NOMBRES ALGÉBRIQUES

Articles

• NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 12 998 mots

  Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers : il en est ainsi du rapport de la diagonale d'un carré à son côté, puisque aucun nombre rationnel n'a un carré...

• BRAUER RICHARD (1901-1977)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 216 mots

  Mathématicien américain d'origine allemande dont les travaux ont porté principalement sur la théorie des groupes finis. Né à Berlin, Brauer a enseigné à l'université de Koenigsberg, à celle de Toronto (Mi.) et à l'université Harvard.

  Brauer a débuté par d'importants travaux...

• CANTOR GEORG (1845-1918)

  • Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
  • 2 886 mots
  • 1 média
  ...l’ensemble R des nombres réels. Cantor montre que l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable, Dedekind lui communique le même résultat pour les nombres algébriques, c’est-à-dire les nombres qui sont racines d’équations à coefficients entiers. Cantor se demande s’il existe une bijection entre N...

• CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 713 mots

  Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Saxe, Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles.

  Né à Saint-Pétersbourg (Russie) d'un père danois et d'une mère autrichienne, Cantor réside avec...

• CORPS, mathématiques

  • Écrit par Universalis, Robert GERGONDEY
  • 6 190 mots
  ...forment une vaste famille à laquelle appartiennent le corps Q des nombres rationnels (qui est le plus petit) et le corps R des nombres réels. Les corps de nombres algébriques (cf. théorie des nombres - Nombres algébriques) présentent un intérêt tout particulier. Dedekind en donne la description suivante...

• EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 885 mots

  Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien...

• GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

  • Écrit par Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ
  • 4 886 mots
  ...théorie des corps finis que retrouvera Galois trente ans plus tard. Surtout, c'est Gauss qui donne l'impulsion à toute la grande théorie des nombres algébriques, par son étude systématique de l'arithmétique des « entiers de Gauss » a + bi (a, b entiers rationnels) ; nous savons...

• HECKE ERICH (1887-1947)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 337 mots

  Né à Buk (Posnanie), Hecke fut l'élève de Hilbert à Göttingen, où il soutint sa thèse en 1912. Il enseigna brièvement à Bâle et à Göttingen, puis à Hambourg à partir de 1919, où il demeura jusqu'à sa mort.

  Hecke a consacré la quasi-totalité de ses recherches à la fascinante...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 1 média
  Après avoir ainsi clos de manière si complète la théorie des invariants, Hilbert se tourne vers la théoriedes nombres algébriques. Sa première contribution importante est la théorie des corps de Galois relatifs K sur un corps donné k de nombres algébriques, dans lequel il décrit, à partir des...

• HURWITZ ADOLF (1859-1919)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 782 mots

  Élève de Felix Klein, Adolf Hurwitz représentait une tendance unificatrice en mathématiques. Avec ses étudiants Hilbert et Minkowski, il s'éleva contre le partage abusif des mathématiques en de nombreuses branches, non seulement suivant le sujet traité, mais même suivant la façon d'aborder...

• KRONECKER LEOPOLD (1823-1891)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 2 105 mots
  • 1 média
  ...les extensions abéliennes des corps de nombres algébriques, par où il inaugurait, dès les années 1853-1857, ce qui allait être le sujet principal de la théorie des nombres algébriques dans la première moitié du xx^e siècle : la théorie du corps de classes. En 1853, il montrait que toute extension...

• LEGENDRE ADRIEN MARIE (1752-1833)

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 295 mots

  Mathématicien français né le 18 septembre 1752 à Paris et mort le 10 janvier 1833 dans la même ville. L'ouvrage qui rendit célèbre Adrien Marie Legendre a pour titre Éléments de géométrie (1794). Il représente un des premiers essais de formalisation rigoureuse de la géométrie...

• QUADRATIQUES FORMES

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 6 412 mots
  • 1 média
  e) Le corps K est un corps de nombres algébriques (cf. théorie des nombres - Nombres algébriques). Pour toute place v de K, le corps K se plonge canoniquement dans le corps local complété K_v, et on peut donc considérer une forme quadratique Q sur K comme une forme quadratique Q_v sur K_v....

• RÉELS NOMBRES

  • Écrit par Jean DHOMBRES
  • 14 916 mots
  ...résolution d'équations. On tient là l'embryon de la classification purement algébrique des nombres réels, qui remonte à Legendre (1752-1833). On appelle nombre algébrique toute solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers (relatifs) ; ainsi √2 est-il algébrique comme solution de ...

• TRANSCENDANTS NOMBRES

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 2 010 mots
  Théorème I. Un nombre complexe α ≠ 0 ne peut être tel que α et e^α soient tous deux algébriques.

• WEIL ANDRÉ (1906-1998)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 803 mots
  • 1 média

  Mathématicien français, André Weil a mené des travaux portant principalement sur la géométrie algébrique et ses applications à la théorie des nombres.

  Né le 6 mai 1906, André Weil entra à l'École normale supérieure à l'âge de seize ans ; il fut docteur ès sciences à vingt-deux...

• ZÊTA FONCTION

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 2 949 mots
  R.  Dedekind généralisa la définition des fonctions zêta et L à un corps de nombres algébriques k, en prenant :

  

  où a parcourt l'ensemble des idéaux entiers de k, où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers, où Na est la norme de l'idéal a, c'est-à-dire le nombre d'éléments...