AFFINE APPLICATION

Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (M_i, λ_i), pour 1 ≤ i ≤ k, où k est quelconque, de A × K, possédant un barycentre G, u(G) est le barycentre des éléments (u(M_i), λ_i) de B × K.

On démontre les résultats suivants :

1. Il existe une application linéaire f et une seule de E dans F telle que, pour tout M et tout N dans A et pour M′ = u(M) et N′ = u(N) :

où f s'appelle l'application linéaire associée à u.

2. La composée v ∘ u de deux applications affines u et v est une application affine et l'application linéaire associée à v ∘ u est g ∘ f (où f et g désignent les applications linéaires associées à u et v).

3. Les applications linéaires affines bijectives d'un espace affine A dans lui-même forment un groupe, appelé groupe affine de A et noté GA(A). Une application affine u de A dans A est bijective si et seulement si son application linéaire associée f est aussi bijective. Ainsi l'application qui à u fait correspondre f est un morphisme du groupe affine GA(A) dans le groupe linéaire GL(E).

4. Soit A et B deux espaces affines de dimensions finies (dim A = q). Pour définir une application affine de A dans B, il suffit de se donner (q + 1) points affinement indépendants dans A et leurs images dans B.