LINÉAIRE ALGÈBRE

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Modules

Soit A un anneau unitaire. On appelle A-module à gauche un ensemble E muni de deux lois de composition satisfaisant aux mêmes axiomes que les espaces vectoriels. On définit de même les A-modules à droite : cette fois

Par exemple, l'application (nx) ↦ nx définit sur tout groupe abélien une structure de Z-module.

Les résultats des chapitres 1 et 2 s'étendent sans changement dans ce cadre plus général, à ceci près que, lorsque l'anneau A n'est pas commutatif, les homothéties ne sont pas des endomorphismes, si bien qu'il n'est plus possible de munir le groupe additif L(E, F) d'une structure de A-module et l'anneau L(E) d'une structure de A-algèbre. Enfin, le dual d'un A-module à gauche doit être considéré comme un A-module à droite.

Existence de bases

Une différence essentielle avec les espaces vectoriels est la suivante : il peut arriver qu'une partie réduite à un élément non nul ne soit pas libre. C'est le cas pour les éléments de Z/nZ, considéré comme Z-module.

De plus, alors que, dans tout espace vectoriel, il existe des bases (cf. théorème 8), il n'en est pas de même dans tout module, même lorsqu'il existe une partie génératrice réduite à un seul élément ; c'est le cas pour Z/nZ. Un module admettant une base est dit libre.

Existence de supplémentaires

De même, le théorème 9 ne se généralise pas à tous les modules. Ainsi, le sous-module du Z-module Z engendré par 2 n'admet pas de sous-module supplémentaire. Un sous-module admettant un supplémentaire est appelé facteur direct.

On dit qu'un A-module E est semi-simple si tout sous-module de E est un facteur direct. La théorie des modules semi-simples est utile pour la réduction des endomorphismes : Soit en effet U un endomorphisme d'un espace vectoriel E, et A le sous-anneau de L(E) engendré par U. L'application (V, x) ↦ V(x) fait de E un A-module. Les sous-modules de E ne sont autres que les sous-espaces vectoriels de E stables par U. Pour que le module E soit semi-simple, il faut et il suffit que tout sous-espace vectoriel stable par U admette un supplémentaire stable. On dit alors que U est semi-simple.

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  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT, « LINÉAIRE ALGÈBRE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/lineaire-algebre/