NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres algébriques
Corps de nombres algébriques
Dedekind (1871, 1893) a étendu les théories précédentes en développant les notions de corps de nombres algébriques et d'entiers algébriques. Un corps de nombres algébriques est une extension finie du corps Q des nombres rationnels ; un tel corps peut s'écrire K = Q(θ), où θ vérifie une équation algébrique irréductible f (x) = 0, de degré n, à coefficients rationnels (cf. corps mathématiques), et chacune des n racines complexes de f définit un plongement de K dans le corps C des nombres complexes. On note r1 le nombre des racines réelles, qui donnent des plongements de K dans R, et 2r2 le nombre de racines complexes (paires de racines complexes conjuguées) ; en tant qu'espace vectoriel sur Q, K est de dimension n, avec 1, θ, θ2, ..., θn-1 comme base (division euclidienne ; cf. polynômes). Si g(θ) ∈ K, on appelle conjugués de g(θ) les n nombres complexes g(θ1), g(θ2), ..., g(θn), où θ1, θ2, ..., θn sont les racines de f (x) = 0 ; ce sont tous des nombres algébriques.
Entiers algébriques
Parmi les nombres algébriques, les entiers algébriques sont définis de manière à former un anneau dont l'intersection avec Q soit réduite à Z ; on veut de plus que tous les conjugués d'un entier algébrique (c'est-à-dire les racines de son équation minimale à coefficients rationnels) soient encore entiers. Alors les coefficients de l'équation minimale d'un entier algébrique sont des entiers algébriques rationnels, c'est-à-dire des éléments de Z ; on définit donc les entiers algébriques comme les racines d'équations à coefficients entiers rationnels, avec un coefficient dominant 1, et il est facile de voir que l'équation minimale d'un tel nombre a encore ses coefficients entiers (donc les entiers algébriques rationnels sont bien les éléments de Z, ce qui généralise le résultat de Théétète cité au début). Pour étudier les entiers du corps K = Q(θ), on peut supposer que θ est lui-même entier ; si ρ = c0 + c1θ + ... + cn-1θn-1 est entier, avec ci ∈ Q, on a, pour tous ses conjugués ρj = c0 + c1θj + ... + cn-1θjn-1. Les coefficients ci sont donc donnés par un système d'équations linéaires de matrice (θij) (0 ≤ i ≤ n − 1 ; 1 ≤ j ≤ n) ; le déterminant de cette matrice est :
Par exemple, dans le corps Q(i) (avec i2 = − 1), les entiers sont de la forme m + ni avec m, n rationnels tels que m + ni + m − ni = 2 m et (m + ni)(m − ni) = m2 + n2 soient entiers ; alors 4 m2 + 4 n2 est un entier, donc aussi 4 n2, et 2 n est encore entier. Enfin, la condition que (2 m)2 + (2 n)2 = 4 (m2 + n2) soit divisible par 4 exige que 2 m et 2 n soient pairs, donc m et n sont entiers ; les entiers de Q(i) forment donc l'anneau des entiers de Gauss Z[i], de base (1, i). Le discriminant de Q(i) est le carré du déterminant de la matrice :
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
Classification
Pour citer cet article
Christian HOUZEL. NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
-
PRIX ABEL 2016
- Écrit par Yves GAUTIER
- 1 168 mots
- 2 médias
Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables,...
-
ARITHMÉTIQUES (Diophante)
- Écrit par Bernard PIRE
- 188 mots
Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques...
-
ARTIN EMIL (1898-1962)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 1 319 mots
La part la plus importante de l'œuvre d'Artin concerne l'étude des corps de nombres algébriques etl'application des résultats obtenus à la théorie des nombres. Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui... -
BAKER ALAN (1939-2018)
- Écrit par Bernard PIRE
- 338 mots
Alan Baker, mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres, est né le 19 août 1939 à Londres. Il a fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en...
- Afficher les 56 références
Voir aussi
- GAUSS PÉRIODES DE, algèbre
- CONGRUENCE MODULO N
- NOMBRES PREMIERS
- IDÉAL, mathématiques
- FRACTIONNAIRE IDÉAL
- DEDEKIND ANNEAU DE
- CONJUGUÉ D'UN ÉLÉMENT
- EXTENSION, mathématiques
- NOMBRES ALGÉBRIQUES CORPS DE
- ALGÉBRIQUE ENTIER ou ENTIER RELATIF
- GALOIS GROUPE DE
- GAUSS ENTIER DE
- RACINE D'UNE ÉQUATION
- UNITÉ, mathématiques
- PREMIER IDÉAL
- NOMBRE IDÉAL
- CORPS DE CLASSES THÉORIE DU
- IDÉAUX CLASSES D'
- FERMAT GRAND THÉORÈME DE
- IDÈLES
- LEGENDRE SYMBOLE DE
- CORPS QUADRATIQUE
- RÉCIPROCITÉ QUADRATIQUE LOI DE
- PELL ÉQUATION DE
- RÉSIDU QUADRATIQUE
- RACINE PRIMITIVE
- CYCLOTOMIQUES ANNEAUX & CORPS
- NOMBRES ALGÉBRIQUES
- ADÈLES
- FONCTIONS ELLIPTIQUES & MODULAIRE
- DISCRIMINANT D'UN CORPS
- EULER-FERMAT THÉORÈME D'
- FROBENIUS AUTOMORPHISME DE
- HASSE HELMUT (1898-1979)
- GAUSS SOMMES DE
- BIQUADRATIQUE LOI DE RÉCIPROCITÉ
- MATHÉMATIQUES HISTOIRE DES
