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LINÉAIRE ALGÈBRE

Matrices

Matrices et applications linéaires

Soit E et F deux espaces vectoriels sur K non réduits à {0}, de dimensions respectives p et n, soit B = (e1, e2, ...., ep) une base de E, soit B′ = (f 1, f 2, ..., f n) une base de F et U une application linéaire de E dans F. Pour tout élément j de [1, p], le vecteur U(ej) se décompose d'une manière et d'une seule dans la base B′ sous la forme :

Ainsi, à toute application linéaire U de E dans F nous pouvons associer une famille (αij) d'éléments de K. Réciproquement, pour toute famille (αij) d'éléments de K, où (i, j) ∈ [1, n] × [1, p], il existe une application linéaire U et une seule de E dans F satisfaisant aux conditions (1).

Nous sommes donc amené à introduire les définitions suivantes, utiles pour les calculs explicites concernant les applications linéaires : Soit K un corps commutatif, n et p deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice à n lignes et p colonnes à éléments dans K toute famille :

d'éléments de K. Il est d'usage de disposer les éléments d'une matrice dans les cas d'un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes, encadré de deux parenthèses (ou parfois de deux crochets) :

L'indice i s'appelle indice de ligne, l'indice j, indice de colonne. Pour tout élément i de [1, n], la suite (αij)1≤j≤p s'appelle i-ième ligne de M ; pour tout élément j de [1, p], la suite (αij)1≤i≤n s'appelle j-ième colonne de M.

Le vecteur de Kp dont les composantes constituent la i-ième ligne de M s'appelle i-ième ligne de M ; le vecteur de Kn dont les composantes constituent la j-ième colonne de M s'appelle j-ième vecteur colonne de M.

Lorsque n = 1, on dit que M est une matrice ligne ; lorsque p = 1, on dit que M est une matrice colonne.

L'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à éléments dans K, se note Mn,p(K). Lorsque n = p, on dit que M est une matrice carrée d'ordre n. L'ensemble des matrices carrées d'ordre n à éléments dans K se note Mn(K).

Soit, plus généralement, A, I et J trois ensembles, I et J étant finis. On appelle matrice de type (I, J) à éléments dans A toute famille :

d'éléments de A. Lorsque I, ou J, est vide, on dit que M est la matrice vide.

Reprenons maintenant le problème initial : la matrice M = (αij) définie par la formule (1) est dite associée à l'application linéaire U dans les bases B et B′, et notée MB,B′(U). La matrice M a pour j-ième colonne la famille des composantes dans la base B′ de l'image par U du j-ième vecteur de la base B. L'application qui à toute application linéaire U de E dans F associe la matrice MB,B′(U) est une bijection de L(E, F) sur Mn,p(K).

En particulier, lorsque E = F, U est un endomorphisme de E. La matrice MB,B′(U) est une matrice carrée, appelée matrice associée à l'endomorphisme U dans la base B, et notée plus simplement MB(U).

Toute matrice peut être considérée comme une matrice associée à une application linéaire : pour tout élément M de Mn,p(K), il existe une application linéaire et une seule de l'espace vectoriel Kp dans l'espace vectoriel Kn dont la matrice associée dans les bases canoniques de ces espaces vectoriels soit M. Cette application linéaire s'appelle application linéaire de Kp dans Kn canoniquement associée à M.

Opérations sur les matrices

La bijection canonique ϕ de Mn,p(K) sur L(Kp, Kn) ainsi introduite conduit aux définitions qui suivent.

Somme de deux matrices. On appelle somme de deux éléments M = (αij) et M′ = (α′ij) de Mn,p(K), et on note M + M′, l'élément (βij) de Mn,p(K) défini par les relations :

Produit d'une matrice par un scalaire. On appelle produit d'un élément M = (αij) de Mn,p(K) par un scalaire λ, et on note λM, l'élément (β[...]

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Écrit par

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Classification

Pour citer cet article

Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT. LINÉAIRE ALGÈBRE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • AFFINE APPLICATION

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 261 mots

    Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λi), pour 1 ≤ ...

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots
    L'étude des équations et systèmes d'équations du premier degré était reléguée au début du xixe siècle dans l'enseignement élémentaire et négligée des mathématiciens, lorsqu'une axiomatisation convenable montra la puissance des notions nouvelles ainsi mises en évidence. Sous sa forme...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    Les progrès de l'algèbre linéaire ont permis enfin de définir la différentielle sans aucun recours aux coordonnées sous une forme qui s'applique également aux fonctions définies sur des espaces de dimension infinie (cf. chap. 2).

  • CAYLEY ARTHUR (1821-1895)

    • Écrit par Lubos NOVY
    • 1 407 mots
    ...la notion de tableau rectangulaire représentant les coefficients d'un système d'équations linéaires ou les coefficients d'une transformation linéaire ; on peut donc soutenir que Cayley avait élaboré la théorie des matrices quelques années avant la publication de son célèbre et si exemplairement clair...
  • Afficher les 8 références

Voir aussi

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