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LINÉAIRE ALGÈBRE

Sommes directes, bases

Sommes directes

Soit (Ei)i∈I une famille d'espaces vectoriels sur K. Dans l'espace vectoriel :

l'ensemble des éléments (xi)i∈I à support fini est un sous-espace vectoriel de cet espace vectoriel, appelé somme directe de la famille (Ei)i∈I, et noté :
il coïncide avec l'espace vectoriel produit lorsque l'ensemble I est fini.

Soit, en particulier, E un espace vectoriel sur K, soit (Ei)i∈I une famille de sous-espaces vectoriels de E, et U l'application linéaire de la somme directe de cette famille dans E qui à tout élément (xi)i∈I associe l'élément :

Alors l'image de U est la somme :

des sous-espaces vectoriels Ei, et le noyau de U est l'ensemble des éléments (xi)i∈I tels que :

Ainsi, pour que U soit surjective, il faut et il suffit que :

et, pour que U soit injective, il faut et il suffit que, pour tout i ∈ I :

Lorsque ces deux conditions sont réalisées, c'est-à-dire lorsque U est un isomorphisme, il est d'usage d'identifier E et :

ce qui conduit à dire que E est somme directe des sous-espaces vectoriels Ei.

Enfin, pour que E soit somme directe des sous-espaces vectoriels Ei, il faut et il suffit que tout vecteur x de E s'écrive d'une manière et d'une seule sous la forme :

où, pour tout élément i de I, xi appartient à Ei.

L'intérêt de la notion de somme directe apparaît dans le théorème suivant.

Théorème 3. Soit E et F deux espaces vectoriels sur K, et (Ej)j∉J une famille de sous-espaces vectoriels de E dont E est somme directe.

1. Pour tout élément (Uj)j∈J de :

il existe une application linéaire U et une seule de E dans F telle que, pour tout élément j de J, la restriction de U à Ej soit égale à Uj. À tout vecteur x de E, écrit sous la forme :
où, pour tout j ∈ J, xj ∈ Ej, l'application U associe le vecteur :

2. L'application (Uj)j∈J ↦ U est un isomorphisme de l'espace vectoriel :

sur l'espace vectoriel :

En particulier, deux applications linéaires de E dans F ayant, pour tout élément j de J, même restriction au sous-espace vectoriel Ej sont égales.

Sous-espaces vectoriels supplémentaires, projecteurs

On dit que deux sous-espaces vectoriels F et G d'un espace vectoriel E sur K sont supplémentaires dans E si les trois conditions équivalentes suivantes sont vérifiées :

(a) L'espace vectoriel E est somme directe de F et de G.

(b) Tout vecteur x de E s'écrit d'une manière et d'une seule sous la forme x = y + z, où y ∈ F et z ∈ G.

(c) La réunion de F et de G engendre E, et l'intersection de F et de G est réduite au vecteur nul.

L'application PF qui associe au vecteur x le vecteur y est un endomorphisme de E, appelé projecteur sur F parallèlement à G. Le vecteur y est appelé projection de x sur F parallèlement à G. On définit de même PG.

Le projecteur PF a pour image F et pour noyau G, et les endomorphismes PF et PG satisfont aux relations :

Les seules relations PF + PG = IE et PF2 = PF impliquent les relations (1) à  (3).  En  effet  PFPG = PF(IE − PF) = PF − PF2 = 0 ; de même, PGPF = 0 ; enfin :

C'est pourquoi on dit qu'un endomorphisme U de E est un projecteur si U2 = U. L'endomorphisme U est alors le projecteur sur Im(U) parallèlement à Ker(U).

Par exemple, dans l'espace vectoriel F(A, K) des applications d'un ensemble A dans K, le sous-espace vectoriel F des applications nulles en un point donné a de A et le sous-espace vectoriel G des applications constantes sont supplémentaires. Le projecteur sur G parallèlement à F est l'application f ↦ f (a).

De même, dans l'espace vectoriel sur C des fonctions n fois continûment dérivables sur R à valeurs complexes, le sous-espace vectoriel F des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à [...]

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Écrit par

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Classification

Pour citer cet article

Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT. LINÉAIRE ALGÈBRE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • AFFINE APPLICATION

    • Écrit par Jacques MEYER
    • 261 mots

    Soit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie d'éléments (Mi, λi), pour 1 ≤ ...

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots
    L'étude des équations et systèmes d'équations du premier degré était reléguée au début du xixe siècle dans l'enseignement élémentaire et négligée des mathématiciens, lorsqu'une axiomatisation convenable montra la puissance des notions nouvelles ainsi mises en évidence. Sous sa forme...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    Les progrès de l'algèbre linéaire ont permis enfin de définir la différentielle sans aucun recours aux coordonnées sous une forme qui s'applique également aux fonctions définies sur des espaces de dimension infinie (cf. chap. 2).

  • CAYLEY ARTHUR (1821-1895)

    • Écrit par Lubos NOVY
    • 1 407 mots
    ...la notion de tableau rectangulaire représentant les coefficients d'un système d'équations linéaires ou les coefficients d'une transformation linéaire ; on peut donc soutenir que Cayley avait élaboré la théorie des matrices quelques années avant la publication de son célèbre et si exemplairement clair...
  • Afficher les 8 références

Voir aussi

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