LINÉAIRE ALGÈBRE

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Sommes directes, bases

Sommes directes

Soit (Ei)iI une famille d'espaces vectoriels sur K. Dans l'espace vectoriel :

l'ensemble des éléments (xi)iI à support fini est un sous-espace vectoriel de cet espace vectoriel, appelé somme directe de la famille (Ei)iI, et noté :
il coïncide avec l'espace vectoriel produit lorsque l'ensemble I est fini.

Soit, en particulier, E un espace vectoriel sur K, soit (Ei)iI une famille de sous-espaces vectoriels de E, et U l'application linéaire de la somme directe de cette famille dans E qui à tout élément (xi)iI associe l'élément :

Alors l'image de U est la somme :

des sous-espaces vectoriels Ei, et le noyau de U est l'ensemble des éléments (xi)iI tels que :

Ainsi, pour que U soit surjective, il faut et il suffit que :

et, pour que U soit injective, il faut et il suffit que, pour tout ∈ I :

Lorsque ces deux conditions sont réalisées, c'est-à-dire lorsque U est un isomorphisme, il est d'usage d'identifier E et :

ce qui conduit à dire que E est somme directe des sous-espaces vectoriels Ei.

Enfin, pour que E soit somme directe des sous-espaces vectoriels Ei, il faut et il suffit que tout vecteur x de E s'écrive d'une manière et d'une seule sous la forme :

où, pour tout élément i de I, xi appartient à Ei.

L'intérêt de la notion de somme directe apparaît dans le théorème suivant.

Théorème 3. Soit E et F deux espaces vectoriels sur K, et (Ej)jJ une famille de sous-espaces vectoriels de E dont E est somme directe.

1. Pour tout élément (Uj)jJ de :

il existe une application linéaire U et une seule de E dans F telle que, pour tout élément j de J, la restriction de U à Ej soit égale à Uj. À tout vecteur x de E, écrit sous la forme :
où, pour tout ∈ J, x∈ Ej, l'application U associe le vecteur :

2. L'application (Uj)j↦ U est un isomorphisme de l'espace vectoriel :

sur l'espace vectoriel :

En particulier, deux applications linéaires de E dans F ayant, pour tout élément j de J, même restriction au sous-espace vectoriel Ej sont égales.

Sous-espaces vectoriels supplémentaires, projecteurs

On dit que deux sous-espaces vectoriels F et G d'un espace vector [...]


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Écrit par :

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT, « LINÉAIRE ALGÈBRE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/lineaire-algebre/