GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Groupes algébriques
On appelle groupe algébrique une variété algébrique G munie d'un morphisme m : G × G → G tel que pour toute variété algébrique T, l'application (u, v) ↦ m ∘ (u, v) soit une loi de groupe sur l'ensemble G(T) des morphismes de T dans G ; si T est une variété affine, d'algèbre A, on écrit souvent G(A) au lieu de G(T) ; par exemple si T est la variété réduite à un point avec l'algèbre k, G(T) = G(k) s'identifie à l'ensemble des points de G (cf. chap. 2), et on voit que m définit sur cet ensemble une structure de groupe. La théorie des groupes algébriques est assez analogue à celle des groupes de Lie, mais ses méthodes sont différentes.
Comme premiers exemples de groupes algébriques, citons le groupe additif Ga, c'est-à-dire la droite affine (k, k[t]) munie de l'addition comme loi, et le groupe multiplicatif Gm, c'est-à-dire la variété affine (k − {0}, k[t, 1/t]) munie de la multiplication ; on démontre que tout groupe algébrique affine de dimension 1 qui est connexe et réduit est isomorphe à Ga ou à Gm. L'ensemble GL(n,k) des matrices carrées inversibles d'ordre n est un ouvert affine dans M(n, k) ⊂ Kn×n, défini par det (uij) ≠ 0 ; la multiplication des matrices en fait un groupe algébrique affine. Tout groupe algébrique affine s'identifie à un sous-groupe fermé d'un GL(n, k) ; les groupes classiques sont des exemples de groupes algébriques (cf. groupes - Groupes classiques et géométrie).
On peut également définir la notion d'opérations algébriques d'un groupe algébrique sur une variété algébrique. La théorie des groupes algébriques affines, édifiée par A. Borel, repose sur le théorème suivant :
Considérons un groupe algébrique affine G résoluble et connexe, qui opère sur une variété complète X. Il existe un point de X invariant par les opérations de G.
En appliquant ce résultat à un sous-groupe algébrique résoluble et connexe de GL(n, k) opérant sur la « variété des drapeaux » de kn, on trouve qu'un tel sous-groupe est conjugué d'un sous-groupe formé de matrices triangulaires (théorème de Lie-Kolchin). On appelle sous-groupe de Borel d'un groupe algébrique affine G tout sous-groupe fermé résoluble connexe maximal ; les sous-groupes de Borel sont conjugués par automorphismes intérieurs. Si B est un sous-groupe de Borel de G, l'espace homogène G/B est une variété algébrique projective ; les sous-groupes H qui contiennent un sous-groupe de Borel (sous-groupes paraboliques) sont caractérisés par le fait que G/H est une variété complète.
À l'opposé des groupes affines se trouvent les variétés abéliennes, c'est-à-dire les groupes algébriques connexes réduits qui sont complets en tant que variétés algébriques. Si A est une variété abélienne, c'est une variété projective et sa loi de groupe est commutative. Lorsque le corps de base k est celui des nombres complexes, l'espace analytique Aan associé à une variété abélienne A est un tore complexe Cn/Γ (Γ sous-groupe additif discret de rang 2 n) ; on peut caractériser les tores complexes qui proviennent d'une variété abélienne par l'existence d'une forme de Riemann (c'est-à-dire une forme hermitienne positive non dégénérée sur Cn × Cn dont la partie imaginaire prend des valeurs entières sur Γ × Γ). Tout groupe algébrique connexe réduit G contient un sous-groupe affine connexe distingué H tel que le quotient G/H soit une variété abélienne.
À une variété algébrique complète X on associe des variétés abéliennes intéressantes : la variété de Picard et la variété d'Albanese. La première a pour ensemble sous-jacent l'ensemble des classes pour l'équivalence linéaire de diviseurs algébriquement équivalents à 0 sur X ;[...]
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Écrit par
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
Classification
Pour citer cet article
Christian HOUZEL. GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Médias
Isomorphisme
Encyclopædia Universalis France
Plan affine dans le plan projectif
Encyclopædia Universalis France
Isomorphisme avec une hyperbole
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
ALGÈBRE
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 7 143 mots
Il n'est pas question même d'esquisser ici l'histoire de la géométrie algébrique, qui était au départ l'étude des courbes algébriques, et qui, sous sa forme actuelle, la théorie des schémas, due au mathématicien français A. Grothendieck, est devenue une des branches les plus abstraites et... -
CASTELNUOVO GUIDO (1865-1952)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 342 mots
Mathématicien italien dont les travaux ont porté principalement sur la géométrie algébrique. Né à Venise, Castelnuovo fut l'élève de Véronèse à Padoue ; assistant à Turin, il eut avec C. Segre de nombreux entretiens d'où devait sortir l'exposé de la géométrie sur une courbe algébrique, publié...
-
CHEVALLEY CLAUDE (1909-1984)
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 260 mots
Fils d'ambassadeur, né à Johannesburg, Chevalley a fait la plus grande partie de ses études à Paris, où il fut élève de l'École normale supérieure, de 1926 à 1929. Il a enseigné à l'université de Rennes, puis aux États-Unis, aux universités de Princeton et de Columbia (New York). Il termina sa...
-
CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)
- Écrit par Jeanne PEIFFER
- 836 mots
Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée...
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Voir aussi
- MAXIMAL IDÉAL
- KRULL THÉORÈME DE
- LOCAL ANNEAU
- GERMES ALGÈBRE DES
- ISOMORPHISME, mathématiques
- ALGÈBRES
- POLYNOMIALE FONCTION
- CODIMENSION, mathématiques
- GROUPE ALGÉBRIQUE
- CÔNE
- PARABOLE, mathématiques
- PARABOLOÏDE
- HILBERT THÉORÈME DES ZÉROS DE
- FIBRÉ, mathématiques
- ENSEMBLE ALGÉBRIQUE
- CISSOÏDE
- ÉQUIVALENCE BIRATIONNELLE
- ESPACE LOCALEMENT ANNELÉ
- DIMENSION D'UNE VARIÉTÉ
- COHOMOLOGIE
- EULER-POINCARÉ CARACTÉRISTIQUE D'
- APPLICATION RATIONNELLE
- VARIÉTÉ ALGÉBRIQUE
- VARIÉTÉ ABÉLIENNE
- APPLICATION RÉGULIÈRE
- ZARISKI TOPOLOGIE DE
- VARIÉTÉ ALGÉBRIQUE SÉPARÉE
- SEGRE MORPHISME DE
- ZARISKI THÉORÈME PRINCIPAL DE
- TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE
- RIEMANN-ROCH THÉORÈME DE
- MORPHISME
- ESPACE ANALYTIQUE
- POINT RÉGULIER
- INTERSECTION, mathématique
- CHERN CLASSES DE
- TOPOLOGIE PRODUIT
- REVÊTEMENTS, mathématiques
- SOUS-VARIÉTÉ, mathématiques
- FAISCEAUX, mathématiques
- CYCLE, topologie
- CORPS ALGÉBRIQUEMENT CLOS
- VARIÉTÉ ALGÉBRIQUE AFFINE
- COORDONNÉES HOMOGÈNES
