DISTRIBUTIONS, mathématiques

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Il est arrivé à plusieurs reprises que certaines exigences de la physique, par exemple, aient conduit les utilisateurs des mathématiques à des « calculs » non rigoureusement justifiables au moyen des concepts mathématiques existants, mais qui traduisaient avec succès la réalité expérimentale. C'est ainsi que l'ingénieur Heaviside introduisit dans l'étude des réseaux électriques (en 1894) les règles de son calcul symbolique, qui ne fut justifié mathématiquement que postérieurement. L'étude des équations aux dérivées partielles conduisait aussi naturellement à des extensions des matériaux mathématiques traditionnels ; ainsi, il est normal de considérer que les deux équations :

sont équivalentes, et pourtant la première est satisfaite par toute fonction u(x) de x seul, alors que l'expression ∂2u/∂y ∂x n'a de sens que si u(x) est dérivable en x. Des considérations de ce type, ainsi que l'étude du problème de Dirichlet (trouver une fonction harmonique dans un ouvert de Rn connaissant ses valeurs sur la frontière) avec les méthodes de l'espace de Hilbert, ont conduit les mathématiciens à généraliser les solutions acceptables d'une telle équation en introduisant la notion de solution faible. Le mathématicien soviétique Sobolev a construit, en 1934, des classes de fonctions généralisées qui justifiaient de manière rigoureuse ce genre de considération.

La théorie des transformations de Fourier et de Laplace exigeait aussi des généralisations des fonctions. En 1926, Dirac introduisait en physique mathématique sa célèbre « fonction » δ0, nulle en dehors de l'origine et d'intégrale égale à 1, qui représentait une impulsion unité à l'instant t = 0, donc d'effet nul pour ≠ 0. Puisque δ0 n'est pas une fonction au sens usuel (car une fonction nulle pour ≠ 0 est d'intégrale nulle), sa justification mathématique correcte conduisait à une extension de la notion de fonction ; remarquons que, dans ce cas précis, la théorie de la mesure permettait déjà de considérer δ0 comme une mesure de masse 1 concentrée à l'origine, c'est-à-dire comme [...]

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Pour citer l’article

Paul KRÉE, « DISTRIBUTIONS, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/distributions-mathematiques/