GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Propriétés élémentaires
Tout ouvert U d'une variété algébrique X, muni de la structure annelée induite, est une variété algébrique ; on dit que c'est une sous-variété ouverte de X.
Considérons un faisceau d'idéaux J de OX (c'est-à-dire un faisceau tel que J(U) soit un idéal de OX(U) pour tout ouvert U, les opérations de restriction de J étant induites par celles de OX) ; on peut définir un faisceau quotient OX/J, dont la fibre en un point x quelconque de X est OX,x/Jx. Si J est « localement de type fini », le support Y de ce faisceau quotient, c'est-à-dire l'ensemble des points x où sa fibre n'est pas nulle, est une partie fermée de X. On peut considérer OX/J comme un faisceau sur Y, et Y muni de ce faisceau est une variété algébrique ; on dit que c'est une sous-variété fermée de X. Par exemple, les variétés algébriques affines (resp. projectives) peuvent être considérées comme des sous-variétés fermées d'un espace kn (resp. Pn(k)).
Si Y est un fermé quelconque de X, le faisceau d'idéaux JY formé des f qui s'annulent sur Y est localement de type fini et OX/JY a pour support Y, d'où sur Y une structure de sous-variété fermée de X. Ce n'est pas la seule possible, mais on peut la caractériser par le fait qu'elle est réduite, c'est-à-dire que son faisceau structural ne comporte pas d'éléments nilpotents non nuls (il s'interprète comme un faisceau de fonctions sur Y). En particulier, si Y = X, on définit une sous-variété fermée Xred de X qui est réduite et a même espace topologique sous-jacent que X.
Sur l'ensemble produit X × Y de deux variétés algébriques, on peut définir une structure de variété algébrique munie de morphismes p : X × Y → X et q : X × Y → Y, de manière que les morphismes u d'une variété Z dans X × Y correspondent bijectivement aux couples (p ∘ u, q ∘ u) de morphismes de Z dans X et Y respectivement. En général la topologie de X × Y est strictement plus fine que la topologie produit. Par exemple km × kn ≃ km+n ; le produit de deux variétés affines est par suite une variété affine. De même, le produit de deux variétés projectives est projective ; en effet, Pm(k) × Pn(k) s'identifie à une sous-variété fermée de Pr(k), avec r = mn + m + n, au moyen du morphisme de Segre qui transforme un couple (x, y) ∈ Pm(k) × Pn(k) en le point de coordonnées homogènes xiyj (0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ n) où les xi sont les coordonnées homogènes de x et les yj celles de y. Par exemple, pour m = n = 1, le morphisme de Segre P1(k) × P1(k) → P3(k) identifie le produit de deux droites projectives à la quadrique d'équation homogène zt = xy (cf. chap. 1, exemple des paraboloïdes et ) ; lorsque a décrit P1(k), l'image de {a} × P1(k) décrit l'un des systèmes de génératrices rectilignes de la quadrique, tandis que l'image de P1(k) × {a} décrit l'autre système.
On dit qu'une variété algébrique X est séparée si la diagonale ΔX = {(x, x) | x ∈ ΓX} est une partie fermée de X × X (comme la topologie de X × X est plus fine que la topologie produit, cela ne signifie pas en général que la topologie de X est séparée). Une sous-variété (ouverte ou fermée) d'une variété séparée est aussi séparée ; de même, un produit de variétés séparées est séparé. L'espace kn et l'espace Pn(k) sont séparés, donc les variétés algébriques affines ou projectives sont séparées.
La propriété noethérienne des algèbres de type fini se traduit dans le fait que toute suite décroissante de fermés d'une variété algébrique affine est stationnaire. Il en résulte que tout sous-espace d'une telle variété est quasi compact, c'est-à-dire vérifie l'axiome de Borel-Lebesgue.[...]
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
Classification
Pour citer cet article
Christian HOUZEL. GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Médias
Isomorphisme
Encyclopædia Universalis France
Plan affine dans le plan projectif
Encyclopædia Universalis France
Isomorphisme avec une hyperbole
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
ALGÈBRE
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 7 143 mots
Il n'est pas question même d'esquisser ici l'histoire de la géométrie algébrique, qui était au départ l'étude des courbes algébriques, et qui, sous sa forme actuelle, la théorie des schémas, due au mathématicien français A. Grothendieck, est devenue une des branches les plus abstraites et... -
CASTELNUOVO GUIDO (1865-1952)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 342 mots
Mathématicien italien dont les travaux ont porté principalement sur la géométrie algébrique. Né à Venise, Castelnuovo fut l'élève de Véronèse à Padoue ; assistant à Turin, il eut avec C. Segre de nombreux entretiens d'où devait sortir l'exposé de la géométrie sur une courbe algébrique, publié...
-
CHEVALLEY CLAUDE (1909-1984)
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 260 mots
Fils d'ambassadeur, né à Johannesburg, Chevalley a fait la plus grande partie de ses études à Paris, où il fut élève de l'École normale supérieure, de 1926 à 1929. Il a enseigné à l'université de Rennes, puis aux États-Unis, aux universités de Princeton et de Columbia (New York). Il termina sa...
-
CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)
- Écrit par Jeanne PEIFFER
- 836 mots
Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée...
- Afficher les 35 références
Voir aussi
- MAXIMAL IDÉAL
- KRULL THÉORÈME DE
- LOCAL ANNEAU
- GERMES ALGÈBRE DES
- ISOMORPHISME, mathématiques
- ALGÈBRES
- POLYNOMIALE FONCTION
- CODIMENSION, mathématiques
- GROUPE ALGÉBRIQUE
- CÔNE
- PARABOLE, mathématiques
- PARABOLOÏDE
- HILBERT THÉORÈME DES ZÉROS DE
- FIBRÉ, mathématiques
- ENSEMBLE ALGÉBRIQUE
- CISSOÏDE
- ÉQUIVALENCE BIRATIONNELLE
- ESPACE LOCALEMENT ANNELÉ
- DIMENSION D'UNE VARIÉTÉ
- COHOMOLOGIE
- EULER-POINCARÉ CARACTÉRISTIQUE D'
- APPLICATION RATIONNELLE
- VARIÉTÉ ALGÉBRIQUE
- VARIÉTÉ ABÉLIENNE
- APPLICATION RÉGULIÈRE
- ZARISKI TOPOLOGIE DE
- VARIÉTÉ ALGÉBRIQUE SÉPARÉE
- SEGRE MORPHISME DE
- ZARISKI THÉORÈME PRINCIPAL DE
- TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE
- RIEMANN-ROCH THÉORÈME DE
- MORPHISME
- ESPACE ANALYTIQUE
- POINT RÉGULIER
- INTERSECTION, mathématique
- CHERN CLASSES DE
- TOPOLOGIE PRODUIT
- REVÊTEMENTS, mathématiques
- SOUS-VARIÉTÉ, mathématiques
- FAISCEAUX, mathématiques
- CYCLE, topologie
- CORPS ALGÉBRIQUEMENT CLOS
- VARIÉTÉ ALGÉBRIQUE AFFINE
- COORDONNÉES HOMOGÈNES
