domaine. Le résultat fondamental de Riemann est qu'il est possible de prolonger cette fonction en une fonction méromorphe dans tout le plan, vérifiant l'équation fonctionnelle :

où l'on a posé :

Une des démonstrations de Riemann lie la fonction zêta à une fonction thêta de Jacobi, grâce à l'expression de Γ(s) par l'intégrale eulérienne qui donne :

où l'on a :

pour Im x > 0. L'identité fondamentale qui exprime la propriété « modulaire » de la fonction thêta :

avec la détermination de la racine carrée z^1/2 positive pour z réel > 0, donne alors :

Vu la décroissance exponentielle de [...]