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LINÉAIRE ALGÈBRE

Déterminants

Déterminant de n vecteurs

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K, et B = (e1, e2, ..., en) une base de E. La base de An(E) canoniquement associée à B est réduite à la forme n-linéaire alternée e*1 ∧ e*2 ∧ ... ∧ e*n ; celle-ci est la seule forme n-linéaire alternée sur E prenant la valeur 1 sur (e1, e2, ..., en). On l'appelle déterminant dans la base B, et on la note detB. Pour tout élément f de An(E) et pour toute suite (x1, x2, ..., xn) de vecteurs de E :

Les propriétés des formes n-linéaires alternées s'appliquent à detB. De plus, le critère d'indépendance linéaire de n vecteurs s'énonce ici : pour que (x1, x2, ..., xn) soit libre, il faut et il suffit que detB(x1, x2, ..., xn) ≠ 0.

Déterminant d'un endomorphisme

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K. Puisque An(E) est de dimension 1, tout endomorphisme de An(E) est une homothétie. En particulier, pour tout endomorphisme U de E, l'extension Un de U à l'espace vectoriel An(E) est une homothétie ; le rapport de cette homothétie s'appelle déterminant de l'endomorphisme U, et se note det U. Ainsi, par définition de det U, pour tout élément f de An(E) :

Des propriétés des extensions des applications linéaires on déduit les résultats suivants :

– Pour tout couple (U, V) d'endomorphismes de E :

– Le déterminant de l'application identique de E est égal à 1 ; plus généralement, le déterminant de l'homothétie de rapport α est égal à αn.

– Pour qu'un endomorphisme U de E soit inversible, il faut et il suffit que son déterminant soit non nul ; dans ces conditions :

– Le déterminant du transposé tU d'un endomorphisme U de E est égal à celui de U :

L'application U ↦ det U est donc un morphisme du groupe linéaire GL(E) dans le groupe multiplicatif K*. Le noyau de ce morphisme est un sous-groupe distingué de GL(E), appelé groupe spécial linéaire de E, et noté SL(E).

Déterminant d'une matrice carrée

On appelle déterminant d'un élément M de Mn(K), et on note det M le déterminant de l'endomorphisme de Kn canoniquement associé à M. Les propriétés du déterminant d'un endomorphisme se transcrivent aussitôt pour les matrices. De plus, le déterminant de M n'est autre que le déterminant de ses vecteurs colonnes, ou de ses vecteurs lignes, dans la base canonique de Kn. Enfin, les matrices de déterminant 1 constituent un sous-groupe distingué de GLn(K), noté SLn(K).

En utilisant la caractérisation du déterminant de n vecteurs, on démontre la proposition suivante : soit n et p deux entiers naturels non nuls tels que p < n, soit A un élément de Mp(K), soit B un élément de Mn-p(K), soit C un élément de Mp,n−p(K), et M l'élément de Mn(K) défini par la formule :

Alors :

On peut en déduire la formule de développement d'un déterminant suivant une colonne, ou une ligne. Considérons pour cela un élément M = (αij) de Mn(K), où n > 1 ; pour tout couple (i, j) d'éléments de [1, n], notons Aij la matrice carrée d'ordre n − 1 obtenue en supprimant la i-ième ligne et la j-ième colonne de M. Alors, pour tout élément j de [1, n] :

On est ainsi amené à considérer la matrice M′ dont les éléments α′ij sont définis par la relation :

La transposée de M′ s'appelle matrice complémentaire de M, et se note M∼. Il en découle immédiatement que :

En particulier, lorsque M est inversible :

formule dont le principal intérêt est de montrer que l'application M ↦ M-1 est rationnelle.

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Écrit par

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Classification

Pour citer cet article

Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT. LINÉAIRE ALGÈBRE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • AFFINE APPLICATION

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 261 mots

    Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λi), pour 1 ≤ ...

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots
    L'étude des équations et systèmes d'équations du premier degré était reléguée au début du xixe siècle dans l'enseignement élémentaire et négligée des mathématiciens, lorsqu'une axiomatisation convenable montra la puissance des notions nouvelles ainsi mises en évidence. Sous sa forme...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    Les progrès de l'algèbre linéaire ont permis enfin de définir la différentielle sans aucun recours aux coordonnées sous une forme qui s'applique également aux fonctions définies sur des espaces de dimension infinie (cf. chap. 2).

  • CAYLEY ARTHUR (1821-1895)

    • Écrit par Lubos NOVY
    • 1 407 mots
    ...la notion de tableau rectangulaire représentant les coefficients d'un système d'équations linéaires ou les coefficients d'une transformation linéaire ; on peut donc soutenir que Cayley avait élaboré la théorie des matrices quelques années avant la publication de son célèbre et si exemplairement clair...
  • Afficher les 8 références

Voir aussi

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