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LINÉAIRE ALGÈBRE

Existence de bases

Théorème 8. Soit E un espace vectoriel sur K, soit L une partie libre de E, et S une partie génératrice de E contenant L. Il existe alors une partie basique B de E telle que L ⊂ B ⊂ S.

Nous allons démontrer ce théorème lorsque la partie S est finie.

Introduisons l'ensemble E ordonné par inclusion des parties libres T de E telles que L ⊂ T ⊂ S. L'ensemble E est non vide, puisque L appartient à E. La partie S étant finie, l'ensemble card(T) des entiers naturels, où T parcourt E, admet un plus grand élément p. Soit B un élément de E ayant p éléments. Montrons que B convient. Puisque B appartient à E, la partie B est libre, et L ⊂ B ⊂ S. Il reste donc à prouver que B est génératrice. Supposons en effet par l'absurde que le sous-espace vectoriel E′ engendré par B ne soit pas égal à E. Puisque S est génératrice, il existe un élément x de S n'appartenant pas à E′, ce qui implique que B′ = B ∪ {x} est encore libre. Ainsi, B′ est un élément de E ayant p + 1 éléments, ce qui contredit la définition de p.

Lorsque S est quelconque, la démonstration est analogue, le principe de récurrence étant remplacé par le théorème de Zorn.

Corollaire 1. Pour toute partie libre L de E, il existe une partie basique B de E contenant L ; pour toute partie génératrice S de E, il existe une partie basique B de E contenue dans S. En particulier, pour tout espace vectoriel E sur K, l'ensemble des bases de E est non vide.

Ce corollaire s'obtient en spécialisant le théorème aux trois cas suivants : S = E, L = ∅, S = E et L = ∅.

Corollaire 2 (théorème de la base incomplète). Pour toute partie libre L de E et pour toute partie génératrice S de E, il existe une partie S′ de S telle que L ∩ S′ soit vide et que B = L ∪ S′ soit une partie basique de E.

Voici l'une des principales conséquences du théorème précédent :

Théorème 9. Tout sous-espace vectoriel E′ d'un espace vectoriel E admet un sous-espace vectoriel supplémentaire dans E.

On choisit en effet une partie basique B′ de E′, que l'on complète en une partie basique B de E. Alors le sous-espace vectoriel engendré par B″ = B − B′ est un sous-espace vectoriel supplémentaire de E′ dans E.

Corollaire 1. Soit E et F deux espaces vectoriels sur K, soit E′ un sous-espace vectoriel de E, et U′ une application linéaire de E′ dans F. Il existe alors une application linéaire U de E dans F prolongeant U′.

Corollaire 2. Soit E et F deux espaces vectoriels sur K, soit F′ un sous-espace vectoriel de F, et ϕ l'application linéaire canonique de F sur F/F′. Pour toute application linéaire U de E dans F/F′, il existe une application linéaire V de E dans F telle que U = ϕ ∘ V.

Corollaire 3. Soit E et F deux espaces vectoriels sur K, et U une application linéaire de E dans F. Pour que U soit surjective, il faut et il suffit que U soit inversible à droite, c'est-à-dire qu'il existe une application linéaire V de F dans E telle que U ∘ V = IF. Pour que U soit injective, il faut et il suffit que U soit inversible à gauche, c'est-à-dire qu'il existe une application linéaire V de F dans E telle que V ∘ U = IE.

En effet, il est évident que, si U est inversible à droite (resp. à gauche), U est surjective (resp. injective). Réciproquement, si U est surjective, U définit un isomorphisme U′ d'un supplémentaire E′ de Ker(U) sur F ; il suffit de prendre pour V l'application linéaire de F dans E coïncidant avec U′-1. De même, si U est injective, U définit un isomorphisme U′ de E sur Im(U) ; il suffit alors de prendre pour V l'application linéaire nulle sur un supplémentaire F′ de Im(U), et coïncidant avec U′-1 sur Im(U).

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Écrit par

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Classification

Pour citer cet article

Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT. LINÉAIRE ALGÈBRE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • AFFINE APPLICATION

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 261 mots

    Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λi), pour 1 ≤ ...

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots
    L'étude des équations et systèmes d'équations du premier degré était reléguée au début du xixe siècle dans l'enseignement élémentaire et négligée des mathématiciens, lorsqu'une axiomatisation convenable montra la puissance des notions nouvelles ainsi mises en évidence. Sous sa forme...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    Les progrès de l'algèbre linéaire ont permis enfin de définir la différentielle sans aucun recours aux coordonnées sous une forme qui s'applique également aux fonctions définies sur des espaces de dimension infinie (cf. chap. 2).

  • CAYLEY ARTHUR (1821-1895)

    • Écrit par Lubos NOVY
    • 1 407 mots
    ...la notion de tableau rectangulaire représentant les coefficients d'un système d'équations linéaires ou les coefficients d'une transformation linéaire ; on peut donc soutenir que Cayley avait élaboré la théorie des matrices quelques années avant la publication de son célèbre et si exemplairement clair...
  • Afficher les 8 références

Voir aussi

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