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LINÉAIRE ALGÈBRE

Produits tensoriels

Produit tensoriel d'espaces vectoriels

La notion de produit tensoriel sert à remplacer l'étude des applications multinéaires par celle des applications linéaires. Plus précisément, on obtient le résultat suivant.

Théorème 17. Soit E1, E2, ..., Ep des espaces vectoriels sur K. Il existe un couple (G, T) constitué d'un espace vectoriel G sur K et d'une application multilinéaire T de E1 × E2 × ... × Ep dans G possédant la propriété universelle suivante : Pour tout couple (F, S) constitué d'un espace vectoriel F sur K et d'une application multilinéaire S de E1 × E2 × ... × Ep dans F, il existe une application linéaire S∼ et une seule de G dans F telle que S = S∼ ∘ T. Un tel couple (G,T) est unique à isomorphisme près. L'espace vectoriel G s'appelle produit tensoriel des espaces vectoriels E1, E2, ..., Ep, et se note E1 ⊗ E2 ⊗ ... ⊗ Ep. L'application multilinéaire T se note :

L'application S ↦ S∼ est un isomorphisme de l'espace vectoriel M(E1 × E2 × ... × Ep, F) des applications multilinéaires de E1 × E2 × ... × Ep dans F sur l'espace vectoriel L(E1 ⊗ E2 ⊗ ... ⊗ Ep, F). Les éléments de E1 ⊗ E2 ⊗ ... ⊗ Ep de la forme x1 ⊗ x2 ⊗ ... ⊗ xp sont dits décomposables ; ils constituent une partie génératrice de E1 ⊗ E2 ⊗ ... ⊗ Ep. Si, pour tout élément j de [1, p], Ej est de dimension finie nj et est muni d'une base Bj = (eij), alors les éléments ei1,1 ⊗ ei2,2 ⊗ ... ⊗ eip,p constituent une base de E1 ⊗ E2 ⊗ ... ⊗ Ep, dite canoniquement associée aux bases Bj. En particulier :

Soit maintenant (E1, E2, ..., Ep) et (F1, F2, ..., Fp) deux suites d'espaces vectoriels sur K, et, pour tout élément j de [1, p], Uj un élément de L(Ej, Fj). Il existe alors une application linéaire U et une seule de E1 ⊗ E2 ⊗ ... ⊗ Ep dans F1 ⊗ F2 ⊗ ... ⊗ Fp telle que, pour tout élément (x1, x2, ... xp) de E1 ⊗ E2 ⊗ ... ⊗ Ep :

On l'appelle produit tensoriel des applications linéaires Uj, et on la note U1 ⊗ U2 ⊗ ... ⊗ Up.

Trace d'un endomorphisme

Soit E et F deux espaces vectoriels sur K. Pour tout élément (a*, b) de E* × F, l'application Ua*,b qui à tout vecteur x de E associe le vecteur <a*, x> b de F est une application linéaire de E dans F ; on l'appelle application linéaire élémentaire associée à (a*, b). Si a* et b ne sont pas nuls, l'image de Ua*,b est la droite Kb de F, et son noyau est l'hyperplan de E noyau de la forme linéaire a*. De plus, l'application (a*, b) ↦ Ua*,b est une application bilinéaire de E* × F dans L(E, F).

Il existe une application linéaire j et une seule de E* ⊗ F dans L(E, F) telle que, pour tout élément (y*, z) de E* × F :

En effet, l'application (y*, z) ↦ Uy*,z est une application bilinéaire de E* × F dans L(E, F). La propriété universelle du produit tensoriel E* ⊗ F montre alors l'existence et l'unicité de j.

De plus, si E et F sont de dimension finie, j est un isomorphisme, car j est injective et que :

Soit enfin E un espace vectoriel sur K. Il existe une forme linéaire c et une seule sur l'espace vectoriel E* ⊗ E telle que, pour tout élément (y*, x) de E* × E :

L'application c s'appelle contraction canonique de E* ⊗ E dans K.

En effet, l'application (y*, x) ↦ <y*, x> est une application bilinéaire de E* × E dans K. La propriété universelle du produit tensoriel E* ⊗ E prouve l'existence et l'unicité de c.

En combinant les résultats précédents, nous obtenons le théorème qui suit.

Théorème 18. Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur K. Il existe une forme linéaire et une seule sur l'espace vectoriel L(E), appelée trace et notée tr,[...]

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Écrit par

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • AFFINE APPLICATION

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 261 mots

    Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λi), pour 1 ≤ ...

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots
    L'étude des équations et systèmes d'équations du premier degré était reléguée au début du xixe siècle dans l'enseignement élémentaire et négligée des mathématiciens, lorsqu'une axiomatisation convenable montra la puissance des notions nouvelles ainsi mises en évidence. Sous sa forme...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    Les progrès de l'algèbre linéaire ont permis enfin de définir la différentielle sans aucun recours aux coordonnées sous une forme qui s'applique également aux fonctions définies sur des espaces de dimension infinie (cf. chap. 2).

  • CAYLEY ARTHUR (1821-1895)

    • Écrit par Lubos NOVY
    • 1 407 mots
    ...la notion de tableau rectangulaire représentant les coefficients d'un système d'équations linéaires ou les coefficients d'une transformation linéaire ; on peut donc soutenir que Cayley avait élaboré la théorie des matrices quelques années avant la publication de son célèbre et si exemplairement clair...
  • Afficher les 8 références

Voir aussi

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