DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS
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Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Si, dans les premières investigations, l'on s'attachait surtout à en calculer les solutions au moyen de fonctions déjà connues, très vite ce point de vue s'affirma trop étroit ; c'est qu'en effet le problème fondamental de la théorie des équations différentielles est de déduire les propriétés des solutions d'une équation ou d'un système donné de la forme analytique de ceux-ci ; or, en général, les équations qui résultent d'une investigation théorique en mathématiques ou en physique ne sont pas explicitement intégrables et constituent, bien souvent, la principale source pour la définition de nouvelles fonctions dont les propriétés peuvent être prévues par une analyse systématique de grandes classes d'équations ou de systèmes.
On développera, dans les quelques rubriques qui suivent, les méthodes propres à mettre en évidence l'existence de solutions sous des conditions appropriées et à en étudier les propriétés les plus fondamentales.
Les systèmes différentiels linéaires dans le champ réel
On se propose d'étudier l'existence et les propriétés des solutions du système différentiel linéaire :


On notera que toute équation différentielle linéaire d'ordre n :


Existence des solutions
Un premier résultat fondamental est donné par le théorème suivant : Le système

Il faut souligner qu'à l'équation (4) on a adjoint la condition initiale (5) ; on obtient ainsi un résultat d'existence et d'unicité.
On notera qu'au système (4), (5) on peut substituer l'équation intégrale équivalente :


On établit la convergence de la suite xm(t ) vers une fonction x(t ) ; on montre ensuite que x(t ) est solution de (4), (5) et qu'il y a unicité.
Le même type d'argument permet d'établir le théorème suivant : Le système

On réservera, dans la suite, la notation X(t ) à cette solution quand on prend pour D la matrice identité I, et l'on dira que X(t ) est la matrice résolvante. Le théorème de Jacobi montre que :

Il est clair que la solution du système (4), (5) peut être représentée par x(t ) = X(t )c.
En prenant pour c les éléments de la base de l'espace vectoriel Rn ou Cn, on obtient n solutions de (4), qui sont les vecteurs dont les composantes sont inscrites successivement dans les colonnes de X(t ). Puisque det X(t ) ≠ 0, les vecteurs sont indépendants quel que soit t. D'ailleurs, si l'on dispose de n solutions indépendantes à l'instant t = 0, elles le demeurent pour tout t : on dira que c'est un système fondamental de solutions. Enfin, il ne peut exister plus de n solutions indépendantes.
Dans le cas de l'équation différentielle (3), supposée homogène (b(t ) = 0), les n solutions u1, u2, ..., un sont indépendantes si, et seulement si, le déterminant de Wronski :

L'équation linéaire non homogène
L'équation linéaire non homogène est l'équation :

Il est aisé de voir que (8) conduit à :



Le cas des systèmes à coefficients constants
Si A est une matrice à éléments indépendants de t, la [...]
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l’article se compose de 18 pages
Écrit par :
- Christian COATMELEC : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
- Maurice ROSEAU : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie
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Voir aussi
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- CONSISTANCE analyse numérique
- CONVERGENCE mathématiques
- CALCUL DES DIFFÉRENCES
- MÉTHODES DE DIFFÉRENCES FINIES
- SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS
- DISCRÉTISATION mathématiques
- ÉQUATION LINÉAIRE
- MÉTHODE DU PAS À PAS D' EULER analyse numérique
- FONCTION HOLOMORPHE
- FORME LINÉAIRE
- ÉQUATION DU TYPE DE FUCHS
- FONCTION DE GREEN
- THÉORÈME DE HILBERT-SCHMIDT
- SYSTÈME HOMOGÈNE
- ÉQUATION HYPERGÉOMÉTRIQUE
- MÉTHODE DE LIAPOUNOV
- PROBLÈME AUX LIMITES
- FONCTION LIPSCHITZIENNE
- MATRICE mathématiques
Pour citer l’article
Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU, « DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-differentielles/