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LINÉAIRE ALGÈBRE

L' algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu'on la trouvera présentée ici, s'est progressivement dégagée, au cours du xixe siècle et au début du xxe, de la théorie des équations linéaires (systèmes de n équations linéaires à p inconnues, équations différentielles et intégrales linéaires) et de la géométrie (calcul vectoriel dans les espaces affines, transformations des espaces projectifs, dualité pour les sous-variétés linéaires et les quadriques, structure même de la géométrie). L'algèbre multilinéaire sur un corps commutatif a pris naissance dans la théorie des invariants et dans la partie de la géométrie différentielle consacrée au calcul tensoriel. Plus récemment, on a développé l'algèbre linéaire sur un anneau afin d'appliquer les méthodes de l'algèbre linéaire sur les corps à la théorie des groupes abéliens, considérés comme Z-modules, à la théorie des entiers algébriques sur un anneau commutatif unitaire, considérés comme éléments d'un module sur cet anneau, à la représentation linéaire d'un groupe dans un espace vectoriel, considéré comme module sur l'algèbre de ce groupe, et à l'étude des formes quadratiques sur Z. Enfin, ces dernières années ont été introduites l'algèbre homologique et, plus généralement, la théorie des catégories abéliennes, permettant d'appliquer la théorie des modules à des domaines où elle semblait inopérante (théorie des fibrés vectoriels et des faisceaux).

On trouvera un aperçu historique plus complet dans l'article algèbre. D'autre part, on trouvera des détails sur les applications de l'algèbre linéaire dans de nombreux articles tels que groupes (Mathématiques)-Groupes classiques et géométrie, Groupes de Lie et théorie des nombres - Nombres algébriques. Bien entendu, la liste précédente n'est pas exhaustive : on pourrait, à la limite, affirmer que l'algèbre linéaire a envahi tous les domaines des mathématiques. À titre d'exemple, on consultera les applications à la théorie des équations algébriques (cf. corps [Mathématiques]) et à l'analyse fonctionnelle (cf. équations aux dérivées partielles, distributions [Mathématiques], algèbres normées, espaces vectoriels normés).

Dans le présent article sera d'abord exposée la théorie des espaces vectoriels sur un corps commutatif, indépendamment de la notion de dimension. L'explicitation des résultats obtenus lorsque les espaces vectoriels sont de dimension finie et munis de bases fait l'objet du paragraphe consacré au calcul matriciel. Dans cette partie, l'exposé reste élémentaire, et la plupart des théorèmes sont accompagnés de démonstrations. Suivent quelques indications sur l'algèbre tensorielle et la théorie des modules.

En ce qui concerne la réduction des endomorphismes et la théorie des formes quadratiques, on se reportera aux articles : théorie spectrale et formes quadratiques.

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels

Soit K un corps commutatif. On appelle espace vectoriel sur K, ou encore K-espace vectoriel, un ensemble E muni de deux lois de composition : une loi interne, application de E × E dans E, notée (x, y) ↦ x + y et une loi externe, application de K × E dans K, notée (α, x) ↦ α ( x, ou encore (α, x) ↦ αx ; ces deux lois satisfaisant aux conditions suivantes :

(a) L'ensemble E, muni de l'addition, est un groupe commutatif. (b) Pour tout couple (α, β) d'éléments de K et pour tout élément x de E :

et, pour tout élément x de E, 1 ( x = x. (c) Pour tout couple (α, β) d'éléments de K et pour tout couple (x, y) d'éléments de E :

Les éléments de E sont souvent appelés vecteurs, les éléments de K scalaires.

Applications linéaires

Soit E et F deux espaces vectoriels[...]

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Écrit par

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • AFFINE APPLICATION

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 261 mots

    Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λi), pour 1 ≤ ...

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots
    L'étude des équations et systèmes d'équations du premier degré était reléguée au début du xixe siècle dans l'enseignement élémentaire et négligée des mathématiciens, lorsqu'une axiomatisation convenable montra la puissance des notions nouvelles ainsi mises en évidence. Sous sa forme...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    Les progrès de l'algèbre linéaire ont permis enfin de définir la différentielle sans aucun recours aux coordonnées sous une forme qui s'applique également aux fonctions définies sur des espaces de dimension infinie (cf. chap. 2).

  • CAYLEY ARTHUR (1821-1895)

    • Écrit par Lubos NOVY
    • 1 407 mots
    ...la notion de tableau rectangulaire représentant les coefficients d'un système d'équations linéaires ou les coefficients d'une transformation linéaire ; on peut donc soutenir que Cayley avait élaboré la théorie des matrices quelques années avant la publication de son célèbre et si exemplairement clair...
  • Afficher les 8 références

Voir aussi

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