AFFINE APPLICATION

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Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λi), pour 1 ≤ i ≤ k, où k est quelconque, de A × K, possédant un barycentre G, u(G) est le barycentre des éléments (u(Mi), λi) de B × K.

On démontre les résultats suivants :

1. Il existe une application linéaire f et une seule de E dans F telle que, pour tout M et tout N dans A et pour M′ = u(M) et N′ = u(N) :

f s'appelle l'application linéaire associée à u.

2. La composée v ∘ u de deux applications affines u et v est une application affine et l'application linéaire associée à v ∘ u est g ∘ f (où f et g désignent les applications linéaires associées à u et v).

3. Les applications linéaires affines bijectives d'un espace affine A dans lui-même forment un groupe, appelé groupe affine de A et noté GA(A). Une application affine u de A dans A est bijective si et seulement si son application linéaire associée f est aussi bijective. Ainsi l'application qui à u fait correspondre f est un morphisme du groupe affine GA(A) dans le groupe linéaire GL(E).

4. Soit A et B deux espaces affines de dimensions finies (dim A = q). Pour définir une application affine de A dans B, il suffit de se donner (q + 1) points affinement indépendants dans A et leurs images dans B.

—  Jacques MEYER

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  • Paulette LIBERMANN
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Dans le chapitre « Sur quelques propriétés de l'espace euclidien »  : […] La structure E 3 , d' espace euclidien de R 3 est définie par le choix du produit scalaire usuel pour lequel la base canonique ε 1 = (1, 0, 0), ε 2 = (0, 1, 0), ε 3 = (0, 0, 1) est orthonormée (cf. groupes – Groupes classiques et géométrie) ; la norme de X = ( x, y, z ) est alors : Un déplacement euclidien D est une application affine de R 3 dans R 3 telle que l'application linéaire associ […] Lire la suite

Pour citer l’article

Jacques MEYER, « AFFINE APPLICATION », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 octobre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/application-affine/