GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

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Variétés algébriques

L'utilisation des fonctions régulières ne conduit à rien dans l'étude des ensembles algébriques projectifs, puisque l'anneau des fonctions régulières d'un tel ensemble est toujours réduit à k. On peut remplacer les fonctions régulières par les fonctions rationnelles. La théorie ainsi construite permet l'étude des propriétés conservées par une équivalence birationnelle ; elle a été développée à la fin du xixe siècle, principalement en Italie. Cette méthode interdit la distinction entre des ensembles algébriques birationnellement équivalents, même non isomorphes. Il faut donc chercher dans une autre direction pour obtenir une définition intrinsèque des variétés algébriques.

En localisant la notion de fonction régulière, on arrive à une notion adéquate. Commençons par munir les ensembles algébriques d'une topologie qui permette une telle localisation.

Topologie de Zariski

Si le corps de base est celui des nombres complexes, on peut essayer la topologie induite par celle de Cn ou Pn(C) (c'est la topologie transcendante, définie à partir de la valeur absolue d'un nombre complexe). Il est clair, en effet, que les applications régulières sont continues pour cette topologie ; par suite, les isomorphismes la conservent. Mais cela ne convient pas au cas d'un corps de base général.

On veut une topologie adaptée à l'étude des propriétés algébriques ; ainsi les propriétés algébriques (ou du moins beaucoup d'entre elles) doivent avoir une nature locale pour la topologie cherchée : par exemple, une fonction rationnelle définie en un point doit rester définie au voisinage de ce point. Or les ensembles exceptionnels où les propriétés algébriques considérées cessent d'être vraies sont définis par des équations polynomiales (l'annulation du dénominateur dans le cas de la définition d'une fonction rationnelle) ; ce sont eux-mêmes des ensembles algébriques. Ainsi, nous imposons la condition suivante : les ensembles algébriques doivent être fermés pour la topologie cherchée. Il se trouve qu'il existe sur kn, ou sur Pn(k) [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 octobre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-algebrique/