Géométrie
4357AFFINE APPLICATION
Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λi), pour 1 ≤ i ≤ k, où […] Lire la suite
AFFINES ESPACE & REPÈRE
Dans la conception intuitive de l'espace usuel, il n'y a pas d'origine privilégiée ; c'est une fois qu'une origine est choisie que cet espace devient un espace vectoriel. La structure d'espace affine formalise cette situation à partir de la notion de translation associée à un vecteur d'extrémités données, défini comme bipoint. Plus précisément, la structure affine se définit comme suit. […] Lire la suite
AIRE MINIMALE SURFACES D'
Au xixe siècle, le physicien belge Joseph Plateau découvrait que les membranes savonneuses formées dans des contours rigides en fil de fer représentaient une solution simple à certains problèmes mathématiques complexes qui exigent la détermination de surfaces d'aire minimale. Quelle est, par exemple, la forme de la surface d'aire minimale limitée par […] Lire la suite
ANALYSE MATHÉMATIQUE
Dans le chapitre « Géométrie différentielle » : […] Une des origines du calcul infinitésimal avait été l'étude des courbes planes (tangente, courbure, rectification, etc.), et un de ses succès au xviiie siècle fut l'étude analogue des courbes gauches et des surfaces. Mais les résultats obtenus étaient relatifs à la position de la courbe ou surface dans l'espace (autrement dit, faisaient intervenir des […] Lire la suite
APERÇU HISTORIQUE SUR L'ORIGINE ET LE DÉVELOPPEMENT DES MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE (M. Chasles)
L'apport de Michel Chasles (1793-1880) en géométrie est caractéristique du fécond débat entre les diverses conceptions défendues par les mathématiciens français du xixe siècle. Dans toutes ses recherches et son enseignement, Chasles a développé la géométrie projec […] Lire la suite
BARYCENTRE
Soit A un espace affine attaché à un espace vectoriel E (sur un corps commutatif K). On appelle « point M de A affecté de la masse λ » l'élément (M, λ) de l'ensemble A × K.Par définition, le barycentre de n points M1, M2, ..., Mn de A affectés des masses λ1, λ2, ..., λn de somme non nulle est le point G tel que :De cette définition découl […] Lire la suite
CONIQUES
L'étude des coniques a été pendant deux millénaires le terrain de prédilection des géomètres qui ont accumulé sur ce sujet d'innombrables théorèmes. Dès la fin du iiie siècle avant J.-C., les mathématiciens avaient obtenu par des méthodes purement géométriques des résultats très complets : le Traité des sections coniques d'Apolloni […] Lire la suite
CONVEXITÉ - Ensembles convexes
Un sous-ensemble C d'un espace vectoriel réel E est dit convexe si, pour tout couple de points quelconques de C, le segment qui a pour extrémités ces deux points est entièrement contenu dans C. Par exemple, un cube est convexe, mais sa surface ne l'est pas, car elle ne contient le segment d'extrémités x et y que si x e […] Lire la suite
COURBES ALGÉBRIQUES
En fondant la géométrie analytique, Descartes avait substitué au plan de la géométrie d'Euclide l'ensemble R2 des couples de nombres réels et, de ce fait, à la notion de courbe, celle d'équation. La construction d'un point, puis la détermination d'un lieu géométrique se trouvaient ainsi r […] Lire la suite
COURBES TRANSFORMATIONS DE
Toute courbe peut être considérée comme une transformée de la plus simple d'entre elles, à savoir la droite, et les courbes sont donc toutes des transformées les unes des autres. Nous allons présenter dans cet article les plus classiques de ces transformations, en commençant par les plus simples. Cela nous permettra de relier certaines courbes remarquables entre elles et d'en effectuer une classif […] Lire la suite
DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES
Dans l'industrie de la confection, pour poser du papier peint dans une pièce aux formes compliquées, pour éviter trop de pertes en menuiserie, ainsi que dans bien d'autres activités artisanales se posent des problèmes de découpage et d'assemblage de figures. Certains de ces problèmes possèdent des solutions inattendues, ce qui a attiré l'attention des mathématiciens et particulièrement des amateur […] Lire la suite
ESPACE, mathématique
La géométrie antique, telle qu'elle apparaît dans les Éléments d'Euclide, propose une vision formalisée de l'espace. Elle traite d'objets géométriques idéalisés – points, droites, polyèdres, sections coniques, etc. – selon leurs propriétés d'incidence et leurs mesures (longueurs, aires, volumes). […] Lire la suite
ESSAI POUR LES CONIQUES (B. Pascal)
Le premier écrit scientifique de Blaise Pascal (1623-1662) – Essai pour les coniques, composé avant qu'il ait atteint l'âge de dix-sept ans et publié à Paris en février 1640 – révèle aux savants de l'époque le génie précoce de son auteur. Adoptant la méthode proposée par Girard Desargues (1591-1661) de considérer les cercles, les el […] Lire la suite
FERMAT : DÉTERMINATION DES TANGENTES À UNE COURBE
Magistrat exerçant à Toulouse et à Castres, Pierre de Fermat (1601-1665) consacrait aux mathématiques ses moments de loisirs. En 1629, il invente une méthode de recherche des maximums et des minimums qui apparaît comme un travail précurseur du calcul différentiel. En 1638, l'application de cette méthode à la d […] Lire la suite
FRACTALES
Certaines structures très irrégulières, souvent construites par itération, possèdent des symétries de dilatation caractéristiques : l'agrandissement d'une partie est semblable au tout. Le concept de fractalité unifie la description de nombreux objets mathématiques ou physiques et quantifie leur degré d'irrégularité. Il a été introduit en 1975 par […] Lire la suite
GÉOMÉTRIE
La géométrie est communément définie comme la science des figures de l'espace. Cette définition un peu incertaine risque de conduire à inclure dans la géométrie des questions qui ne sont géométriques que dans leur langage, mais relèvent en fait d'autres domaines. Tel est le cas de l'algèbre géométrique des Grecs qui parlait du « rectangle » de deux segments […] Lire la suite
GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l'algèbre relativement récente (cf. algèbre, dedekind). Pour « comprendre » les phénomènes d'intersection des courbes et des surfaces, il s'est révélé nécessaire d'élaborer des techniques compliquées qui […] Lire la suite
GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE
L'histoire des courbes planes est intimement liée à l'histoire et aux développements du calcul infinitésimal, et les premiers résultats obtenus au xviie siècle sont directement issus de considérations géométriques et cinématiques (cf. calcul infinitésimal – Histoire). Les courbes dans l'espace à trois dimensions (dites à « doub […] Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie
Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les directions de la […] Lire la suite
LES ÉLÉMENTS (Euclide)
Euclide d'Alexandrie (vers — 325-vers — 265) est peut-être le mathématicien le plus renommé de l'Antiquité ; pourtant, on ne sait presque rien de lui, sinon qu'il enseigna à Alexandrie et écrivit un traité, Les Éléments, qui rassemble en treize volumes tout le savoir mathématique de l'époque. L'ouvrage commence avec des définitions e […] Lire la suite
NOVA STEREOMETRIA DOLIORUM VINARIORUM (J. Kepler)
Depuis 1611, Johannes Kepler (1571-1630) était à Linz l’astronome et astrologue de l’empereur du Saint-Empire Matthias de Habsbourg et sa charge principale était l’édition de tables astronomiques fondées sur les observations de l’astronome danois Tycho Brahe (1546-1601), dont il avait été l’assistant à Prag […] Lire la suite
PERSPECTIVE
Dans le chapitre « La perspective géométrique » : […] Étant admis que la projection perspective, en tant que « cas » de la projection centrale, constitue une des méthodes projectives que la géométrie descriptive utilise pour représenter sur un plan, avec une exactitude mathématique, la forme, les dimensions et la position des objets dans l'espace, il importe de bien voir que les éléments nécessaires et suffisants pour une projecti […] Lire la suite
POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE
Faisant référence à la mécanique analytique et à ses anciens maîtres Joseph Louis Lagrange (1736-1813) et Pierre Simon de Laplace (1749-1827), Siméon Denis Poisson (1781-1840) écrit, dans l'introduction de son mémoire au Journal de l'École polytechnique de 1809 : « Il ne s […] Lire la suite
PROJECTIFS ESPACE & REPÈRE
Espace projectif. Étant donné un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, on considère dans E′ = E — {0} la relation G entre deux éléments x et y définie par :La relation G est une relation d'équivalence et l'ensemble quotient E′/G est appelé espace projectif déduit de E et est noté P(E). L'ensemble E est appelé espace vectoriel sous […] Lire la suite
PROJECTIVES APPLICATIONS
Soit E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K, P(E) et P(F) les espaces projectifs déduits de E et de F, f une application linéaire de E dans F et N = ker (f) le noyau de f. Comme l'image par f d'une droite de E non contenue dans N est une droite de F, la restriction de f à E—N […] Lire la suite
QUADRIQUES
Les surfaces de l'espace matériel, que nous connaissons par leur emploi, en architecture par exemple, étaient autrefois classées en « corps ronds » et « corps droits ». La sphère et le cube sont des surfaces typiques de ces deux familles.Les corps ronds sont, essentiellement, la sphère déjà citée, le cylindre et le cône usuels. Étudiées i […] Lire la suite
THÉORIE DES OBJETS FRACTALS (B. Mandelbrot)
Benoît Mandelbrot (1924-2010) rassemble dans l'essai Les Objets fractals : forme, hasard et dimension les résultats de ses travaux effectués au centre de recherche Thomas-Watson de la société I.B.M. à Yorktown Heights (États-Unis) sur les objets fractals. Comme il l'indique dans son introduction, il étudie « des objets naturels […] Lire la suite
TORE PLAT
Un tore plat est un parallélogramme dont les côtés opposés sont identifiés. Cet objet mathématique abstrait semblait impossible à visualiser dans notre espace. Une équipe de mathématiciens et d'informaticiens de Lyon et de Grenoble a réussi en 2012 à construire et à représenter une image d'un tore plat dans l'espace à trois dimensions. Pour être plus précis, soulignons que cette visualisation conc […] Lire la suite
VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B. Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde ; elle fut longuement développée par les géomètres du xix […] Lire la suite
WEIL (TROISIÈME CONJECTURE DE)
Aprèssa thèse soutenue en 1968 à l'Université libre de Bruxelles, le mathématicien belge Pierre Deligne a effectué la première partie de sa carrière à l'Institut des hautes études scientifiques (I.H.E.S.) de Bures-sur-Yvette (Essonne) ; il y travaillait notamment sous la direction du mathématicien Alexandre Grothendieck. C'est là qu'en 1973 il prouve […] Lire la suite
Configurations d'autoroutes
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Configurations d'autoroutes.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Lames de savon entre deux feuilles et deux épingles
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Lames de savon entre deux feuilles et deux épingles.
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Solution du problème des quatre villes
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Solution du problème des quatre villes.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Réseau minimal entre quatre villes
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Configuration instable (a) et configuration stable (b).
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Réseau minimal entre six villes
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Les trois réseaux minimaux dans le cas d'une disposition hexagonale des villes.
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Surface d'aire minimale limitée par un quadrilatère gauche
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Surface d'aire minimale limitée par un quadrilatère gauche.
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Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien
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Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien : Deux polygones de même aire peuvent être transformés l'un en l'autre par dissection polygonale. Démonstration Pour transformer deux polygones de même aire l'un en l'autre par dissection polygonale, suivre les instructions...
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Découpage de polygones : exemple de record
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Voici, parmi des dizaines d'autres, un exemple d'amélioration inattendue d'un découpage de polygones. (a) Dans son livre de 1964, Harry Lindgren propose un très beau découpage du dodécagone en carré n'utilisant que 8 pièces (la procédure générale de la démonstration...
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Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral
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Voici, avec les indications d'angles et de longueurs, le passage du carré au triangle équilatéral.
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Quadrature des lunules par découpage
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Les Grecs savaient qu'on pouvait utiliser des découpages astucieux pour évaluer l'aire de morceaux du plan, y compris lorsque certains bords sont curvilignes. Voici quelques-unes de ces formes, appelées lunules, dont le découpage permet de calculer l'aire en la ramenant...
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Transformation d'un disque en deux ovales troués
dessin
Découper aux ciseaux un disque pour obtenir un carré n'est pas possible. Ni même le découper en une autre figure convexe. Cependant, certaines dissections de figures à bords curvilignes ont été découvertes. Découpage d'un cercle en deux ovales troués (a) Solution...
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Transformation d'un polyèdre en son symétrique
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Tout polyèdre peut être transformé par dissection polyédrique en son symétrique. Par découpage des polyèdres en tétraèdres, on voit qu'il suffit de prouver que deux tétraèdres symétriques l'un de l'autre peuvent être transformés l'un en l'autre par dissection. La méthode...
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Cube découpé en deux octaèdres tronqués
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David Paterson et Anton Hanegraaf ont chacun, indépendamment, remarqué qu'on pouvait découper un cube en six pièces pour obtenir deux octaèdres tronqués.
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Cube, dodécaèdre rhombique et octaèdre tronqué
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Le cube, le dodécaèdre rhombique et l'octaèdre tronqué sont équivalents par dissection polyédrique. Deux dissections en treize pièces découvertes par Anton Hanegraaf. La première fait passer du dodécaèdre rhombique au cube, la seconde de l'octaèdre tronqué au cube....
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Dissections avec charnières
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Quelques exemples de dissections avec charnières. (a) La classique transformation d'un carré en triangle équilatéral, due à Dudeney. (b) La transformation de deux cubes côte à côte en un seul (utilisée dans la démonstration du théorème de Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein)...
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Découpages avec charnières
dessin
(a) Deux découpages avec charnières permettant de transformer des rectangles de tailles différentes (quatre pièces). (b) Le remarquable découpage articulé en sept pièces de Hanegraaf transformant un double cube en un seul et utilisant les méthodes d'articulation de...
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Spirale de Fermat
dessin
Une spirale de Fermat et son image miroir, obtenue par réflexion.
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Hélice circulaire
dessin
Une hélice circulaire et son image miroir.
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Nœud de trèfle
dessin
Un nœud de trèfle et son image miroir.
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Spirale logarithmique
dessin
Spirale logarithmique, d'équation polaire ?.=.ek? : toute rotation de cette courbe autour du point asymptote revient à une homothétie (ek(?+a).=.eka.ek?).
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Tétracuspides
dessin
Astroïde et autres tétracuspides. L'astroïde a quatre axes de symétrie orthogonale (a) ; la développée de l'ellipse n'en a plus que deux (b) ; la tétracuspide générale ne présente plus de symétries orthogonales (c).
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Courbe exponentielle
dessin
Courbe exponentielle, d'équation .y.=.ex : toute translation dans la direction de la flèche équivaut à une dilatation d'axe l'asymptote (ex.+.l.=.el.ex).
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Homologies : classification affine
dessin
Classification affine des homologies, selon les positions du centre et de l'axe.
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Homologies
dessin
Les homologies sont les composées d'une perspective et d'un rabattement.
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Asymptote et direction asymptotique
graphique
Image par une perspective d'une courbe ayant une asymptote ou une direction asymptotique.
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Perspectives d'un cercle
dessin
Images d'un cercle par diverses perspectives.
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Cubiques propres réelles
dessin
Classification projective des cubiques propres réelles.
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Cubique d'Agnesi
dessin
Une cubique d'Agnesi ramenée par perspective en une parabole divergente.
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Courbes de Joukovski
dessin
Courbes de Joukovski, images de cercles concentriques par la transformation de Joukovski.
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Développée d'une courbe
dessin
Tracé d'une développée. Les points singuliers de la développée correspondent aux sommets de la courbe, c'est-à-dire aux extremums du rayon de courbure, notion généralisant celle de point situé sur un axe de symétrie avec tangente perpendiculaire à cet axe. Sur cette figure,...
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Courbe de largeur constante
dessin
Courbe de largeur constante, parallèle à elle-même, développante d'une deltoïde.
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Polaire d'une courbe
dessin
Construction de la polaire d'une courbe par rapport à un cercle.
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Polaire d'une conique propre
dessin
Polaire d'une conique propre, selon la position du pôle. La polaire est une ellipse si le pôle est dans la zone contenant le(s) foyer(s) [a], une parabole si le pôle est sur la conique [b], une hyperbole si le pôle est à l'extérieur de la zone contenant le(s) foyer(s).
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Podaire et orthotomique d'une courbe
dessin
Construction de la podaire et de l'orthotomique d'une courbe par rapport à un point.
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Relations entre polaire, podaire et inverse
dessin
Diagramme triangulaire des relations entre polaire, podaire et antipodaire, et inverse.
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Construction de la caustique par réflexion, avec des rayons issus d'une source à distance finie
dessin
Construction du point caractéristique M du rayon réfléchi : le centre de courbure I en M0 est projeté en J sur le rayon incident, puis en K sur la normale en M0 : S, K et M sont alignés.
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Relations entre podaire et antipodaire, développante et développée, et caustique et caustique inverse
dessin
Diagramme triangulaire des relations entre podaire et antipodaire, développante et développée, et caustique et caustique inverse.
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Construction de la caustique par réflexion, avec des rayons parallèles
dessin
Construction du point caractéristique M du rayon réfléchi : le point caractéristique du rayon réfléchi en M0 se détermine comme projeté sur ce rayon du milieu du segment joignant M0 au centre de courbure de (G0) en M0.
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Anticaustiques d'une courbe
dessin
Construction des anticaustiques positives et négatives d'une courbe.
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Ovale de Descartes
dessin
Un ovale de Descartes obtenu comme anticaustique de cercle.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Constructions de cissoïdales
dessin
Constructions de cissoïdales. En a, une cissoïdale partielle des courbes (G1) et (G2) relativement au point O. En b, cette cissoïdale vue comme médiane des courbes (G'1) et (G'2) relativement au point O.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Lemniscate de Bernouilli
dessin
La lemniscate de Bernoulli comme cissoïdale de deux cercles confondus (de centre C) relativement à un point O tel que OC soit égal à fois le rayon du cercle.
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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire
dessin
Le feuilletage symplectique de la structure de Poisson linéaire correspondant à l'algèbre de Lie sl(2).
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire
dessin
Le feuilletage symplectique pour une structure de Poisson non linéairisable obtenue en perturbant la structure linéaire correspondant à l'algèbre de Lie sl(2).
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Surface d'aire minimale limitée par un tétraèdre
photographie
Surface d'aire minimale limitée par un tétraèdre.
Crédits : D.R.
Surface d'aire minimale limitée par un cube
photographie
Surface d'aire minimale limitée par un cube.
Crédits : D.R.
Trois des surfaces minimales limitées par un octaèdre
photographie
Trois des surfaces minimales limitées par un octaèdre.
Crédits : D.R.
Surface d'aire minimale limitée par un dodécaèdre
photographie
Surface d'aire minimale limitée par un dodécaèdre.
Crédits : D.R.
Surface d'aire minimale limitée par un icosaèdre
photographie
Surface d'aire minimale limitée par un icosaèdre.
Crédits : D.R.
Surface d'aire minimale limitée par un prisme triangulaire
photographie
Surface d'aire minimale limitée par un prisme triangulaire.
Crédits : D.R.
Surface d'aire minimale limitée par une hélice et son axe central
photographie
Surface d'aire minimale limitée par une hélice et son axe central.
Crédits : D.R.
Bulle piégée dans une cage tétraédrique
photographie
Bulle piégée dans une cage tétraédrique.
Crédits : D.R.
Bulle piégée dans une cage octaédrique
photographie
Bulle piégée dans une cage octaédrique.
Crédits : D.R.
Bulle piégée dans une cage dodécaédrique
photographie
Bulle piégée dans une cage dodécaédrique.
Crédits : D.R.
Bulle piégée dans une cage ayant la forme d'un prisme triangulaire
photographie
Bulle piégée dans une cage ayant la forme d'un prisme triangulaire.
Crédits : D.R.
Objet fractal
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Un des plus beaux exemples naturels de géométrie fractale, qui a fait connaître le mathématicien Benoît Mandelbrot, nous est sans doute donné par le chou romanesco, où le motif structural se voit à chaque échelle de la continuité de sa croissance (autosimilarité).
Crédits : Y. Gautier
Image d'un tore plat en 3D
photographie
Image montrant un plongement isométrique du tore carré plat dans l'espace ambiant : vues externe (à gauche) et interne (à droite). On y distingue différentes vagues d'ondulations, appelées corrugations. Leur accumulation crée un objet ressemblant à une fractale et ayant un aspect rugueux.
Crédits : Borelli, Jabrane, Lazarus, Thibert
Nova stereometria doliorum vinarorum (J. Kepler)
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Dans son ouvrage écrit en 1615, Kepler additionne les volumes de couches élémentaires, en décomposant en tranches des formes qui possèdent un axe de symétrie, pour calculer leur volume total. Beaucoup considère ce travail de Kepler comme un des jalons qui précèdent la création...
Crédits : Courtesy of Posner Library, Carnegie Mellon University, Pittsburgh
Transformations globales du plan
tableau
Expressions des diverses transformations globales du plan dans lui-même.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Développées de courbes
tableau
Exemples de développées de courbes.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Courbes parallèles
tableau
Exemples de courbes parallèles.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Podaires de courbes
tableau
Exemples de podaires de courbes.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Caustiques par réflexion avec source à distance finie
tableau
Exemples de caustiques par réflexion de courbes, avec des rayons issus d'une source à distance finie.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Caustiques par réflexion avec rayons parallèles
tableau
Exemples de caustiques par réflexion de courbes, avec des rayons parallèles.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Conchoïdes de courbes
tableau
Exemples de conchoïdes de courbes.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Quadrature de la parabole
dessin
Quadrature de la parabole
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Définition bifocale de l'ellipse
dessin
Définition bifocale de l'ellipse
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Tangentes issues d'un point
dessin
Tangentes issues d'un point.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Diamètres conjugués d'une ellipse
dessin
Diamètres conjugués d'une ellipse
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Flocon de neige
dessin
L'île (ou le flocon de neige) de Helge von Koch s'obtient à partir d'un triangle équilatéral en itérant l'addition d'un triangle semblable de côté trois fois plus petit. On obtient ainsi d'abord une étoile de David, puis une structure de plus en plus découpée. La dimension...
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Isomorphisme
graphique
Isomorphisme d'une droite et d'une parabole
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Plan affine dans le plan projectif
graphique
Plongement x
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Isomorphisme avec une hyperbole
graphique
Isomorphisme de k-
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Normalisation d'une strophoïde
graphique
Normalisation d'une strophoïde
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Changement de paramètre pour une surface
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Changement de paramètre pour une surface S
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Surfaces pseudosphériques de révolution
dessin
Surfaces pseudosphériques de révolution
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Surfaces associées à des lignes de courbure
dessin
Surfaces des centres S
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Simplicité du groupe O+
dessin
Simplicité du groupe
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Référence de la projection
dessin
Système de référence de la projection perspective
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Réduction d'un parallélépipède
dessin
Réduction perspective d'un parallélépipède suivant la méthode bifocale
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Procédé de réduction
dessin
Procédé de réduction perspective avec point de distance
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Perception visuelle d'un point
dessin
Représentation schématique de la perception visuelle d'un point ; identité de l'image rétinienne du point et de sa projection sur un plan perspectif (d'après G. Ten Doesschate, « Perspective, Fundamentals, Controversials, History », Nieuwkoop, 1964)
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Image rétinienne
dessin
Ambiguïté de l'image rétinienne monoculaire et stationnaire (d'après J.E. Hochberg, « Perception », Englewood Cliffs, New Jersey, 1964)
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Aberrations latérales
dessin
Aberrations latérales (
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Variantes de la structure à axe de fuite
dessin
Deux variantes du « schéma à axe de fuite » dans la peinture antique et la peinture du Moyen Age (d'après G. Ten Doesschate, « Perspective, Fundamentals, Controversials, History », Nieuwkoop, 1964)
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Perspective curviligne des Anciens
dessin
La perspective curviligne ou angulaire des Anciens (d'après Erwin Panofsky)
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Méthode bifocale d'Uccello et Pèlerin
dessin
La perspective bifocale de Paolo Uccello et Jean Pélerin (d'après R. Klein, « Pomponius Gauricus on Perspective » in « Art Bulletin », XLIII, 1961).
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Quadrilatère de Pomponius Gauricus
graphique
Le quadrilatère vu en raccourci de Pomponius Gauricus (d'après D. Gioseffi, « Perspectiva artificialis », Trieste, 1957)
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Alberti : construction, 1
dessin
La « Costruzione legitima », ou construction selon les lois de L.B. Alberti d'après C. Grayson (S. Edgerton Jr., « Alberti's Perspective : a New Discovery and a New Evaluation » in « Art Bulletin », XLVIII, 1966)
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Alberti : construction, 2
dessin
La « Costruzione legitima », ou construction selon les lois de L.B. Alberti, d'après A. Parronchi (S. Edgerton Jr., « Alberti's Perspective : a New Discovery and a New Evaluation », in « Art Bulletin », XLVIII, 1966).
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Sphères, cylindres et cônes
dessin
Les « corps ronds » : sphère, cylindre et cône.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Cylindres parabolique et hyperbolique
dessin
Cylindres parabolique et hyperbolique.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Hyperboloïde à deux nappes
dessin
Hyperboloïde à deux nappes.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Pavages de Penrose
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Les pavages de Penrose sont construits avec deux losanges élémentaires décorés par des flèches sur deux arêtes et un sommet distingué par un disque. La règle d'assemblage impose que les décorations de deux losanges adjacents se superposent exactement. Il est ainsi possible...
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Coordonnées
vidéo
Coordonnées cartésiennes, polaires sphériques et polaires cylindriques. Les coordonnées d'un point constituent l'ensemble des paramètres utilisés pour déterminer la position de ce point par rapport à des éléments fixes. Il existe différents types de systèmes...
Crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.
Coniques
vidéo
Intersections d'un plan et d'un cône : ellipse, cercle, parabole, hyperbole. Les coniques sont des courbes planes obtenues par intersection d'un cône et d'un plan. La forme de la conique dépend de l'inclinaison du plan secteur et du cône. Lorsque...
Crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.
Cube à faces pincées
Crédits : Encyclopædia Universalis France
dessin
Configurations d'autoroutes
Crédits : Encyclopædia Universalis France
dessin
Lames de savon entre deux feuilles et deux épingles
Crédits : Encyclopædia Universalis France
dessin
Solution du problème des quatre villes
Crédits : Encyclopædia Universalis France
dessin
Réseau minimal entre quatre villes
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Réseau minimal entre six villes
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Caténoïde
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dessin
Surface d'aire minimale limitée par un quadrilatère gauche
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Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien
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Découpage de polygones : exemple de record
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Transformation par dissection d'un carré en un triangle équilatéral
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Quadrature des lunules par découpage
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Transformation d'un disque en deux ovales troués
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Transformation d'un polyèdre en son symétrique
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Cube découpé en deux octaèdres tronqués
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Cube, dodécaèdre rhombique et octaèdre tronqué
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Dissections avec charnières
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Découpages avec charnières
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Spirale de Fermat
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Hélice circulaire
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Nœud de trèfle
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Spirale logarithmique
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Tétracuspides
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Courbe exponentielle
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Homologies : classification affine
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Homologies
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Asymptote et direction asymptotique
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graphique
Perspectives d'un cercle
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Cubiques propres réelles
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Cubique d'Agnesi
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Courbes inverses
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Courbes de Joukovski
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Développée d'une courbe
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Courbe de largeur constante
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Polaire d'une courbe
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Polaire d'une conique propre
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Podaire et orthotomique d'une courbe
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Relations entre polaire, podaire et inverse
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Construction de la caustique par réflexion, avec des rayons issus d'une source à distance finie
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Relations entre podaire et antipodaire, développante et développée, et caustique et caustique inverse
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Construction de la caustique par réflexion, avec des rayons parallèles
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Anticaustiques d'une courbe
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Ovale de Descartes
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Constructions de cissoïdales
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Lemniscate de Bernouilli
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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson linéaire
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Feuilletage symplectique d'une structure de Poisson non linéaire
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Surface d'aire minimale limitée par un tétraèdre
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Surface d'aire minimale limitée par un cube
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Trois des surfaces minimales limitées par un octaèdre
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Surface d'aire minimale limitée par un dodécaèdre
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Surface d'aire minimale limitée par un icosaèdre
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Surface d'aire minimale limitée par un prisme triangulaire
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Surface d'aire minimale limitée par une hélice et son axe central
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Bulle piégée dans une cage tétraédrique
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Bulle piégée dans une cage cubique
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Bulle piégée dans une cage octaédrique
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Bulle piégée dans une cage dodécaédrique
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Bulle piégée dans une cage ayant la forme d'un prisme triangulaire
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Objet fractal
Crédits : Y. Gautier
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Image d'un tore plat en 3D
Crédits : Borelli, Jabrane, Lazarus, Thibert
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Nova stereometria doliorum vinarorum (J. Kepler)
Crédits : Courtesy of Posner Library, Carnegie Mellon University, Pittsburgh
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Transformations globales du plan
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tableau
Développées de courbes
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Courbes parallèles
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tableau
Podaires de courbes
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Caustiques par réflexion avec source à distance finie
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tableau
Caustiques par réflexion avec rayons parallèles
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Conchoïdes de courbes
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Parabole
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graphique
Diamètres de la parabole
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Quadrature de la parabole
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Définition bifocale de l'ellipse
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Ellipse
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Tangente à l'ellipse
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Tangentes issues d'un point
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Centre de courbure
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Polaire
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Diamètres conjugués d'une ellipse
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Bande de papier
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Hyperboles conjuguées
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Hyperbole équilatère
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Hyperplan
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Ensembles convexe et non convexe
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Empilements
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Graphe d'intersection
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Polyèdre de dimension 2
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Polytope de dimension 3
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Strophoïde
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graphique
Cissoïde
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graphique
Hypocycloïde
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Trifolium
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Quartique (1)
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graphique
Quartique (2)
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graphique
Théorème de Lamé
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Flocon de neige
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Isomorphisme
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graphique
Cissoïde
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Paraboloïde
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Plan affine dans le plan projectif
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graphique
Isomorphisme avec une hyperbole
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Cône
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Normalisation d'une strophoïde
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graphique
Trèfle à quatre feuilles
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Cycloïde
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graphique
Changement de paramètre pour une surface
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Surfaces pseudosphériques de révolution
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Surfaces associées à des lignes de courbure
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Dilatation
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Transvection
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Simplicité du groupe O+
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Référence de la projection
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Réduction d'un parallélépipède
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Procédé de réduction
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Perception visuelle d'un point
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Image rétinienne
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Aberrations latérales
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Variantes de la structure à axe de fuite
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Perspective curviligne des Anciens
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Méthode bifocale d'Uccello et Pèlerin
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Quadrilatère de Pomponius Gauricus
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graphique
Alberti : construction, 1
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Alberti : construction, 2
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Sphères, cylindres et cônes
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Cônes réels
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Cylindres parabolique et hyperbolique
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Ellipsoïde
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Hyperboloïde à une nappe
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Hyperboloïde à deux nappes
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Paraboloïde elliptique
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Paraboloïde hyperbolique
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Pavages de Penrose
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Coordonnées
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Coniques
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