DEDEKIND RICHARD (1831-1916)
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Le mathématicien allemand Richard Dedekind est un des fondateurs de l'algèbre moderne. Sa théorie des idéaux, systématisation et rationalisation des « nombres idéaux » de Kummer, est en effet devenue l'outil essentiel pour étudier la divisibilité dans les anneaux les plus généraux et a donné une impulsion considérable à l'arithmétique en élargissant son champ d'action.
Dedekind est aussi le créateur de la géométrie algébrique sous sa forme actuelle : en collaboration avec H. Weber, il a transformé l'étude des courbes algébriques, jusqu'alors du domaine de la géométrie et de l'analyse, en une branche de l'algèbre, et mis en évidence l'importance géométrique de l'étude de l'anneau des fonctions régulières sur une telle courbe.
Mentionnons enfin le rôle actif qu'il joua dans l'axiomatisation des nombres réels et dans l'élaboration de la théorie des ensembles ; en liaison épistolaire presque quotidienne avec G. Cantor pendant des années, il eut le mérite, tout autant que ce dernier, de pressentir toute la fécondité des méthodes fondées sur le maniement de la théorie des ensembles.
Dedekind fut, à Göttingen, le dernier élève de Gauss, puis il suivit les cours de Dirichlet, qui devaient exercer sur lui une profonde influence.
Les « nombres idéaux »
Euler (1707-1783) le premier s'était enhardi à faire des raisonnements de divisibilité portant sur des nombres qui n'étaient plus des entiers usuels, mais, par exemple, des nombres complexes de la forme m + n √– 3, (m et n entiers rationnels) ; ces nombres forment un anneau, et Euler admettait sans justification que les lois de l'arithmétique classique (existence de nombres premiers et factorisation unique en facteurs premiers) gardaient leur validité pour cet anneau. Un peu plus tard, Gauss montra que, pour l'anneau des « entiers de Gauss », m + n √– 1, [...]
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Écrit par :
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
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ALGÈBRE
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
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AXIOMATIQUE
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CANTOR GEORG (1845-1918)
Dans le chapitre « Cantor et Dedekind, une relation déterminante » : […] Une fonction périodique d’une variable réelle s’écrit-elle de manière unique comme série convergente de fonctions trigonométriques ? Heinrich Eduard Heine (1821-1881), collègue de Cantor à Halle, pose cette question. Cantor la résout affirmativement pour le cas des fonctions continues dans son mémoire « Sur l’extension d’un théorème de la théorie […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/georg-cantor/#i_24087
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DÉNOMBREMENT IDÉE DE
Dans le chapitre « Le dénombrable » : […] Le lecteur peu habitué aux mathématiques supérieures peut être ici gêné par une confusion que saura éviter l'expert. S'agissant de nombres entiers, rien n'est à craindre si les éléments de l'ensemble considéré sont des objets concrets ou même abstraits, mais non numériques ; en revanche, il y a risque d'incompréhension si ces éléments sont eux-même […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/idee-de-denombrement/#i_24087
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NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques
Dans le chapitre « La théorie des idéaux » : […] Dedekind a remplacé la considération des « nombres idéaux », que Kummer n'avait jamais définis comme objets mathématiques, par celle d'objets véritables, qu'il a appelés les idéaux du corps K. L'idée est de considérer, au lieu d'un diviseur A et de la congruence f (θ) ≡ g (θ) (mod A) qu'il définit dans les entiers algébriques, l'ensemble a de c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/#i_24087
RÉELS NOMBRES
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ZÊTA FONCTION
Dans le chapitre « Fonction zêta et fonctions L d'un corps de nombres algébriques » : […] R. Dedekind généralisa la définition des fonctions zêta et L à un corps de nombres algébriques k , en prenant : où a parcourt l'ensemble des idéaux entiers de k , où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers, où N a est la norme de l'idéal a , c'est-à-dire le nombre d'éléments de o / a (où o est l'anneau des entiers de k ) et où χ est un cara […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonction-zeta/#i_24087
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