GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l'algèbre relativement récente (cf. algèbre, dedekind). Pour « comprendre » les phénomènes d'intersection des courbes et des surfaces, il s'est révélé nécessaire d'élaborer des techniques compliquées qui se sont développées de manière abstraite et sont venues à leur tour enrichir d'autres domaines des mathématiques (théorie moderne des nombres, fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, topologie algébrique) ; pour le profane, cet appareil mathématique peut sembler bien loin de l'« intuition géométrique » !
La géométrie algébrique est issue de l'étude des courbes algébriques du plan R2 ou de l'espace R3 et des surfaces algébriques de R3. Pendant le xviiie et le xixe siècle, on s'est aperçu qu'il était plus commode de modifier le problème en se plaçant dans le plan complexe C2 ou dans l'espace complexe C3 ; en effet, C est un corps algébriquement clos, de sorte que les courbes et les surfaces ont toujours « suffisamment » de points à coordonnées complexes, alors qu'il peut n'y avoir aucun point à coordonnées réelles (comme c'est le cas pour la courbe d'équation x2 + y2 + 1 = 0). On a observé aussi que certains énoncés intéressants n'étaient vrais que si l'on complétait les courbes et les surfaces par des « points à l'infini », se plaçant ainsi dans le plan projectif P2(C) ou dans l'espace projectif P3(C) ; les courbes ou les surfaces y sont définies par des équations polynomiales homogènes portant sur les coordonnées homogènes.
Cette diversité de points de vue (réel ou complexe, affine ou projectif) a dû être encore élargie lorsque la théorie des nombres a mis en évidence l'intérêt de l'étude des courbes algébriques définies sur des corps autres que R ou C, comme les corps finis ou les corps p-adiques ; la théorie des équations diophantiennes conduit même à considérer des courbes ou des ensembles algébriques définis sur un anneau tel que Z. Pendant la première moitié du xxe siècle, l'école allemande a développé la théorie des ensembles algébriques (de dimension quelconque) de l' espace affine kn ou de l' espace projectif Pn(k), k étant un corps de base algébriquement clos arbitraire.
Pour l'étude des propriétés intrinsèques d'un ensemble algébrique, il est plutôt gênant d'avoir à le considérer comme plongé dans un espace affine ou un espace projectif. Le problème se pose donc de définir des « variétés algébriques abstraites », non plongées dans kn ou Pn(k), un peu comme on définit des variétés différentiables indépendamment d'un plongement dans Rn en géométrie différentielle. De telles variétés abstraites ont été définies par A. Weil (1946). Une définition équivalente, plus simple et plus maniable se trouve dans l'article de J.-P. Serre, « Faisceaux algébriques cohérents » (1955) ; elle est inspirée de la théorie des espaces analytiques. Dans le présent article, nous donnerons la définition de Serre un peu élargie, en prenant comme corps de base un corps algébriquement clos. Le cas d'un corps de base non algébriquement clos, ou d'une base plus générale, s'exprime bien dans le cadre de la théorie des schémas de A. Grothendieck, qui généralise considérablement celle des variétés algébriques au sens de Serre en partant du même point de vue.
Ensembles algébriques
Soit k un corps de base algébriquement clos. Pour tout entier naturel n, l'espace affine kn est l'ensemble des suites (x1, x2, ..., xn) de n éléments de k ; on appelle ces n éléments les coordonnées du point x = (x1, x2, ..., xn) de kn. L'espace projectif Pn(k) est le quotient de kn+1 − {O}, complémentaire de l'origine O = (0, 0,[...]
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Écrit par
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
Classification
Pour citer cet article
Christian HOUZEL. GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Médias
Isomorphisme
Encyclopædia Universalis France
Plan affine dans le plan projectif
Encyclopædia Universalis France
Isomorphisme avec une hyperbole
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
ALGÈBRE
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 7 143 mots
Il n'est pas question même d'esquisser ici l'histoire de la géométrie algébrique, qui était au départ l'étude des courbes algébriques, et qui, sous sa forme actuelle, la théorie des schémas, due au mathématicien français A. Grothendieck, est devenue une des branches les plus abstraites et... -
CASTELNUOVO GUIDO (1865-1952)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 342 mots
Mathématicien italien dont les travaux ont porté principalement sur la géométrie algébrique. Né à Venise, Castelnuovo fut l'élève de Véronèse à Padoue ; assistant à Turin, il eut avec C. Segre de nombreux entretiens d'où devait sortir l'exposé de la géométrie sur une courbe algébrique, publié...
-
CHEVALLEY CLAUDE (1909-1984)
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 260 mots
Fils d'ambassadeur, né à Johannesburg, Chevalley a fait la plus grande partie de ses études à Paris, où il fut élève de l'École normale supérieure, de 1926 à 1929. Il a enseigné à l'université de Rennes, puis aux États-Unis, aux universités de Princeton et de Columbia (New York). Il termina sa...
-
CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)
- Écrit par Jeanne PEIFFER
- 836 mots
Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée...
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Voir aussi
- MAXIMAL IDÉAL
- KRULL THÉORÈME DE
- LOCAL ANNEAU
- GERMES ALGÈBRE DES
- ISOMORPHISME, mathématiques
- ALGÈBRES
- POLYNOMIALE FONCTION
- CODIMENSION, mathématiques
- GROUPE ALGÉBRIQUE
- CÔNE
- PARABOLE, mathématiques
- PARABOLOÏDE
- HILBERT THÉORÈME DES ZÉROS DE
- FIBRÉ, mathématiques
- ENSEMBLE ALGÉBRIQUE
- CISSOÏDE
- ÉQUIVALENCE BIRATIONNELLE
- ESPACE LOCALEMENT ANNELÉ
- DIMENSION D'UNE VARIÉTÉ
- COHOMOLOGIE
- EULER-POINCARÉ CARACTÉRISTIQUE D'
- APPLICATION RATIONNELLE
- VARIÉTÉ ALGÉBRIQUE
- VARIÉTÉ ABÉLIENNE
- APPLICATION RÉGULIÈRE
- ZARISKI TOPOLOGIE DE
- VARIÉTÉ ALGÉBRIQUE SÉPARÉE
- SEGRE MORPHISME DE
- ZARISKI THÉORÈME PRINCIPAL DE
- TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE
- RIEMANN-ROCH THÉORÈME DE
- MORPHISME
- ESPACE ANALYTIQUE
- POINT RÉGULIER
- INTERSECTION, mathématique
- CHERN CLASSES DE
- TOPOLOGIE PRODUIT
- REVÊTEMENTS, mathématiques
- SOUS-VARIÉTÉ, mathématiques
- FAISCEAUX, mathématiques
- CYCLE, topologie
- CORPS ALGÉBRIQUEMENT CLOS
- VARIÉTÉ ALGÉBRIQUE AFFINE
- COORDONNÉES HOMOGÈNES
