DISTRIBUTIONS, mathématiques

Il est arrivé à plusieurs reprises que certaines exigences de la physique, par exemple, aient conduit les utilisateurs des mathématiques à des « calculs » non rigoureusement justifiables au moyen des concepts mathématiques existants, mais qui traduisaient avec succès la réalité expérimentale. C'est ainsi que l'ingénieur Heaviside introduisit dans l'étude des réseaux électriques (en 1894) les règles de son calcul symbolique, qui ne fut justifié mathématiquement que postérieurement. L'étude des équations aux dérivées partielles conduisait aussi naturellement à des extensions des matériaux mathématiques traditionnels ; ainsi, il est normal de considérer que les deux équations :

La théorie des transformations de Fourier et de Laplace exigeait aussi des généralisations des fonctions. En 1926, Dirac introduisait en physique mathématique sa célèbre « fonction » δ₀, nulle en dehors de l'origine et d'intégrale égale à 1, qui représentait une impulsion unité à l'instant t = 0, donc d'effet nul pour t ≠ 0. Puisque δ₀ n'est pas une fonction au sens usuel (car une fonction nulle pour t ≠ 0 est d'intégrale nulle), sa justification mathématique correcte conduisait à une extension de la notion de fonction ; remarquons que, dans ce cas précis, la théorie de la mesure permettait déjà de considérer δ₀ comme une mesure de masse 1 concentrée à l'origine, c'est-à-dire comme un être mathématique bien défini.

Cette extension a été présentée sous sa forme actuelle par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915-2002), dans le cadre des espaces vectoriels topologiques ; parmi ses nombreuses applications, citons : les équations aux dérivées partielles linéaires, la représentation des groupes de Lie, les processus stochastiques, les variétés différentiables, la physique mathématique, la physique expérimentale (« déconvolution » et identification de systèmes).

La construction des distributions due à L. Schwartz admet de nombreuses variantes conduisant à des classes de fonctions généralisées ayant chacune un domaine privilégié d'applications : fonctions généralisées de divers types introduites par les mathématiciens soviétiques Gelfand et Šilov dans l'étude des équations aux dérivées partielles ; hyperfonctions de Sato-Martineau, très utiles dans l'étude des fonctions de plusieurs variables complexes et les problèmes aux limites ; fonctions généralisées de Beurling-Björk ; etc.

L'exposé qui suit suppose seulement connue la notion d'espace vectoriel (cf. algèbre ou algèbre linéaire) et la notion de suite convergente de nombres complexes.

Espaces avec notion de suite convergente

Les conditions de continuité qui interviennent dans la définition des distributions peuvent s'exprimer élémentairement en utilisant seulement la notion de suite convergente, sans qu'il soit nécessaire de préciser complètement la topologie des espaces considérés. On se propose ici de montrer comment on peut définir a priori et de manière purement formelle une telle notion sur un espace vectoriel. Les espaces vectoriels sont sur le corps [...]