LINÉAIRE ALGÈBRE

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Déterminants

Déterminant de n vecteurs

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K, et B = (e1, e2, ..., en) une base de E. La base de An(E) canoniquement associée à B est réduite à la forme n-linéaire alternée e*∧ e*∧ ... ∧ e*n ; celle-ci est la seule forme n-linéaire alternée sur E prenant la valeur 1 sur (e1, e2, ..., en). On l'appelle déterminant dans la base B, et on la note detB. Pour tout élément f de An(E) et pour toute suite (x1, x2, ..., xn) de vecteurs de E :

Les propriétés des formes n-linéaires alternées s'appliquent à detB. De plus, le critère d'indépendance linéaire de n vecteurs s'énonce ici : pour que (x1, x2, ..., xn) soit libre, il faut et il suffit que detB(x1, x2, ..., xn) ≠ 0.

Déterminant d'un endomorphisme

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K. Puisque An(E) est de dimension 1, tout endomorphisme de An(E) est une homothétie. En particulier, pour tout endomorphisme U de E, l'extension Un de U à l'espace vectoriel An(E) est une homothétie ; le rapport de cette homothétie s'appelle déterminant de l'endomorphisme U, et se note det U. Ainsi, par définition de det U, pour tout élément f de An(E) :

Des propriétés des extensions des applications linéaires on déduit les résultats suivants :

– Pour tout couple (U, V) d'endomorphismes de E :

– Le déterminant de l'application identique de E est égal à 1 ; plus généralement, le déterminant de l'homothétie de rapport α est égal à αn.

– Pour qu'un endomorphisme U de E soit inversible, il faut et il suffit que son déterminant soit non nul ; dans ces conditions :

– Le déterminant du transposé tU d'un endomorphisme U de E est égal à celui de U :

L'application U ↦ det U est donc un morphisme du groupe linéaire GL(E) dans le groupe multiplicatif K*. Le noyau de ce morphisme est un sous-groupe distingué de GL(E), appelé groupe spécial linéaire de E, et noté SL(E).

Déterminant d'une matrice carrée

On appelle déterminant d'un élément M de Mn(K), et on note det M le déterminant de l'endomorphisme de Kn canoniquement associé à M. Les propriétés du déterminant d'un endomorphisme se transcrivent aussitôt pour les matrices. De plus, le déterminant de M n'est autre que le déterminant de ses vecteurs colonnes, ou de ses vecteurs lignes, dans la base canonique de Kn. Enfin, les matrices de déterminant 1 constituent un sous-groupe distingué de GLn(K), noté SLn(K).

En utilisant la caractérisation du déterminant de n vecteurs, on démontre la proposition suivante : soit n et p deux entiers naturels non nuls tels que n, soit A un élément de Mp(K), soit B un élément de Mn-p(K), soit C un élément de Mp,np(K), et M l'élément de Mn(K) défini par la formule :

Alors :

On peut en déduire la formule de développement d'un déterminant suivant une colonne, ou une ligne. Considérons pour cela un élément M = (αij) de Mn(K), où > 1 ; pour tout couple (i, j) d'éléments de [1, n], notons Aij la matrice carrée d'ordre n − 1 obtenue en supprimant la i-ième ligne et la j-ième colonne de M. Alors, pour tout élément j de [1, n] :

On est ainsi amené à considérer la matrice M′ dont les éléments α′ij sont définis par la relation :

La transposée de M′ s'appelle matrice complémentaire de M, et se note M∼. Il en découle immédiatement que :

En particulier, lorsque M est inversible :

formule dont le principal intérêt est de montrer que l'application ↦ M-1 est rationnelle.

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Écrit par :

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT, « LINÉAIRE ALGÈBRE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 janvier 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/lineaire-algebre/