GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

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Intersections

Définitions

Soit Y un fermé irréductible d'une variété algébrique X. La codimension de Y dans X est définie comme la borne supérieure des entiers n tels qu'il existe une suite strictement croissante (F0, F1, ..., Fn) de fermés irréductibles de X avec F0 = Y ; si X est irréductible :

Supposons maintenant que X est une variété sans point singulier, et considérons des fermés irréductibles Y et Z de X ; si W est une composante irréductible de Y ∩ Z, on a l'inégalité suivante :

(par exemple, dans l'intersection de deux hypersurfaces, toutes les composantes irréductibles sont de codimension au plus 2). On dit que Y et Z se coupent proprement en W dans le cas où il y a égalité :
(formule des dimensions) ; on peut alors définir un entier mw appelé multiplicité de W dans l'intersection de Y et Z (cf. courbes algébriques, pour le cas où Y et Z sont des courbes). Si Y et Z se coupent proprement en toutes les composantes irréductibles de Y ∩ Z, on dit que l'intersection de Y et Z est propre, et on peut définir un « cycle » intersection :
(somme étendue aux composantes irréductibles de Y ∩ Z). D'une manière générale, nous appellerons cycle de codimension m une combinaison linéaire formelle à coefficients entiers de fermés irréductibles de codimension m, et nous désignerons par Zm(X) le groupe additif des cycles de codimension m. On peut aussi définir la notion de cycles qui se coupent proprement ; si z ∈ Zm(X) et z′ ∈ Zm′(X) sont des cycles qui se coupent proprement, leur produit d'intersection z.z′ est défini, et c'est un cycle de codimension m′. Voici les propriétés fondamentales du produit d'intersection :

(1) Soit z ∈ Zm(X) et z1, z∈ Zm′(X) ; si z.z1 et z.z2 sont définis, il en est de même de z.(z1 + z2) et z.(z1 + z2) = z.z1 + z.z2.

(2) Commutativité : z.z′ = z′.z (si l'un des membres est défini, l'autre l'est aussi).

(3) Associativité : z.(z.z″) = (z.z′).z″ lorsque les deux membres sont définis.

Soit z ∈ Zm(X) et T ∈ Zn(Y) où X et Y sont des variétés sans singularité ; on définit un cycle produit × t ∈ Zm+n(X × Y)

Alors si z.z′ et t.t′ sont définis, il en est de même de (× ) . (z′ × t′) et donc (× ) . (z′ × t′) = (z.z′) × (t.t′).

Soit f : X → Y un morphisme de variétés irréductibles sans singularité. On définit l'image directe f* : Zm(X) → Zm+r(Y) (= dim Y − dim X) ; c'est une application additive telle que :

avec d = [K(W) : K(f (W))] (degré de W comme revêtement ramifié de f (W) ; W est un fermé irréductible de X). L'image réciproque f*() d'un cycle t sur Y n'est pas toujours définie ; on pose f*() = p*((X × t).Γf) où p est la projection de X × Y sur X et Γf est le graphe de f. La codimension est conservée par f*, et on a f* (t1 + t2) = f* (t1) + f* (t2) et f* (t.t′) = f*().f*(t′) lorsque les deux membres sont définis. Si des cycles z et z′ sur X se coupent proprement, on a z.z′ = δ*X(× z′) où δX : x ↦ (x, x) est le morphisme diagonal de X dans X × X. Considérons un cycle z sur X et un cycle t sur Y ; on a la formule de projection f* (z . f*()) = f*(z) . t (si les deux membres sont définis).

La théorie des intersections utilise diverses notions d'équivalence de cycles (linéaire, algébrique, numérique ; cf. courbes algébriques) ; ces relations d'équivalence sont compatibles avec l'addition des cycles et avec le produit d'intersection (et même avec les opérations f* et f*). Si z et z′ sont des cycles quelconques sur une variété X, le produit z.z′ n'est pas défini en général, mais il existe un cycle z1 équivalent à z′ qui coupe proprement z ; il en résulte une loi quotient partout définie. Les propriétés (1), (2) et (3) montrent que l'ensemble des classes de cycles a une structure d'anneau commutatif.

Théorème de Riemann-Roch

Soit F un faisceau cohérent sur une variété algébrique projective X sans singularité. La caractéristique d'Euler-Poincaré de F est définie par :

Le théorème de Riemann-Roch exprime χ(X, F) au moyen de classes de cycles liées à F et à X jouant le rôle de classes de Chern (cf. topologie - Topologie algébrique). Par exemple, si L est un faisceau localement libre de rang 1, il s'interprète comme le faisceau des sections d'un fibré linéaire L ; si s est une section rationnelle de L, on lui associe un diviseur (s) = (s)0 − (s), c'est-à-dire un cycle de codimension 1 sur X. On désigne par (s)0 l'image réciproque par s de la section nulle de L ; (s), se construit de même à l'aide de 1/s. Lorsque X ⊂ Pr(k) et que L = OX(1) est le faisceau fondamental, (s) est l'intersection de X avec un hyperplan de Pr(k). Lorsque s varie, le diviseur (s) reste dans une même classe pour l'équivalence linéaire, et cette classe D caractérise L à isomorphisme près (première classe de Chern).

Si X est une courbe, le théorème de Riemann-Roch donne, pour un faisceau L localement libre de rang 1 :

où deg D est le degré de la classe D, c'est-à-dire la somme des coefficients d'un diviseur quelconque appartenant à cette classe, et g est le genre de X.

Supposons maintenant que X est une surface ; la formule de Riemann-Roch s'écrit :

où K est une classe de diviseurs, dite canonique, et liée au faisceau des formes différentielles sur X (ou au fibré tangent à X) et où pa est un entier appelé genre arithmétique de X. Les invariants numériques, comme le genre arithmétique, ont été introduits initialement dans l'espoir d'arriver à une classification des variétés algébriques.

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-algebrique/