GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

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Morphismes finis. Normalisation et désingularisation

On dit qu'un morphisme f = (u, v) : X → Y de variétés algébriques affines est fini si vY : B → A fait de A une B-algèbre finie (A désigne l'algèbre de X et B celle de Y). Plus généralement, un morphisme f : X → Y entre des variétés algébriques quelconques est dit fini s'il existe un recouvrement de Y par des ouverts affines Ui tels que les ouverts f-1(Ui) de X soient affines et que les restrictions :

soient finies. Un morphisme fini transforme les fermés de X en fermés de Y, et, pour tout point y de Y, la fibre -1(y) est finie et discrète. Le lemme de normalisation de Noether, énoncé au chapitre 2, signifie que si X est une variété algébrique affine, il existe un morphisme fini et surjectif de X sur un espace kd ; l'entier d est égal à la dimension de X. Si X est une sous-variété fermée d'une variété Y, le morphisme d'injection X → Y est fini.

Soit f : X → Y un morphisme de variétés algébriques tel que pour tout point y de Y la fibre -1(y) soit finie et discrète. En général f n'est pas fini, mais, si on le suppose séparé (cela signifie que ΔX = {(x, x) | ∈ X} est fermé dans le « produit fibré » X × YX ; c'est toujours vrai si X est séparé), on peut montrer qu'il existe une variété algébrique X′ dans laquelle X se plonge comme sous-variété ouverte de manière que f se prolonge en un morphisme fini de X′ dans Y. Ce résultat, profond et difficile, est connu sous le nom de théorème principal de Zariski.

Un point x d'une variété algébrique X est dit normal si l'anneau local OX,x est intègre et intégralement clos. Sur le corps des complexes, cela revient à dire que x est un point normal de Xan, c'est-à-dire que toute fonction analytique définie seulement aux points réguliers voisins de x et bornée se prolonge en une fonction analytique définie dans un voisinage de x. Un point régulier est normal ; sur une courbe la réciproque est vraie, mais pas en dimension plus grande. Par exemple, le sommet O du cône d'équation z2 = xy2 dans k3 est normal sans être régulier (cf. chap. 3 ). En un point normal x, chaque composan [...]

Cône

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 octobre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-algebrique/