QUADRATIQUES FORMES

La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d'espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l'analyse fonctionnelle (équations différentielles, aux dérivées partielles ou intégrales). Elle est étroitement liée au concept de dualité. Enfin, l'étude arithmétique des formes quadratiques a été le point de départ de la théorie des nombres algébriques et a eu d'importantes répercussions sur la théorie des fonctions automorphes.

Généralités

En algèbre classique, on appelle « forme n-aire de degré r » un polynôme homogène de degré r par rapport à n variables ; pour r = 1, on dit « forme linéaire » et, pour r = 2, on dit « forme quadratique ». Dans la mathématique actuelle, on généralise la notion de forme quadratique comme on a généralisé celle de forme linéaire (cf. algèbre linéaire) : étant donné un anneau commutatif A et un A-module M, on considère les applications Q de M dans A qui vérifient une relation de la forme :

quels que soient x et y dans M, λ et μ dans A. En donnant à λ et μ les valeurs 0 ou 1, on voit aussitôt que :et :en  exprimant  de  plusieurs  manières Q(x + y + z), pour x, y et z dans M, on voit sans peine que l'expression :est symétrique en x, y et z et que l'on a par suite :d'autre part, on a :donc D(x, y, z) = 0 lorsque A est sans diviseur de zéro et contient au moins trois éléments. Pour un anneau commutatif A quelconque, on dit que Q est une forme quadratique sur M si D(x, y, z) = 0 quels que soient x, y et z dans M, c'est-à-dire si B est une forme bilinéaire (nécessairement symétrique). On dit que cette forme bilinéaire est associée à la forme quadratique Q. Si, dans l'anneau A, l'équation 2ξ = α a une solution unique pour tout α ∈ A, toute forme bilinéaire symétrique B sur M × M détermine inversement une forme quadratique Q à laquelle elle est associée, puisque :

La définition précédente montre par récurrence que, si a₁, ..., a_m sont des éléments de M et si ξ₁, ..., ξ_m sont des scalaires de A, on a :

où α_ij = B(a_i, a_j) pour i ≠ j et α_ii = Q(a_i), donc B(a_i, a_i) = 2 α_ii. En particulier, si les a_j forment une base de M, on retrouve la définition classique des formes quadratiques.

Exemples

Si l'on a été amené à donner une définition aussi générale, c'est parce que l'on rencontre naturellement des formes quadratiques de types très variés dans les applications. L'exemple le plus connu de forme quadratique est le « carré scalaire », dont l'étude est exactement la géométrie euclidienne. Deux des parties les plus importantes des mathématiques contemporaines, la géométrie riemannienne et la théorie des espaces de Hilbert, sont des extensions de cette étude dans deux directions : la forme quadratique est « infinitésimale » en géométrie riemannienne, et l'espace où elle est définie est de dimension infinie dans la théorie hilbertienne.

Dans tous ces cas, la forme est « positive non dégénérée » (cf. infra, chap. 2). Mais les formes non dégénérées non positives n'ont pas moins d'importance : leur théorie (pour les espaces de dimension finie) a deux « traductions » classiques : la théorie des coniques, des quadriques et de leurs généralisations aux dimensions supérieures, et d'autre part les géométries « non euclidiennes » (cf. groupes [mathématiques] - Groupes classiques et géométrie, quadriques) ; l'aspect « infinitésimal » de cette théorie est la théorie des espaces pseudo-riemanniens, qui est à la base de la théorie de la relativité. Les formes quadratiques à coefficients complexes correspondent aux quadriques (et leurs généralisations) dans les espaces complexes ; et c'est une forme à coefficients complexes, la forme de Killing, sur laquelle repose la classification des groupes de Lie semi-simples (cf. groupes [mathématiques] - Groupes de Lie).

L'étude des formes quadratiques à coefficients entiers, débutant avec Fermat et Euler, a été le ferment le plus actif dans le développement de la théorie des nombres : la théorie des formes binaires, équivalente à celle des corps quadratiques, a été, avec Gauss, le point de départ de la théorie des nombres algébriques ; celle de [...]

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