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CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à plusieurs variables

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Le calcul infinitésimal des fonctions de plusieurs variables a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d'un seul argument. Inauguré avec un siècle de retard, il ne parvient à établir solidement ses fondements qu'au début du xx e siècle.

Ce n'est qu'aux environs de 1930 que sont abordés les problèmes difficiles de cette branche de l'analyse, très utilisée depuis lors.

La préhistoire

Le formalisme des dérivées partielles

Avant d'étudier le comportement d'une fonction f (x,y) de deux variables, lorsque x et y varient simultanément et indépendamment, on commence par faire varier x et y successivement. Fixons la valeur de y : la dérivée de la fonction x ↦ f (x,y), lorsqu'elle existe, s'appelle la dérivée partielle ∂f/∂x (x,y) de f par rapport à x (à y constant). La notation utilisant le ∂ pour désigner la dérivation partielle, par opposition au d désignant la dérivation ordinaire, a été préconisée par Legendre (1786) et vulgarisée par Jacobi (1841). Si, maintenant, on fait varier x et y en fonction d'une même variable t, on trouve que :

ce qui fait apparaître les dérivées partielles de f comme des intermédiaires de calcul commodes.

Les dérivées partielles apparaissent, en 1755, dans le traité Institutiones calculi differentialis d' Euler, et, en 1747, chez A.  Clairaut. Ils y ont reconnu l'outil de base du calcul différentiel à plusieurs variables. Malheureusement, cette notion est essentiellement liée au choix d'un système de coordonnées.

Par exemple, considérons les formules W = RI2 = EI = E2/R, qui traduisent un cas particulier des lois d' Ohm en électricité. On constate que le symbole ∂W/∂I est égal à 2 RI, E ou 0 selon l'expression de W que l'on adopte. L'explication de ce paradoxe vient de ce que la dérivation par rapport à I n'a pas la même signification selon que l'on opère à R constant (et E variable), ou à E constant (et R variable) et enfin si l'on fixe E et R.

S'inspirant de ce que Leibniz avait fait pour la différentielle des fonctions d'une variable, Euler et Clairaut étudièrent une expression remarquable, la différentielle totale  :

c'est une fonction de quatre variables indépendantes x,y,dx,dy (linéaire par rapport aux deux dernières). Cette expression possède un caractère invariant lorsqu'on la soumet à des changements de variables du type particulier suivant : si l'on exprime x et y en fonction de nouvelles variables X,Y au moyen des formules x = x (X,Y), y = y (X,Y), et si l'on effectue, en même temps, le changement de variables « covariant », selon les formules :
on constate que la différentielle totale de f prend la même forme (2) que l'on exprime df à l'aide de x,y,dx et dy ou à l'aide de X,Y, dX et dY.

Les dérivées partielles sont susceptibles d'être dérivées partiellement à leur tour. On obtient ainsi les dérivées partielles secondes :

que Jacobi note respectivement :

Euler et Clairaut avaient déjà constaté que le résultat ne dépend pas de l'ordre dans lequel on effectue les dérivations (pour autant que ces auteurs n'opéraient tacitement que sur de « bonnes fonctions », c'est-à-dire des fonctions que nous nommons aujourd'hui analytiques), soit :

À titre de preuve, Euler se borne à invoquer la symétrie de l'expression :

et Clairaut opère formellement sur un développement en série.

Une combinaison linéaire à coefficients complexes de dérivations partielles s'appelle un opérateur différentiel linéaire à coefficients constants (par exemple :

où A, B, C sont des nombres complexes). Ces opérateurs sont susceptibles d'être ajoutés et composés entre eux : il en résulte une structure algébrique sur l'ensemble des opérateurs différentiels[...]

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Pour citer cet article

Georges GLAESER, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :

Autres références

  • ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 164 mots

    À une époque où la Norvège était d'une extrême pauvreté par suite des guerres qui l'avaient ruinée, Niels Henrik Abel, second fils d'une famille de sept enfants, naquit le 5 août 1802 dans l'île de Finnøy, près de Stavanger. Dès sa quinzième année, il lut et assimila les travaux les plus difficiles d'Euler[...]

  • ARCHIMÈDE (287-212 av. J.-C.)

    • Écrit par Jean ITARD
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    [...]volumes par excès et défaut en remplaçant chaque couche par un cylindre circonscrit ou inscrit. Il utilisera, pour conclure, le raisonnement appelé, depuis le xvii e siècle,« par exhaustion », et qui remonte à Eudoxe. Apparaissent ainsi nos « sommes de Riemann » et nos intégrales définies.

  • BARROW ISAAC (1630-1677)

    • Écrit par E.U.
    • 1 674 mots

    Mathématicien et théologien anglais qui fut un des précurseurs du calcul infinitésimal. Ordonné ministre anglican en 1668, Isaac Barrow enseigna le grec à l'université de Cambridge (1660-1663) et fut nommé, en 1662, professeur de mathématiques au collège Gresham de Londres. En 1664, il devient[...]

  • BERNOULLI LES

    • Écrit par E.U.
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    – Systématisation du calcul infinitésimal. En 1687, Jacques écrit à Leibniz pour lui demander de lui préciser de nombreux points obscurs des premiers fondements du calcul infinitésimal parus dans les Acta eruditorum en 1684. Leibniz, absent de Hanovre, ne répondit qu'en 1690 et la tradition[...]

  • CANTOR GEORG (1845-1918)

    • Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
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    Georg Cantor est le mathématicien de génie qui a ouvert pour les mathématiques le paradis de l’infini. Il a développé la théorie des ensembles qui permet de traiter tout objet mathématique comme un ensemble d’éléments déterminé, fini ou infini, et a introduit le concept de transfini, qui[...]

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