DEDEKIND RICHARD (1831-1916)
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Le mathématicien allemand Richard Dedekind est un des fondateurs de l'algèbre moderne. Sa théorie des idéaux, systématisation et rationalisation des « nombres idéaux » de Kummer, est en effet devenue l'outil essentiel pour étudier la divisibilité dans les anneaux les plus généraux et a donné une impulsion considérable à l'arithmétique en élargissant son champ d'action.
Dedekind est aussi le créateur de la géométrie algébrique sous sa forme actuelle : en collaboration avec H. Weber, il a transformé l'étude des courbes algébriques, jusqu'alors du domaine de la géométrie et de l'analyse, en une branche de l'algèbre, et mis en évidence l'importance géométrique de l'étude de l'anneau des fonctions régulières sur une telle courbe.
Mentionnons enfin le rôle actif qu'il joua dans l'axiomatisation des nombres réels et dans l'élaboration de la théorie des ensembles ; en liaison épistolaire presque quotidienne avec G. Cantor pendant des années, il eut le mérite, tout autant que ce dernier, de pressentir toute la fécondité des méthodes fondées sur le maniement de la théorie des ensembles.
Dedekind fut, à Göttingen, le dernier élève de Gauss, puis il suivit les cours de Dirichlet, qui devaient exercer sur lui une profonde influence.
Les « nombres idéaux »
Euler (1707-1783) le premier s'était enhardi à faire des raisonnements de divisibilité portant sur des nombres qui n'étaient plus des entiers usuels, mais, par exemple, des nombres complexes de la forme m + n √– 3, (m et n entiers rationnels) ; ces nombres forment un anneau, et Euler admettait sans justification que les lois de l'arithmétique classique (existence de nombres premiers et factorisation unique en facteurs premiers) gardaient leur validité pour cet anneau. Un peu plus tard, Gauss montra que, pour l'anneau des « entiers de Gauss », m + n √– 1, [...]
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Écrit par :
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
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ALGÈBRE
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
Dans le chapitre « L'avènement de la théorie des ensembles et de la topologie » : […] La notion de limite est la base même du calcul infinitésimal ; mais, bien que certains d'entre eux, dont d'Alembert, aient approché d'une définition pour nous correcte, les mathématiciens du xviii e siècle étaient hors d'état de développer une théorie mathématique rigoureuse du « calcul », sur le modèle de la géométrie grecque, et devaient se contenter de justifications heuristiques de leurs déco […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/#i_24087
AXIOMATIQUE
Dans le chapitre « Origines de l'axiomatique mathématique » : […] L'axiomatique considérée comme mode idéal de rédaction d'un traité scientifique est une conception de la mathématique grecque : les Éléments d' Euclide constituent, à cette époque ( iii e s. av. J.-C.), la tentative la plus audacieuse de réaliser cet idéal. L'exécution de ce vaste programme laisse cependant bien à désirer. Ainsi, dès la première démonstration des Éléments , Euclide, traçant deux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/axiomatique/#i_24087
CANTOR GEORG (1845-1918)
Dans le chapitre « Cantor et Dedekind, une relation déterminante » : […] Une fonction périodique d’une variable réelle s’écrit-elle de manière unique comme série convergente de fonctions trigonométriques ? Heinrich Eduard Heine (1821-1881), collègue de Cantor à Halle, pose cette question. Cantor la résout affirmativement pour le cas des fonctions continues dans son mémoire « Sur l’extension d’un théorème de la théorie des séries trigonométriques » publié en 1872 dans […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/georg-cantor/#i_24087
CORPS, mathématiques
Dans le chapitre « Corps de nombres » : […] Le corps C des nombres complexes est un exemple bien classique de corps. Les sous-corps de C forment une vaste famille à laquelle appartiennent le corps Q des nombres rationnels (qui est le plus petit) et le corps R des nombres réels. Les corps de nombres algébriques (cf. théorie des nombres - Nombres algébriques) présentent un intérêt tout particulier. Dedekind en donne la description suiva […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/corps-mathematiques/#i_24087
DÉNOMBREMENT IDÉE DE
Dans le chapitre « Le dénombrable » : […] Le lecteur peu habitué aux mathématiques supérieures peut être ici gêné par une confusion que saura éviter l'expert. S'agissant de nombres entiers, rien n'est à craindre si les éléments de l'ensemble considéré sont des objets concrets ou même abstraits, mais non numériques ; en revanche, il y a risque d'incompréhension si ces éléments sont eux-mêmes des nombres. Les deux ensembles E 1 = { a, b, c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/idee-de-denombrement/#i_24087
INFINI, mathématiques
Dans le chapitre « Les ensembles infinis de Dedekind » : […] En 1870, Georg Cantor commence sa carrière mathématique en s'attaquant, après B. Riemann et H. Hankel, à l'étude des critères de convergence des séries de Fourier. Depuis longtemps déjà, l'infini mathématique avait cessé d'être une source d'inquiétudes métaphysiques : A. Cauchy, B. Bolzano et K. Weierstrass l'avaient pour ainsi dire réduit à l'état domestique. Le pas décisif avait été accompli i […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/infini-mathematiques/#i_24087
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques
Dans le chapitre « La théorie des idéaux » : […] Dedekind a remplacé la considération des « nombres idéaux », que Kummer n'avait jamais définis comme objets mathématiques, par celle d'objets véritables, qu'il a appelés les idéaux du corps K. L'idée est de considérer, au lieu d'un diviseur A et de la congruence f (θ) ≡ g (θ) (mod A) qu'il définit dans les entiers algébriques, l'ensemble a de ces entiers qui sont congrus à 0 modulo A, c'est-à- […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/#i_24087
RÉELS NOMBRES
Dans le chapitre « Cantor et les suites de Cauchy » : […] Une autre construction des réels est due à G. Cantor et C. Meray (1872). Cette construction part aussi de la constatation d'une propriété qui manque aux rationnels : une suite de Cauchy de nombres rationnels ne converge pas nécessairement vers un nombre rationnel. Ainsi les approximations décimales successives de 2 forment une suite de Cauchy dont la limite n'est pas rationnelle. Cantor et Meray […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/#i_24087
WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)
Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en algèbre et en théorie des nombres. Né le 5 mai 1842 à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/heinrich-martin-weber/#i_24087
ZÊTA FONCTION
Dans le chapitre « Fonction zêta et fonctions L d'un corps de nombres algébriques » : […] R. Dedekind généralisa la définition des fonctions zêta et L à un corps de nombres algébriques k , en prenant : où a parcourt l'ensemble des idéaux entiers de k , où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers, où N a est la norme de l'idéal a , c'est-à-dire le nombre d'éléments de o / a (où o est l'anneau des entiers de k ) et où χ est un caractère du groupe des idéaux ≠ 0 (pour χ = 1, on a l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonction-zeta/#i_24087
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