QUADRATIQUES FORMES

En algèbre classique, on appelle « forme n-aire de degré r » un polynôme homogène de degré r par rapport à n variables ; pour r = 1, on dit « forme linéaire » et, pour r = 2, on dit « forme quadratique ». Dans la mathématique actuelle, on généralise la notion de forme quadratique comme on a généralisé celle de forme linéaire (cf. algèbre linéaire) : étant donné un anneau commutatif A et un A-module M, on considère les applications Q de M dans A qui vérifient une relation de la forme :

quels que soient x et y dans M, λ et μ dans A. En donnant à λ et μ les valeurs 0 ou 1, on voit aussitôt que :et :en  exprimant  de  plusieurs  manières Q(x + y + z), pour x, y et z dans M, on voit sans peine que l'expression :est symétrique en x, y et z et que l'on a par suite :d'autre part, on a :donc D(x, y, z) = 0 lorsque A est sans diviseur de zéro et contient au moins trois éléments. Pour un anneau commutatif A quelconque, on dit que Q est une forme quadratique sur M si D(x, y, z) = 0 quels que soient x, y et z dans M, c'est-à-dire si B est une forme bilinéaire (nécessairement symétrique). On dit que cette forme bilinéaire est associée à la forme quadratique Q. Si, dans l'anneau A, l'équation 2ξ = α a une solution unique pour tout α ∈ A, toute forme bilinéaire symétrique B sur M × M déte [...]