QUADRATIQUES FORMES

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La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d'espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l'analyse fonctionnelle (équations différentielles, aux dérivées partielles ou intégrales). Elle est étroitement liée au concept de dualité. Enfin, l'étude arithmétique des formes quadratiques a été le point de départ de la théorie des nombres algébriques et a eu d'importantes répercussions sur la théorie des fonctions automorphes.

Généralités

En algèbre classique, on appelle « forme n-aire de degré r » un polynôme homogène de degré r par rapport à n variables ; pour r = 1, on dit « forme linéaire » et, pour r = 2, on dit « forme quadratique ». Dans la mathématique actuelle, on généralise la notion de forme quadratique comme on a généralisé celle de forme linéaire (cf. algèbre linéaire) : étant donné un anneau commutatif A et un A-module M, on considère les applications Q de M dans A qui vérifient une relation de la forme :

quels que soient x et y dans M, λ et μ dans A. En donnant à λ et μ les valeurs 0 ou 1, on voit aussitôt que :
et :
en  exprimant  de  plusieurs  manières Q(x + y + z), pour x, y et z dans M, on voit sans peine que l'expression :
est symétrique en x, y et z et que l'on a par suite :
d'autre part, on a :
donc D(x, y, z) = 0 lorsque A est sans diviseur de zéro et contient au moins trois éléments. Pour un anneau commutatif A quelconque, on dit que Q est une forme quadratique sur M si D(x, y, z) = 0 quels que soient x, y et z dans M, c'est-à-dire si B est une forme bilinéaire (nécessairement symétrique). On dit que cette forme bilinéaire est associée à la forme quadratique Q. Si, dans l'anneau A, l'équation 2ξ = α a une solution unique pour tout α ∈ A, toute forme bilinéaire symétrique B sur M × M déte [...]


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GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

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Pour citer l’article

Jean DIEUDONNÉ, « QUADRATIQUES FORMES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/formes-quadratiques/