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DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Si, dans les premières investigations, l'on s'attachait surtout à en calculer les solutions au moyen de fonctions déjà connues, très vite ce point de vue s'affirma trop étroit ; c'est qu'en effet le problème fondamental de la théorie des équations différentielles est de déduire les propriétés des solutions d'une équation ou d'un système donné de la forme analytique de ceux-ci ; or, en général, les équations qui résultent d'une investigation théorique en mathématiques ou en physique ne sont pas explicitement intégrables et constituent, bien souvent, la principale source pour la définition de nouvelles fonctions dont les propriétés peuvent être prévues par une analyse systématique de grandes classes d'équations ou de systèmes.

On développera, dans les quelques rubriques qui suivent, les méthodes propres à mettre en évidence l'existence de solutions sous des conditions appropriées et à en étudier les propriétés les plus fondamentales.

Les systèmes différentiels linéaires dans le champ réel

On se propose d'étudier l'existence et les propriétés des solutions du système différentiel linéaire :

pour i, j = 1, 2, ..., n, où les fonctions aij(t), bi(t ) de la variable réelle t sont à valeurs réelles ou complexes. Introduisant la matrice n × n, c'est-à-dire à n lignes et à n colonnes, A(t ) = (aij(t )), et les vecteurs x = (x1, x2, ..., xn), b = (b1, b2, ..., bn), on peut écrire au lieu de (1) :

On notera que toute équation différentielle linéaire d'ordre n :

u(j) désignant la dérivée d'ordre j de la fonction u(t ) peut être ramenée à la forme (1) ou (2) au moyen de substitutions x1 = u, x2 = u′, ..., xn = u(n-1), la matrice A et le vecteur b étant alors définis par :

Existence des solutions

Un premier résultat fondamental est donné par le théorème suivant : Le système

où A(t ) est une matrice n × n fonction continue de t ∈ [0, t0]et où c est un vecteur donné, a une solution unique x(t ) définie pour t ∈ [0, t0].

Il faut souligner qu'à l'équation (4) on a adjoint la condition initiale (5) ; on obtient ainsi un résultat d'existence et d'unicité.

On notera qu'au système (4), (5) on peut substituer l'équation intégrale équivalente :

qui se prête fort bien au calcul d' approximations successives inventé par Picard :
avec x0 = c (cf. espaces métriques, chap. 7).

On établit la convergence de la suite xm(t ) vers une fonction x(t ) ; on montre ensuite que x(t ) est solution de (4), (5) et qu'il y a unicité.

Le même type d'argument permet d'établir le théorème suivant : Le système

où A(t) est une matrice n × n fonction continue de t ∈ [0, t0], et D une matrice n × n constante donnée, a une solution, matrice n × n, X(t ), unique pour t ∈ [0, t0].

On réservera, dans la suite, la notation X(t ) à cette solution quand on prend pour D la matrice identité I, et l'on dira que X(t ) est la matrice résolvante. Le théorème de Jacobi montre que :

ainsi la matrice X(t ) est toujours inversible.

Il est clair que la solution du système (4), (5) peut être représentée par x(t ) = X(t )c.

En prenant pour c les éléments de la base de l'espace vectoriel Rn ou Cn, on obtient n solutions de (4), qui sont les vecteurs dont les composantes sont inscrites successivement dans les colonnes de X(t ). Puisque det X(t ) ≠ 0, les vecteurs sont indépendants quel que soit t. D'ailleurs, si l'on dispose de n solutions indépendantes à l'instant t = 0, elles le demeurent pour tout t : on dira[...]

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Écrit par

  • : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
  • : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis
  • : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie

Classification

Pour citer cet article

Christian COATMELEC, Encyclopædia Universalis et Maurice ROSEAU. DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Autres références

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par
    • 8 527 mots
    Les équations différentielles s'étaient présentées dès le début du calcul infinitésimal, soit à propos de la détermination de courbes vérifiant certaines propriétés différentielles, soit comme traductions mathématiques de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du ...
  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par et
    • 6 250 mots
    • 1 média
    Plaçons-nous d'abord dans le cas d'un système linéaire à coefficients constants :
    A est une matrice carrée d'ordre n à coefficients complexes et x : t ↦ x (t) une fonction de classe C1 sur [0, + ∞ [ à valeurs dans Cn. Pour toute condition initiale a ∈ ...
  • BUSH VANNEVAR (1890-1974)

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    ...jeu une multitude de problèmes liés au comportement des lignes, à leur infrastructure ou à la topographie du terrain. Leur résolution fait appel à des équations différentielles complexes que les ingénieurs résolvent généralement par intégration graphique, en calculant l’aire définie par une courbe....
  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

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    On sait que plusieurs savants de la première moitié du xviie siècle avaient rencontré certains problèmes relatifs à des équations différentielles, problèmes auxquels ils n'avaient su donner qu'une présentation et qu'une solution imparfaites. Dès la mise au point de leurs méthodes de calcul infinitésimal,...
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