Géométrie

Articles

• AFFINE APPLICATION

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 230 mots

  Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (M _i , λ _i ), pour...

• AFFINES ESPACE & REPÈRE

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 546 mots

  Dans la conception intuitive de l'espace usuel, il n'y a pas d'origine privilégiée ; c'est une fois qu'une origine est choisie que cet espace devient un espace vectoriel. La structure d'espace affine formalise cette situation à partir de la notion de translation associée à un vecteur d'extrémités...

• AIRE MINIMALE SURFACES D'

  • Écrit par Cyril ISENBERG
  • 2 955 mots
  • 20 médias

  Au xix ^e siècle, le physicien belge Joseph Plateau découvrait que les membranes savonneuses formées dans des contours rigides en fil de fer représentaient une solution simple à certains problèmes mathématiques complexes qui exigent la détermination de surfaces d'aire minimale. Quelle est,...

• ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 7 504 mots

  L'analyse mathématique est le développement des notions et résultats fondamentaux du calcul infinitésimal. Ce dernier s'était déjà considérablement enrichi et diversifié entre les mains des mathématiciens du xviii ^e siècle, avant tout Euler et Lagrange. À partir de 1800, cette diversification...

• APERÇU HISTORIQUE SUR L'ORIGINE ET LE DÉVELOPPEMENT DES MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE (M. Chasles)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 166 mots

  L'apport de Michel Chasles (1793-1880) en géométrie est caractéristique du fécond débat entre les diverses conceptions défendues par les mathématiciens français du xix ^e siècle. Dans toutes ses recherches et son enseignement, Chasles a développé la géométrie projective et contribué...

• BARYCENTRE

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 170 mots

  Soit A un espace affine attaché à un espace vectoriel E (sur un corps commutatif K). On appelle « point M de A affecté de la masse λ » l'élément (M, λ) de l'ensemble A × K.

  Par définition, le barycentre de n points M₁, M₂, ..., M _n de A affectés des masses λ₁, λ₂, ...,...

• CONIQUES

  • Écrit par Universalis, André WARUSFEL
  • 4 462 mots
  • 14 médias

  L'étude des coniques a été pendant deux millénaires le terrain de prédilection des géomètres qui ont accumulé sur ce sujet d'innombrables théorèmes. Dès la fin du iii ^e siècle avant J.-C., les mathématiciens avaient obtenu par des méthodes purement géométriques des résultats très...

• CONVEXITÉ - Ensembles convexes

  • Écrit par Victor KLEE
  • 4 106 mots
  • 7 médias

  Un sous-ensemble C d'un espace vectoriel réel E est dit convexe si, pour tout couple de points quelconques de C, le segment qui a pour extrémités ces deux points est entièrement contenu dans C. Par exemple, un cube est convexe, mais sa surface ne l'est pas, car elle ne contient le segment d'extrémités...

• COURBES TRANSFORMATIONS DE

  • Écrit par Robert FERRÉOL
  • 4 947 mots
  • 34 médias

  Toute courbe peut être considérée comme une transformée de la plus simple d'entre elles, à savoir la droite, et les courbes sont donc toutes des transformées les unes des autres. Nous allons présenter dans cet article les plus classiques de ces transformations, en commençant par les plus simples....

• COURBES ALGÉBRIQUES

  • Écrit par Luc GAUTHIER
  • 3 745 mots
  • 8 médias

  En fondant la géométrie analytique, Descartes avait substitué au plan de la géométrie d'Euclide l'ensemble R ² des couples de nombres réels et, de ce fait, à la notion de courbe, celle d'équation. La construction d'un point, puis la détermination d'un lieu géométrique se trouvaient...

• DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

  • Écrit par Jean-Paul DELAHAYE
  • 2 960 mots
  • 10 médias

  Dans l'industrie de la confection, pour poser du papier peint dans une pièce aux formes compliquées, pour éviter trop de pertes en menuiserie, ainsi que dans bien d'autres activités artisanales se posent des problèmes de découpage et d'assemblage de figures. Certains de ces problèmes possèdent des...

• LES ÉLÉMENTS (Euclide)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 167 mots
  • 1 média

  Euclide d'Alexandrie (vers — 325-vers — 265) est peut-être le mathématicien le plus renommé de l'Antiquité ; pourtant, on ne sait presque rien de lui, sinon qu'il enseigna à Alexandrie et écrivit un traité, Les Éléments, qui rassemble en treize volumes tout le...

• ESPACE, mathématique

  • Écrit par Jean-Marc SCHLENKER
  • 1 469 mots

  La géométrie antique, telle qu'elle apparaît dans les Éléments d'Euclide, propose une vision formalisée de l'espace. Elle traite d'objets géométriques idéalisés – points, droites, polyèdres, sections coniques, etc. – selon leurs propriétés d'incidence et leurs...

• ESSAI POUR LES CONIQUES (B. Pascal)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 175 mots
  • 1 média

  Le premier écrit scientifique de Blaise Pascal (1623-1662) – Essai pour les coniques, composé avant qu'il ait atteint l'âge de dix-sept ans et publié à Paris en février 1640 – révèle aux savants de l'époque le génie précoce de son auteur. Adoptant la méthode proposée par Girard Desargues...

• FERMAT : DÉTERMINATION DES TANGENTES À UNE COURBE

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 156 mots

  Magistrat exerçant à Toulouse et à Castres, Pierre de Fermat (1601-1665) consacrait aux mathématiques ses moments de loisirs. En 1629, il invente une méthode de recherche des maximums et des minimums qui apparaît comme un travail précurseur du calcul différentiel. En 1638, l'application...

• FRACTALES

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 682 mots
  • 2 médias

  Certaines structures très irrégulières, souvent construites par itération, possèdent des symétries de dilatation caractéristiques : l'agrandissement d'une partie est semblable au tout. Le concept de fractalité unifie la description de nombreux objets mathématiques ou physiques...

• GÉOMÉTRIE

  • Écrit par François RUSSO
  • 9 355 mots
  • 4 médias

  La géométrie est communément définie comme la science des figures de l'espace. Cette définition un peu incertaine risque de conduire à inclure dans la géométrie des questions qui ne sont géométriques que dans leur langage, mais relèvent en fait d'autres domaines. Tel est le cas de l'...

• GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 10 791 mots
  • 7 médias

  Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l'algèbre relativement récente (cf. algèbre , dedekind ). Pour « comprendre » les phénomènes d'intersection des courbes et des surfaces, il s'est révélé nécessaire d'élaborer des techniques compliquées qui se sont développées...

• GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

  • Écrit par Paulette LIBERMANN
  • 6 157 mots
  • 12 médias

  L'histoire des courbes planes est intimement liée à l'histoire et aux développements du calcul infinitésimal, et les premiers résultats obtenus au xvii ^e siècle sont directement issus de considérations géométriques et cinématiques (cf. calcul infinitésimal – Histoire). Les courbes...

• GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 7 277 mots
  • 3 médias

  Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique...

• NOVA STEREOMETRIA DOLIORUM VINARIORUM (J. Kepler)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 619 mots
  • 1 média

  Depuis 1611, Johannes Kepler (1571-1630) était à Linz l’astronome et astrologue de l’empereur du Saint-Empire Matthias de Habsbourg et sa charge principale était l’édition de tables astronomiques fondées sur les observations de l’astronome danois Tycho Brahe (1546-1601), dont il avait...

• PERSPECTIVE

  • Écrit par Marisa DALAI EMILIANI
  • 7 108 mots
  • 22 médias

  Par sa situation au carrefour de la science, de la culture humaniste et de la pratique artistique, la perspective, comme tout autre thème interdisciplinaire, échappe à un traitement conceptuel univoque. Dans son acception technique, le terme moderne de perspective désigne un système particulier de...

• POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

  • Écrit par Jean Paul DUFOUR
  • 7 998 mots
  • 2 médias

  Faisant référence à la mécanique analytique et à ses anciens maîtres Joseph Louis Lagrange (1736-1813) et Pierre Simon de Laplace (1749-1827), Siméon Denis Poisson (1781-1840) écrit, dans l'introduction de son mémoire au Journal de l'École polytechnique de 1809 : « Il ne semblait...

• PROJECTIFS ESPACE & REPÈRE

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 644 mots

  Espace projectif. Étant donné un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, on considère dans E′ = E — {0} la relation G entre deux éléments x et y définie par :

  

  La relation G est une relation d'équivalence et l'ensemble quotient E′/ G est appelé...

• PROJECTIVES APPLICATIONS

  • Écrit par Jacques MEYER
  • 319 mots

  Soit E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K, P(E) et P(F) les espaces projectifs déduits de E et de F, f une application linéaire de E dans F et N = ker (f) le noyau de f. Comme l'image par f d'une droite de E non contenue dans N est une droite de F, la restriction...

• QUADRIQUES

  • Écrit par André WARUSFEL
  • 2 195 mots
  • 8 médias

  Les surfaces de l'espace matériel, que nous connaissons par leur emploi, en architecture par exemple, étaient autrefois classées en « corps ronds » et « corps droits ». La sphère et le cube sont des surfaces typiques de ces deux familles.

  Les corps ronds sont, essentiellement, la sphère...

• THÉORIE DES OBJETS FRACTALS (B. Mandelbrot)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 181 mots
  • 1 média

  Benoît Mandelbrot (1924-2010) rassemble dans l'essai Les Objets fractals : forme, hasard et dimension les résultats de ses travaux effectués au centre de recherche Thomas-Watson de la société I.B.M. à Yorktown Heights (États-Unis) sur les objets fractals. Comme il l'indique dans son introduction,...

• TORE PLAT

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 280 mots
  • 1 média

  Un tore plat est un parallélogramme dont les côtés opposés sont identifiés. Cet objet mathématique abstrait semblait impossible à visualiser dans notre espace. Une équipe de mathématiciens et d'informaticiens de Lyon et de Grenoble a réussi en 2012 à construire et à représenter une image d'un tore plat...

• VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

  • Écrit par Claude MORLET
  • 8 630 mots
  • 7 médias

  On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B.  Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement...

• WEIL (TROISIÈME CONJECTURE DE)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 304 mots

  Après sa thèse soutenue en 1968 à l'Université libre de Bruxelles, le mathématicien belge Pierre Deligne a effectué la première partie de sa carrière à l'Institut des hautes études scientifiques (I.H.E.S.) de Bures-sur-Yvette (Essonne) ; il y travaillait notamment sous la direction du mathématicien...

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