GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
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- Écrit par Christian HOUZEL
Faisceaux cohérents et cohomologie
Les méthodes cohomologiques sont, comme dans la théorie des espaces analytiques, un des outils les plus puissants de la géométrie algébrique (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes et topologie - Topologie algébrique). La topologie de Zariski permet de développer une théorie de la cohomologie à valeur dans les faisceaux algébriques cohérents sur les variétés algébriques.
Considérons une variété algébrique (X, OX). On définit un faisceau de OX-modules F, ou faisceau algébrique sur X, en associant à chaque ouvert U de X un OX(U)-module F(U) et en se donnant, pour U ⊂ V, des opérations de restriction F(V) → F(U) « semi-linéaires » relativement à celles de OX. Ces données sont soumises à des axiomes (1) et (2) analogues à ceux énoncés au chapitre 3 pour les faisceaux d'anneaux. La fibre :
On peut montrer que le fait, pour un faisceau algébrique F sur la variété affine X, d'être isomorphe à un faisceau M∼, où M est un A-module, est une propriété locale. On peut donc définir une propriété correspondante sur toute variété algébrique. Nous dirons qu'un faisceau algébrique F sur une variété algébrique X est cohérent s'il existe un recouvrement de X par des ouverts affines Ui d'algèbres Ai et des Ai-modules de type fini Mi tels que la restriction de F à Ui soit isomorphe à M∼i pour tout i. Par exemple, si π : E → X est un fibré vectoriel algébrique localement trivial (cf. topologie - Topologie algébrique), on lui associe un faisceau cohérent E dont la valeur dans un ouvert U est l'ensemble des morphismes σ : U → E tels que π ∘ σ soit l'injection canonique de U dans X (« sections de E au-dessus de U ») ; le faisceau E est même localement libre, c'est-à-dire qu'on peut choisir les ouverts Ui de manière que E |Ui ≃ M∼i où Mi est un module libre de type fini.
À un faisceau algébrique cohérent F sur une variété algébrique X, on associe les groupes de cohomologie Hn(X,F) (n ∈ N) (cf. topologie - Topologie algébrique) ; on a H0(X, F) = F(X). Si X est affine, Hn(X, F) = 0 pour n ≥ 1 et pour tout faisceau cohérent F ; cette propriété (analogue au théorème B de Cartan en géométrie analytique, cf. fonctions analytiques Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes) caractérise les variétés algébriques affines.
Pour étudier la cohomologie d'une sous-variété fermée de l'espace projectif Pr(k), on utilise le faisceau fondamental O(1) ainsi défini. Désignons par π l'application canonique kr+1 − {O} sur Pr(k), et considérons la sous-variété algébrique E de Pr(k) × kr+1 définie par les conditions ξ = 0 ou ξ ≠ 0 et π(ξ) = x(x ∈ Pr(k), ξ ∈kr+1), et obtenue en faisant « éclater O » dans kr+1 (cf. pour le cas r = 1) ; c'est un sous-fibré vectoriel de rang 1 du fibré trivial Pr(k) × kr+1 de base Pr(k) et de fibre kr+1. Le faisceau O(1) des sections du fibré[...]
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Écrit par
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
Classification
Pour citer cet article
Christian HOUZEL. GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Médias
Isomorphisme
Encyclopædia Universalis France
Cissoïde
Encyclopædia Universalis France
Paraboloïde
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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ALGÈBRE
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 7 143 mots
Il n'est pas question même d'esquisser ici l'histoire de la géométrie algébrique, qui était au départ l'étude des courbes algébriques, et qui, sous sa forme actuelle, la théorie des schémas, due au mathématicien français A. Grothendieck, est devenue une des branches les plus abstraites et... -
CASTELNUOVO GUIDO (1865-1952)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
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Mathématicien italien dont les travaux ont porté principalement sur la géométrie algébrique. Né à Venise, Castelnuovo fut l'élève de Véronèse à Padoue ; assistant à Turin, il eut avec C. Segre de nombreux entretiens d'où devait sortir l'exposé de la géométrie sur une courbe algébrique, publié...
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CHEVALLEY CLAUDE (1909-1984)
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Fils d'ambassadeur, né à Johannesburg, Chevalley a fait la plus grande partie de ses études à Paris, où il fut élève de l'École normale supérieure, de 1926 à 1929. Il a enseigné à l'université de Rennes, puis aux États-Unis, aux universités de Princeton et de Columbia (New York). Il termina sa...
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CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)
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Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée...
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