GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

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Plan affine dans le plan projectif

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Propriétés élémentaires

Tout ouvert U d'une variété algébrique X, muni de la structure annelée induite, est une variété algébrique ; on dit que c'est une sous-variété ouverte de X.

Considérons un faisceau d'idéaux J de OX (c'est-à-dire un faisceau tel que J(U) soit un idéal de OX(U) pour tout ouvert U, les opérations de restriction de J étant induites par celles de OX) ; on peut définir un faisceau quotient OX/J, dont la fibre en un point x quelconque de X est OX,x/Jx. Si J est « localement de type fini », le support Y de ce faisceau quotient, c'est-à-dire l'ensemble des points x où sa fibre n'est pas nulle, est une partie fermée de X. On peut considérer OX/J comme un faisceau sur Y, et Y muni de ce faisceau est une variété algébrique ; on dit que c'est une sous-variété fermée de X. Par exemple, les variétés algébriques affines (resp. projectives) peuvent être considérées comme des sous-variétés fermées d'un espace kn (resp. Pn(k)).

Si Y est un fermé quelconque de X, le faisceau d'idéaux JY formé des f qui s'annulent sur Y est localement de type fini et OX/JY a pour support Y, d'où sur Y une structure de sous-variété fermée de X. Ce n'est pas la seule possible, mais on peut la caractériser par le fait qu'elle est réduite, c'est-à-dire que son faisceau structural ne comporte pas d'éléments nilpotents non nuls (il s'interprète comme un faisceau de fonctions sur Y). En particulier, si Y = X, on définit une sous-variété fermée Xred de X qui est réduite et a même espace topologique sous-jacent que X.

Sur l'ensemble produit X × Y de deux variétés algébriques, on peut définir une structure de variété algébrique munie de morphismes p : X × Y → X et q : X × Y → Y, de manière que les morphismes u d'une variété Z dans X × Y correspondent bijectivement aux couples (p ∘ u, q ∘ u) de morphismes de Z dans X et Y respectivement. En général la topologie de X × Y est strictement plus fine que la topologie produit. Par exemple km × k≃ km+n ; le produit de deux variétés affines est par suite une variété affine. De même, le produit de deux variétés projectives est projective ; en effet, [...]


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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Autres références

«  GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE  » est également traité dans :

ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 7 218 mots

Dans le chapitre « Géométrie algébrique et algèbre commutative »  : […] Il n'est pas question même d'esquisser ici l'histoire de la géométrie algébrique, qui était au départ l'étude des courbes algébriques, et qui, sous sa forme actuelle, la théorie des schémas, due au mathématicien français A. Grothendieck, est devenue une des branches les plus abstraites et les plus vivantes des mathématiques contemporaines ; nous essayerons seulement de montrer, de manière d'aille […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/#i_25912

CASTELNUOVO GUIDO (1865-1952)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
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Mathématicien italien dont les travaux ont porté principalement sur la géométrie algébrique. Né à Venise, Castelnuovo fut l'élève de Véronèse à Padoue ; assistant à Turin, il eut avec C. Segre de nombreux entretiens d'où devait sortir l'exposé de la géométrie sur une courbe algébrique, publié en 1894 par Segre (où la méthode hyperspatiale est utilisée systématiquement). Appelé à l'université de Ro […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/guido-castelnuovo/#i_25912

CHEVALLEY CLAUDE (1909-1984)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 259 mots

Fils d'ambassadeur, né à Johannesburg, Chevalley a fait la plus grande partie de ses études à Paris, où il fut élève de l'École normale supérieure, de 1926 à 1929. Il a enseigné à l'université de Rennes, puis aux États-Unis, aux universités de Princeton et de Columbia (New York). Il termina sa carrière comme professeur et correspondant de l'Académie des sciences à l'université de Paris. Ses travau […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/claude-chevalley/#i_25912

CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
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Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée était toujours florissante et parmi les professeurs de Clebsch on compte F. Richelot et O. Hesse, élèves de Jaco […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/rudolf-friedrich-alfred-clebsch/#i_25912

CONTINU & DISCRET

  • Écrit par 
  • Jean-Michel SALANSKIS
  •  • 7 679 mots

Dans le chapitre « Dynamique du continu et du discret »  : […] Du côté des mathématiques non fondationnelles, l'opposition du continu et du discret se retrouve dans une certaine mesure dans celle de l'analyse et de l'algèbre. La définition rigoureuse de ces deux branches traditionnelles de la mathématique est sans doute impossible ; on peut cependant dire que l'algèbre fut d'abord la théorie de la résolution des équations. Dans une large mesure, et pendant l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/continu-et-discret/#i_25912

CORPS, mathématiques

  • Écrit par 
  • Robert GERGONDEY
  • , Universalis
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Dans le chapitre « Corps de fonctions algébriques »  : […] La géométrie algébrique fournit de nombreux exemples de corps. Nous nous limiterons ici à des indications élémentaires. Une sous- variété algébrique affine de l'espace vectoriel C n des suites ( x 1 ,  x 2 , ...,  x […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/corps-mathematiques/#i_25912

DEDEKIND RICHARD (1831-1916)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
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Le mathématicien allemand Richard Dedekind est un des fondateurs de l'algèbre moderne. Sa théorie des idéaux, systématisation et rationalisation des «   nombres idéaux » de Kummer, est en effet devenue l'outil essentiel pour étudier la divisibilité dans les anneaux les plus généraux et a donné une impulsion considérable à l'arithmétique en élargissant son champ d'action. Dedekind est aussi le cr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/richard-dedekind/#i_25912

DELIGNE PIERRE (1944- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
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Pierre Deligne est un mathématicien belge, né le 3 octobre 1944 à Etterbeek près de Bruxelles. Il a reçu le prix Abel 2013 « pour ses contributions fondamentales à la géométrie algébrique et pour leur impact considérable et continu sur la théorie des nombres, la théorie des représentations et les domaines connexes ». Pierre Deligne a été étudiant à l'Université libre de Bruxelles, où il soutient […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/pierre-deligne/#i_25912

DIOPHANTE D'ALEXANDRIE

  • Écrit par 
  • Roshdi RASHED
  •  • 2 918 mots

Dans le chapitre « Une classe de problèmes »  : […] C'est bien l'unité même des Arithmétiques qui est en question. Or le langage de la géométrie algébrique nous permet de mieux saisir cette unité, en nous aidant à dégager les algorithmes arithmétiques que le mathématicien alexandrin avait pu utiliser, sans toutefois leur attribuer la signification géométrique qu'ils ont à présent, et sans en donner la démonstration. Cette int […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/diophante-d-alexandrie/#i_25912

DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, 
  • Marcel DAVID, 
  • Universalis
  •  • 6 374 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Surfaces analogues aux courbes de genre 1 »  : […] L'analogue immédiat, du point de vue de la géométrie algébrique, consiste en les surfaces abéliennes (pour lesquelles il est difficile de donner des équations !). Le théorème de A.  Weil (1928) nous renseigne sur les points rationnels, mais on ignore s'il n'y a qu'un nombre fini de points entiers. Un autre analogue consiste en les surfaces non singulières de l'espace ordinaire, de degré 4. Une con […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/#i_25912

ENRIQUES FEDERIGO (1871-1946)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 232 mots

Mathématicien italien, Federigo Enriques a travaillé sur la géométrie algébrique et la géométrie différentielle. Né à Livourne, Enriques fit ses études supérieures jusqu'au doctorat à l'université de Pise, puis se rendit à Rome pour suivre les cours de Cremona ; il s'y lia avec G. Castelnuovo, de quelques années son aîné. Leurs travaux ont développé la théorie des surfaces algébriques en utilisant […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/federigo-enriques/#i_25912

GORDAN PAUL ALBERT (1837-1912)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 334 mots

Algébriste allemand, né et mort à Erlangeus, Paul Gordan fut pendant plusieurs années employé de banque avant d'entreprendre des études universitaires à Breslau, Königsberg et Berlin, où il suivit des cours de Ernst Kummer sur la théorie des nombres. Après avoir soutenu une thèse de doctorat (1862) sur la géodésie sur les sphéroïdes, il fit un séjour à Göttingen, où travaillait alors Riemann, puis […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/paul-albert-gordan/#i_25912

GROTHENDIECK ALEXANDER (1928-2014)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ, 
  • Universalis
  •  • 791 mots

Né le 28 mars 1928 à Berlin d'un père russe (assassiné par les nazis) et d'une mère allemande, Alexander Grothendieck est venu comme réfugié en France à l'âge de treize ans et y a toujours vécu, restant longtemps apatride par respect des convictions philosophiques de son père. Il est naturalisé français en 1971. Professeur à l'Institut des hautes études scientifiques (IHES) de 1960 à 1969, il a re […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alexander-grothendieck/#i_25912

HENSEL KURT (1861-1941)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 389 mots

Mathématicien allemand, Kurt Hensel est né le 21 décembre 1861 à Königsberg et mort le 1 er juin 1941 à Marburg. Il est le créateur de la théorie des nombres p -adiques. Kurt Hensel soutint en 1886 sa thèse, à Berlin, devant Kronecker, avec qui il était très lié. Il enseigna à Berlin, puis, à partir de 1901, à l'université de Marburg. Les premiers t […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/kurt-hensel/#i_25912

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Problème 21 : monodromie des équations différentielles de Fuchs »  : […] On considère une équation différentielle linéaire d'ordre n dans un ouvert U du plan projectif complexe P 1  : c'est Fuchs qui, le premier, mit en lumière un type particulier parmi ces équations, caractérisées par des propriétés soit analytiques, soit algébriques. Ces équations, dites à point singulier régulier au point α (ou d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-hilbert/#i_25912

HIRONAKA HEISUKE (1931- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 207 mots

Mathématicien japonais, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en géométrie algébrique. Né le 9 avril 1931 à Yamaguchi (Japon), Heisuke Hironaka fait ses études supérieures à l'université de Kyōto, puis à l'université Harvard où il soutient sa thèse de doctorat en 1960. Enseignant à l'université Columbia de New York de 1964 à 1968, il partage ensuite son temps entre les universités […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/heisuke-hironaka/#i_25912

KODAIRA KUNIHIKO (1915-1997)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 254 mots

Né à Tōkyō (Japon), Kodaira Kunihiko fit des études de mathématiques et de physique théorique à l'université de sa ville natale, où il fut ensuite professeur. En 1949, il va enseigner à l'Institute for Advanced Study, puis à l'université de Princeton. En 1954, il obtint la médaille Fields pour sa théorie des intégrales harmoniques et ses applications aux variétés algébriques. Ses premiers travaux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/kodaira/#i_25912

KRULL WOLFGANG (1899-1970)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 153 mots

Mathématicien allemand né à Baden-Baden et mort à Bonn. Wolfgang Krull a formé, avec E. Artin et E. Noether, l'école allemande qui, à partir de 1920, a rénové l'algèbre en mettant systématiquement à la base de cette partie des mathématiques les notions de structure algébrique : groupes, anneaux, corps, idéaux, modules, etc. Ses travaux ont surtout porté sur l'algèbre commutative ; on lui doit la d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/wolfgang-krull/#i_25912

KUMMER ERNST EDUARD (1810-1893)

  • Écrit par 
  • Jean ITARD
  •  • 1 200 mots

Dans le chapitre « Géométrie algébrique »  : […] Les recherches de W. R. Hamilton sur les systèmes de rayons optiques ont inspiré à Kummer des études sur les congruences de droites (familles de droites, à deux paramètres indépendants, dans l'espace euclidien de dimension trois). Elles donnent lieu, en 1860, à un mémoire où il introduit le concept et la mesure de la densité d'une congruence. Cette quantité, pour la congruence des normales à une s […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ernst-eduard-kummer/#i_25912

LEFSCHETZ SOLOMON (1884-1972)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 358 mots

Mathématicien américain d'origine russe, Solomon Lefschetz fut le créateur de la topologie algébrique et a apporté d'importantes contributions à la géométrie algébrique. Né à Moscou, Lefschetz fit ses études à l'École centrale de Paris ; il émigra ensuite aux États-Unis et commença une carrière d'ingénieur qui prit fin brutalement à la suite d'un accident du travail dans lequel il perdit ses deux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/solomon-lefschetz/#i_25912

MÉDAILLES FIELDS 2018

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 1 605 mots
  •  • 1 média

Les médailles Fields récompensent tous les quatre ans des mathématiciens de moins de quarante ans, lors du congrès de l’Union mathématique internationale. En 2018, le congrès réuni le 1 er  août à Rio de Janeiro a attribué cette récompense à l’Irano-Britannique Caucher Birkar, à l’Italien Alessio Figalli, à l’Allemand Peter Scholze et à l’Indo-Australien Akshay Venkatesh . […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/medailles-fields-2018/#i_25912

MODÈLES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Daniel ANDLER, 
  • Daniel LASCAR, 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 7 958 mots

Dans le chapitre « Théorie des modèles et algèbre traditionnelle »  : […] Il devrait être maintenant clair que les débuts de la théorie des modèles sont assez voisins de l'algèbre générale. Il n'est donc pas étonnant qu'il y ait eu de nombreuses applications de cette théorie à des problèmes purement algébriques. Il faut cependant dire que les premières applications « essentielles » de la théorie des modèles à l'algèbre datent de la fin des années cinquante. Jusque-là, l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-modeles/#i_25912

MORI SHIGEFUMI (1951- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 296 mots

Mathématicien japonais, lauréat de la médaille Fields en 1990 pour ses travaux en géométrie algébrique. Né le 23 février 1951 à Nagoya (Japon), Shigefumi Mori fait ses études à l'université de Kyōto, où il soutient sa thèse de doctorat en 1978 sur les anneaux d'endomorphismes de quelques variétés abéliennes. Il enseigne à l'université de Kyōto de 1975 à 1980, puis à l'université de Nagoya jusqu'en […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/shigefumi-mori/#i_25912

MUMFORD DAVID BRYANT (1937- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 272 mots

Mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1974 pour ses travaux en géométrie algébrique. Né le 11 juin 1937 à Worth (Grande-Bretagne), David Bryant Mumford fait ses études supérieures à l'université Harvard à Cambridge (Massachusetts), où il soutient sa thèse en 1961. Il est immédiatement nommé professeur à Harvard. Mumford s'est particulièrement intéressé à la théorie des variét […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-bryant-mumford/#i_25912

NOETHER MAX (1844-1921)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 768 mots

Mathématicien allemand, Max Noether a été un des meilleurs spécialistes en géométrie algébrique de la seconde moitié du xix e siècle. Élève de Rudolf Clebsch, il a poursuivi le programme de ce dernier, c'est-à-dire la recherche de démonstrations purement géométriques des applications de la théorie de Riemann à la géométrie projective des courbes  […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/max-noether/#i_25912

POINCARÉ HENRI (1854-1912)

  • Écrit par 
  • Gérard BESSON, 
  • Christian HOUZEL, 
  • Michel PATY
  •  • 6 143 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Géométrie analytique, algèbre, arithmétique et analysis situs »  : […] Outre les résultats algébriques obtenus à partir de l'étude des fonctions automorphes, Poincaré s'intéressa, dès 1881, aux fonctions abéliennes et à la géométrie algébrique, dans la suite des travaux de Riemann et de Weierstrass. Il démontra le « théorème de réductibilité complète » des variétés abéliennes (décomposition en variétés simples d'intersections finies), d'où il tira de nombreux résult […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/henri-poincare/#i_25912

PROJECTIFS ESPACE & REPÈRE

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 777 mots

Espace projectif . Étant donné un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, on considère dans E′ = E — {0} la relation G entre deux éléments x et y définie par : La relation G est une relation d'équivalence et l'ensemble quotient E′/ G est appelé espace projectif déduit de E et est noté P (E). L'ensemble E est appelé espace […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/espace-et-repere-projectifs/#i_25912

SEVERI FRANCESCO (1879-1961)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 220 mots

Mathématicien italien né à Arezzo et mort à Rome. Francesco Severi a consacré la plupart de ses travaux à la géométrie algébrique, poursuivant et complétant les résultats de G. Castelnuovo et F. Enriques en suivant les mêmes méthodes. Il fut le premier à généraliser ces méthodes aux variétés algébriques projectives de dimension quelconque, et les résultats et conjectures qu'il formula dans cette t […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/francesco-severi/#i_25912

VOEVODSKY VLADIMIR (1966- )

  • Écrit par 
  • Antoine CHAMBERT-LOIR
  •  • 750 mots

Mathématicien russe, lauréat de la médaille Fields en 2002 avec Laurent Lafforgue (France). Né le 4 juin 1966 à Moscou (Russie), Vladimir Voevoedsky a fait ses études supérieures à Moscou et à Harvard (États-Unis). Depuis 2002, il est professeur à l'Institute for Advanced Studies de Princeton (États-Unis). Les travaux de Vladimir Voevodsky appartiennent à la géométrie algébrique. Il a développé l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/vladimir-voevodsky/#i_25912

VOISIN CLAIRE (1962- )

  • Écrit par 
  • Arnaud BEAUVILLE
  •  • 965 mots
  •  • 1 média

Née en 1962, Claire Voisin est une mathématicienne française, ancienne élève de l'École normale supérieure. Après avoir passé l'agrégation, elle prépare une thèse à l'université Paris-Sud, sous la direction d'Arnaud Beauville. À la suite de sa soutenance, en 1986, elle est immédiatement recrutée au CNRS, où elle travaillera une trentaine d'années, d'abord à Orsay puis à l'Institut de mathématiqu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/claire-voisin/#i_25912

WEIL ANDRÉ (1906-1998)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 804 mots
  •  • 1 média

Mathématicien français, André Weil a mené des travaux portant principalement sur la géométrie algébrique et ses applications à la théorie des nombres. Né le 6 mai 1906, André Weil entra à l'École normale supérieure à l'âge de seize ans ; il fut docteur ès sciences à vingt-deux ans, avec une thèse qui fit époque : il y étendait à toutes les courbes algébriques un théorème de finitude obtenu peu a […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andre-weil/#i_25912

WEIL (TROISIÈME CONJECTURE DE)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 344 mots

Après sa thèse soutenue en 1968 à l'Université libre de Bruxelles, le mathématicien belge Pierre Deligne a effectué la première partie de sa carrière à l'Institut des hautes études scientifiques (I.H.E.S.) de Bures-sur-Yvette (Essonne) ; il y travaillait notamment sous la direction du mathématicien Alexandre Grothendieck. C'est là qu'en 1973 il prouve la troisième conjecture de Weil « sur les va […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/weil-troisieme-conjecture-de/#i_25912

ZARISKI OSCAR (1899-1986)

  • Écrit par 
  • Jean-Jacques SANSUC
  •  • 390 mots

Mathématicien américain d'origine russe, né à Kobrin, près de Brest. Oscar Zariski a contribué de façon importante à l'essor de la géométrie algébrique moderne. Après des études supérieures à l'université de Kiev, Zariski a commencé sa carrière de chercheur à Rome, de 1921 à 1926, comme élève de Federigo Enriques et de Guido Castelnuovo ; il l'a poursuivie aux États-Unis, dès 1927, principalement […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/oscar-zariski/#i_25912

Voir aussi

Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 04 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-algebrique/