GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

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Faisceaux cohérents et cohomologie

Les méthodes cohomologiques sont, comme dans la théorie des espaces analytiques, un des outils les plus puissants de la géométrie algébrique (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes et topologie - Topologie algébrique). La topologie de Zariski permet de développer une théorie de la cohomologie à valeur dans les faisceaux algébriques cohérents sur les variétés algébriques.

Considérons une variété algébrique (X, OX). On définit un faisceau de OX-modules F, ou faisceau algébrique sur X, en associant à chaque ouvert U de X un OX(U)-module F(U) et en se donnant, pour U ⊂ V, des opérations de restriction F(V) → F(U) « semi-linéaires » relativement à celles de OX. Ces données sont soumises à des axiomes (1) et (2) analogues à ceux énoncés au chapitre 3 pour les faisceaux d'anneaux. La fibre :

en un point x de X est un OX,x-module. Un morphisme u d'un faisceau algébrique F dans un autre G est la donnée, pour chaque ouvert U de X, d'une application OX(U)-linéaire de uU de F(U) dans G(U) ; si U ⊂ V, on impose que uU et uV soient compatibles avec les restrictions de V à U dans F et G. Par exemple, si X est une variété algébrique affine, d'algèbre A, et si M est un A-module, on peut lui associer un faisceau algébrique M∼ dont la valeur dans un ouvert D() de X avec ∈ A, est Mf = M[t]/(1 − tf)M[t] (les éléments de Mf se représentent comme des fractions m/fr avec ∈ M) ; à toute application A-linéaire v : M → Ń entre A-modules correspond un morphisme  : M∼ → N∼ de faisceaux algébriques ; le faisceau OX est égal à A∼.

On peut montrer que le fait, pour un faisceau algébrique F sur la variété affine X, d'être isomorphe à un faisceau M∼, où M est un A-module, est une propriété locale. On peut donc définir une propriété correspondante sur toute variété algébrique. Nous dirons qu'un faisceau algébrique F sur une variété algébrique X est cohérent s'il existe un recouvrement de X par des ouverts affines Ui d'algèbres Ai et des Ai-modules de type fini Mi tels que la restriction de F à Ui soit isomorphe à M∼i [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 octobre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-algebrique/