QUADRATIQUES FORMES

La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d'espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l'analyse fonctionnelle (équations différentielles, aux dérivées partielles ou intégrales). Elle est étroitement liée au concept de dualité. Enfin, l'étude arithmétique des formes quadratiques a été le point de départ de la théorie des nombres algébriques et a eu d'importantes répercussions sur la théorie des fonctions automorphes.

Généralités

En algèbre classique, on appelle « forme n-aire de degré r » un polynôme homogène de degré r par rapport à n variables ; pour r = 1, on dit « forme linéaire » et, pour r = 2, on dit « forme quadratique ». Dans la mathématique actuelle, on généralise la notion de forme quadratique comme on a généralisé celle de forme linéaire (cf. algèbre linéaire) : étant donné un anneau commutatif A et un A-module M, on considère les applications Q de M dans A qui vérifient une relation de la forme :

quels que soient x et y dans M, λ et μ dans A. En donnant à λ et μ les valeurs 0 ou 1, on voit aussitôt que :
et :
en  exprimant  de  plusieurs  manières Q(x + y + z), pour x, y et z dans M, on voit sans peine que l'expression :
est symétrique en x, y et z et que l'on a par suite :
d'autre part, on a :
donc D(x, y, z) = 0 lorsque A est sans diviseur de zéro et contient au moins trois éléments. Pour un anneau commutatif A quelconque, on dit que Q est une forme quadratique sur M si D(


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ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
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Dans le chapitre « Espèce de structure d'espace quadratique sur un corps commutatif de caractéristique autre que 2 et espèces de structures plus riches »  : […] VE totalement ϕ-isotrope est soit ϕ-isotrope soit le sous-K-espace vectoriel nul de VE. À toute forme KVE-bilinéaire ϕ peut être associée une forme KV […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-algebriques/#i_26880

CONIQUES

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  • , Universalis
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plus guère d'enrichir l'herbier un peu vieillot des théorèmes sur les coniques, qui ont été réduites à un chapitre de la théorie des formes quadratiques. Une conique apparaît aujourd'hui comme une courbe non vide du plan projectif, définie par une équation Q(x, y, t) = 0, où Q est une forme quadratique en les coordonnées homogènes x, y […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/coniques/#i_26880

EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
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Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien une puissance de production […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ferdinand-gotthold-max-eisenstein/#i_26880

GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

  • Écrit par 
  • Pierre COSTABEL, 
  • Jean DIEUDONNÉ
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Dans le chapitre « Le calcul sur les objets abstraits »  : […] arithmeticae, art. 26 et 31). Dans la théorie de la composition des classes de formes quadratiques, qui lui est entièrement due, il est beaucoup plus net encore ; Lagrange avait défini une relation d'équivalence entre formes quadratiques binaires à coefficients entiers, deux formes étant équivalentes s'il est possible de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/carl-friedrich-gauss/#i_26880

HECKE ERICH (1887-1947)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
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Né à Buk (Posnanie), Hecke fut l'élève de Hilbert à Göttingen, où il soutint sa thèse en 1912. Il enseigna brièvement à Bâle et à Göttingen, puis à Hambourg à partir de 1919, où il demeura jusqu'à sa mort […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/erich-hecke/#i_26880

HERMITE CHARLES (1822-1901)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 1 185 mots

Dans le chapitre « La théorie arithmétique des formes quadratiques »  : […] Hermite commence à étendre aux formes positives non dégénérées à un nombre quelconque n de variables (« formes définies positives » dans la terminologie classique) l'idée de « réduction » que Gauss avait introduite pour les formes à deux et à trois variables. Par un raisonnement de récurrence élémentaire, il arrive à montrer qu' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/charles-hermite/#i_26880

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
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Dans le chapitre « Problème 11 : classification des formes quadratiques (à coefficients dans des anneaux d'entiers algébriques) »  : […] étant identifiées si elles sont équivalentes (si une transformation linéaire des variables permet de passer de l'une à l'autre). Par exemple, on sait bien (théorème de Sylvester) que toute forme quadratique sur Rm (qu'on suppose, pour simplifier, non dégénérée) est équivalente à une forme du type : […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-hilbert/#i_26880

HURWITZ ADOLF (1859-1919)

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Élève de Felix Klein, Adolf Hurwitz représentait une tendance unificatrice en mathématiques. Avec ses étudiants Hilbert et Minkowski, il s'éleva contre le partage abusif des mathématiques en de nombreuses branches, non seulement suivant le sujet traité, mais même suivant la façon d'aborder une matière. On a pu comparer les […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/adolf-hurwitz/#i_26880

LAGRANGE JOSEPH LOUIS (1736-1813)

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Dans le chapitre « L'œuvre de Lagrange »  : […] Recherches arithmétiques parues en 1775 et 1777, il fonde la théorie des formes quadratiques. Un de ses outils préférés est l'algorithme des fractions continues, auquel on préfère actuellement la terminologie de fractions continuée, dont il donne une belle théorie dans ses additions à l'Algèbre d'Euler parue, en 1773, en […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/joseph-louis-lagrange/#i_26880

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
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Dans le chapitre « Structure du groupe multiplicatif Q*p »  : […] p*, qui vaut 1 ou − 1 suivant qu'il existe ou non un élément non nul de (Qp)3 qui annule la forme quadratique Z2 − aX2 − bY2 (cf. divisibilité, théorie des nombres - Nombres algébriques, formes […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-p-adiques/#i_26880

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 14 051 mots

Dans le chapitre « Idèles et adèles »  : […] est de volume fini pour une mesure semi-invariante. Le calcul de ce volume, par exemple pour le cas où G est le groupe orthogonal associé à une forme quadratique, est équivalent aux résultats de Siegel sur le nombre de représentations d'une forme quadratique à coefficients entiers par un genre donné de formes (cf. formes quadratiques […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/#i_26880

QUADRIQUES

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 2 521 mots
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SIEGEL CARL LUDWIG (1896-1981)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
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Mathématicien allemand, né à Berlin et mort à Göttingen, dont les travaux portent principalement sur la théorie des nombres et les fonctions automorphes. Carl Ludwig Siegel fut l'élève de G. F. Frobenius ; il enseigna aux universités de Francfort et de Göttingen et fut membre de l'Institute for Advanced Study de Princeton à partir de 1940, ayant […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/carl-ludwig-siegel/#i_26880

VOEVODSKY VLADIMIR (1966-    )

  • Écrit par 
  • Antoine CHAMBERT-LOIR
  •  • 750 mots

à partir d'une d'entre elles, liées par une famille de relations (relations d'Adem). C'est peut-être là l'apport principal de Voevodsky et ces opérations ont d'ailleurs eu d'autres applications en théorie des formes quadratiques. Comme en topologie algébrique, la construction des opérations de Steenrod nécessite celle d'une « théorie homotopique […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/vladimir-voevodsky/#i_26880

Voir aussi

ADÈLES  •  DISCRIMINANT D'UNE FORME  •  FORME ALTERNÉE  •  FORME LINÉAIRE  •  ALGÈBRE DE HASSE  •  PRINCIPE DE HASSE  •  FORME INDÉFINIE  •  K-THÉORIE  •  MATRICE mathématiques  •  FONCTION MODULAIRE  •  MODULE mathématiques  •  NOMBRES ALGÉBRIQUES  •  FORME NON DÉGÉNÉRÉE  •  OPÉRATION D'UN GROUPE  •  NOMBRES P-ADIQUES  •  FORME POSITIVE  •  PSEUDO-DISCRIMINANT  •  RANG D'UNE MATRICE  •  RÉSEAU mathématiques  •  MESURE DE TAMAGAWA  •  FONCTION THÊTA  •  TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLE  •  INDICE DE WITT

Pour citer l’article

Jean DIEUDONNÉ, « QUADRATIQUES FORMES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 septembre 2017. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/formes-quadratiques/