DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Si, dans les premières investigations, l'on s'attachait surtout à en calculer les solutions au moyen de fonctions déjà connues, très vite ce point de vue s'affirma trop étroit ; c'est qu'en effet le problème fondamental de la théorie des équations différentielles est de déduire les propriétés des solutions d'une équation ou d'un système donné de la forme analytique de ceux-ci ; or, en général, les équations qui résultent d'une investigation théorique en mathématiques ou en physique ne sont pas explicitement intégrables et constituent, bien souvent, la principale source pour la définition de nouvelles fonctions dont les propriétés peuvent être prévues par une analyse systématique de grandes classes d'équations ou de systèmes.

On développera, dans les quelques rubriques qui suivent, les méthodes propres à mettre en évidence l'existence de solutions sous des conditions appropriées et à en étudier les propriétés les plus fondamentales.

Les systèmes différentiels linéaires dans le champ réel

On se propose d'étudier l'existence et les propriétés des solutions du système différentiel linéaire :

pour i, j = 1, 2, ..., n, où les fonctions a_ij(t), b_i(t ) de la variable réelle t sont à valeurs réelles ou complexes. Introduisant la matrice n × n, c'est-à-dire à n lignes et à n colonnes, A(t ) = (a_ij(t )), et les vecteurs x = (x₁, x₂, ..., x_n), b = (b₁, b₂, ..., b_n), on peut écrire au lieu de (1) :

On notera que toute équation différentielle linéaire d'ordre n :

u^(j) désignant la dérivée d'ordre j de la fonction u(t ) peut être ramenée à la forme (1) ou (2) au moyen de substitutions x₁ = u, x₂ = u′, ..., x_n = u^(n-1), la matrice A et le vecteur b étant alors définis par :

Existence des solutions

Un premier résultat fondamental est donné par le théorème suivant : Le système

où A(t ) est une matrice n × n fonction continue de t ∈ [0, t₀] et où c est un vecteur donné, a une solution unique x(t ) définie pour t ∈ [0, t₀].

Il faut souligner qu'à l'équation (4) on a adjoint la condition initiale (5) ; on obtient ainsi un résultat d'existence et d'unicité.

On notera qu'au système (4), (5) on peut substituer l'équation intégrale équivalente :

qui se prête fort bien au calcul d'approximations successives inventé par Picard :avec x₀ = c (cf. espaces métriques, chap. 7).

On établit la convergence de la suite x_m(t ) vers une fonction x(t ) ; on montre ensuite que x(t ) est solution de (4), (5) et qu'il y a unicité.

Le même type d'argument permet d'établir le théorème suivant : Le système

où A(t) est une matrice n × n fonction continue de t ∈ [0, t₀], et D une matrice n × n constante donnée, a une solution, matrice n × n, X(t ), unique pour t ∈ [0, t₀].

On réservera, dans la suite, la notation X(t ) à cette solution quand on prend pour D la matrice identité I, et l'on dira que X(t ) est la matrice résolvante. Le théorème de Jacobi montre que :

ainsi la matrice X(t ) est toujours inversible.

Il est clair que la solution du système (4), (5) peut être représentée par x(t ) = X(t )c.

En prenant pour c les éléments de la base de l'espace vectoriel Rⁿ ou Cⁿ, on obtient n solutions de (4), qui sont les vecteurs dont les composantes sont inscrites successivement dans les colonnes de X(t ). Puisque det X(t ) ≠ 0, les vecteurs sont indépendants quel que soit t. D'ailleurs, si l'on dispose de n solutions indépendantes à l'instant t = 0, elles le demeurent pour tout t : on dira que c'est un système fondamental de solutions. Enfin, il ne peut exister plus de n solutions indépendantes.

Dans le cas de l'équation différentielle (3), supposée homogène (b(t ) = 0), les n solutions u₁, u₂, ..., u_n sont indépendantes si, et seulement si, le déterminant de Wronski :

est ≠ 0 pour tout t. Il suffit que cela soit vrai pour une valeur particulière de t.

L'équation linéaire non homogène

L'équation linéaire non homogène est l'équation :

Toute solution de (8) où A(t ) et w(t ) sont respectivement une matrice n × n et un vecteur fonction continue donnée de t ∈ [0, t₀] et c un vecteur constant peut être recherchée sous la forme : x = X(t ) y, où X(t ) est la matrice résolvante de (7).

Il est aisé de voir que (8) conduit à :

système qui a la solution unique :d'où, pour (8), la solution unique :

Le cas des systèmes à coefficients constants

Si A est une matrice à éléments indépendants de t, la [...]

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