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LINÉAIRE ALGÈBRE

Modules

Soit A un anneau unitaire. On appelle A- module à gauche un ensemble E muni de deux lois de composition satisfaisant aux mêmes axiomes que les espaces vectoriels. On définit de même les A-modules à droite : cette fois

Par exemple, l'application (n, x) ↦ nx définit sur tout groupe abélien une structure de Z-module.

Les résultats des chapitres 1 et 2 s'étendent sans changement dans ce cadre plus général, à ceci près que, lorsque l'anneau A n'est pas commutatif, les homothéties ne sont pas des endomorphismes, si bien qu'il n'est plus possible de munir le groupe additif L(E, F) d'une structure de A-module et l'anneau L(E) d'une structure de A-algèbre. Enfin, le dual d'un A-module à gauche doit être considéré comme un A-module à droite.

Existence de bases

Une différence essentielle avec les espaces vectoriels est la suivante : il peut arriver qu'une partie réduite à un élément non nul ne soit pas libre. C'est le cas pour les éléments de Z/nZ, considéré comme Z-module.

De plus, alors que, dans tout espace vectoriel, il existe des bases (cf. théorème 8), il n'en est pas de même dans tout module, même lorsqu'il existe une partie génératrice réduite à un seul élément ; c'est le cas pour Z/nZ. Un module admettant une base est dit libre.

Existence de supplémentaires

De même, le théorème 9 ne se généralise pas à tous les modules. Ainsi, le sous-module du Z-module Z engendré par 2 n'admet pas de sous-module supplémentaire. Un sous-module admettant un supplémentaire est appelé facteur direct.

On dit qu'un A-module E est semi-simple si tout sous-module de E est un facteur direct. La théorie des modules semi-simples est utile pour la réduction des endomorphismes : Soit en effet U un endomorphisme d'un espace vectoriel E, et A le sous-anneau de L(E) engendré par U. L'application (V, x) ↦ V(x) fait de E un A-module. Les sous-modules de E ne sont autres que les sous-espaces vectoriels de E stables par U. Pour que le module E soit semi-simple, il faut et il suffit que tout sous-espace vectoriel stable par U admette un supplémentaire stable. On dit alors que U est semi-simple.

Plus généralement, la théorie des modules semi-simples est utile pour la représentation linéaire des groupes (cf. groupes - Groupes de Lie), où elle intervient sous le nom de complète réductibilité.

Modules de type fini

On dit qu'un A-module E est de type fini s'il existe une partie génératrice finie de E. (Ici, la terminologie « de dimension finie » serait désastreuse, puisqu'un module de type fini peut très bien ne pas avoir de base.) Même lorsque E est un A-module libre de type fini, il peut arriver qu'il existe deux bases finies de E n'ayant pas le même nombre d'éléments. Cependant, ce phénomène ne se produit pas lorsque l'anneau A est commutatif.

On peut envisager deux généralisations « raisonnables » du théorème 11 concernant les sous-espaces vectoriels des espaces vectoriels de dimension finie :

1. Un sous-module d'un A-module de type fini n'est pas, en général, de type fini ; c'est cependant le cas lorsque l'anneau A est noethérien. L'importance de ce cas apparaît dans la théorie des polynômes et en géométrie algébrique.

2. Un sous-module d'un A-module libre n'est pas nécessairement libre ; c'est cependant le cas lorsque l'anneau A est principal. Les résultats sont riches en applications pour la théorie des groupes abéliens et la réduction des endomorphismes, à propos des diviseurs élémentaires (cf. théorie spectrale).

Applications multilinéaires et déterminants

Les résultats des chapitres 6 et 7 s'étendent sans changement au cas des A-modules libres de type fini sur un anneau commutatif, sauf les critères d'indépendance linéaire et d'inversibilité. En particulier, pour[...]

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Écrit par

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Classification

Pour citer cet article

Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT. LINÉAIRE ALGÈBRE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • AFFINE APPLICATION

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 261 mots

    Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λi), pour 1 ≤ ...

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots
    L'étude des équations et systèmes d'équations du premier degré était reléguée au début du xixe siècle dans l'enseignement élémentaire et négligée des mathématiciens, lorsqu'une axiomatisation convenable montra la puissance des notions nouvelles ainsi mises en évidence. Sous sa forme...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    Les progrès de l'algèbre linéaire ont permis enfin de définir la différentielle sans aucun recours aux coordonnées sous une forme qui s'applique également aux fonctions définies sur des espaces de dimension infinie (cf. chap. 2).

  • CAYLEY ARTHUR (1821-1895)

    • Écrit par Lubos NOVY
    • 1 407 mots
    ...la notion de tableau rectangulaire représentant les coefficients d'un système d'équations linéaires ou les coefficients d'une transformation linéaire ; on peut donc soutenir que Cayley avait élaboré la théorie des matrices quelques années avant la publication de son célèbre et si exemplairement clair...
  • Afficher les 8 références

Voir aussi

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