COURBES ALGÉBRIQUES

En fondant la géométrie analytique, Descartes avait substitué au plan de la géométrie d'Euclide l'ensemble R² des couples de nombres réels et, de ce fait, à la notion de courbe, celle d'équation. La construction d'un point, puis la détermination d'un lieu géométrique se trouvaient ainsi remplacées par une représentation paramétrique, et une élimination. L'existence de méthodes canoniques d'élimination en théorie des polynômes est sans doute à l'origine de l'intérêt porté aux courbes algébriques, c'est-à-dire, grosso modo, à l'ensemble des points d'un plan où s'annule un polynôme.

Le rôle important de l'homogénéité dans la théorie des polynômes, aperçu au moment où s'élaborait la géométrie projective, a conduit à concevoir les modèles de courbes algébriques comme appartenant au plan projectif, qui a l'avantage d'être compact. D'autre part, si la conception initiale de la géométrie analytique était essentiellement une question de variables réelles, les géomètres algébristes ont été amenés à prendre comme corps de base le corps complexe à cause de la propriété fondamentale suivante : Tout polynôme de degré n à coefficients complexes a exactement n racines complexes, en tenant compte de leur ordre de multiplicité (propriété de clôture algébrique du corps C des nombres complexes) ; les courbes algébriques ont été les premiers exemples de variétés analytiques complexes.

Cela n'empêche pas, au moins dans le cas des polynômes à coefficients réels, pour aider l'imagination, de s'intéresser à la courbe réelle, lieu des points à coordonnées réelles, dans un plan affine ou même métrique déduit du plan projectif en spécialisant une droite à l'infini et en munissant le repère des propriétés adéquates (orthogonalité, normes) : c'est la raison pour laquelle les mathématiques ont connu toute une abondante « flore » de courbes algébriques remarquables.

Courbes irréductibles

Considérons donc un plan projectif complexe, dans lequel les coordonnées homogènes sont x, y, z, et un polynôme (à coefficients réels ou complexes) homogène F de degré n ;

Si l'on représente le même point par les coordonnées λa, λb, λc, où λ ≠ 0, on a :

Si F(x, y, z) n'est pas décomposable sur le corps complexe en un produit de facteurs non constants, tout polynôme qui s'annule partout où s'annule F est de la forme :

La décomposition d'un polynôme quelconque en produit de facteurs irréductibles montre alors qu'une courbe algébrique générale doit être considérée comme constituée de composantes irréductibles, affectées chacune d'un exposant qui est un entier naturel, sa multiplicité. C'est ainsi que la courbe :

Bien entendu, la notion de composante irréductible (et la multiplicité correspondante) sont des notions projectives, indépendantes du choix du repère, mais qui sont essentiellement liées au fait que le corps de base est algébriquement clos.