ANNEAUX COMMUTATIFS
Dans tout ce qui suit, on se bornera à considérer des anneaux commutatifs unitaires, c'est-à-dire possédant un élément unité pour la multiplication, noté 1. Les définitions sont celles de l'article suivant, anneaux et algèbres.
De nombreux cas particuliers d'anneaux commutatifs unitaires ont été étudiés au xixe siècle, principalement à propos de recherches de théorie des nombres et de géométrie algébrique. Introduits à l'origine pour étudier la divisibilité dans de tels anneaux, les idéaux, cas particuliers de modules, se sont révélés essentiels dans de nombreuses questions. En fait, la classification des différents types d'anneaux s'effectue suivant la structure de leurs idéaux.
L' arithmétique des anneaux dits principaux est analogue à l'arithmétique des nombres entiers ou des polynômes ; plus généralement, on peut étudier de manière satisfaisante l'arithmétique des anneaux de Dedekind : ici, les propriétés de divisibilité, déroutantes a priori, s'expriment harmonieusement dans le cadre de la théorie des idéaux. Une autre généralisation possible des anneaux principaux, qui englobe d'ailleurs la précédente, est liée à des conditions de finitude : tout idéal d'un anneau principal est formé des multiples d'un élément ; plus généralement, on peut considérer les anneaux dans lesquels tout idéal est formé des combinaisons linéaires (à coefficients dans l'anneau) d'un nombre fini d'éléments, et ces anneaux, appelés noethériens, possèdent une remarquable propriété de stabilité, découverte par Hilbert, à savoir que l'anneau des polynômes sur un anneau noethérien est lui-même noethérien. Pour terminer, mentionnons ici la classe importante des anneaux locaux, qui possèdent un unique idéal maximal : cela signifie qu'il existe un idéal propre contenant tous les autres idéaux propres de l'anneau ; ces anneaux jouent un grand rôle dans la théorie des variétés algébriques, différentiables ou analytiques, car les anneaux de germes de fonctions sont de ce type. L'étude des anneaux locaux est très liée à des considérations topologiques.
Rapports entre les différents anneaux
Encyclopædia Universalis France
Le tableau précise les rapports entre ces différents anneaux, chaque flèche exprimant qu'une propriété en entraîne une autre.
Notions fondamentales
Divisibilité
La présence dans un anneau de diviseurs de zéro, c'est-à-dire d'éléments a et b, tous deux non nuls, dont le produit est nul, rend illusoire toute théorie satisfaisante de la divisibilité. Les anneaux commutatifs sans diviseurs de zéro sont appelés des anneaux intègres ou anneaux d'intégrité. Nous allons, dans ce qui suit, préciser quelques propriétés de la divisibilité dans un tel anneau d'intégrité A. Dans toutes ces questions de divisibilité, seul intervient le fait que l'ensemble A* des éléments non nuls de l'anneau A est muni d'une loi de composition interne (x, y) → xy (la multiplication) associative, commutative, avec un élément unité ; un ensemble muni d'une loi possédant ces propriétés est appelé un monoïde. Nous énoncerons les définitions générales relatives à la divisibilité dans le cadre d'un monoïde A* quelconque, ce qui sera utile dans la troisième partie.
On dit qu'un élément b de A* divise un élément a de A*, ou encore que a est divisible par b s'il existe un élément c tel que a = bc. Il est clair que cette notion de divisibilité généralise la notion usuelle de divisibilité dans le monoïde Z* des entiers relatifs non nuls et possède des propriétés analogues : par exemple, si c divise b et si b divise a, alors c divise a.
Dans toutes les questions de divisibilité, un rôle essentiel est joué par les unités, qui sont les éléments inversibles (ou encore, avec la terminologie ci-dessus, les éléments qui divisent l'élément unité[...]
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Pour citer cet article
Jean-Luc VERLEY. ANNEAUX COMMUTATIFS [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Média
Rapports entre les différents anneaux
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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ALGÉBRIQUES STRUCTURES
- Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
- 29 463 mots
...composition interne l⊥ soit distributive par rapport à la loi de composition interne l⊤, c'est-à-dire que :Tout anneau est un annoïde. Un anneau (E, l⊤, l⊥) est dit commutatif (respectivement unifère ou unitaire) si (E, l⊥) est commutatif (respectivement est un monoïde). Tout...
-
ANNEAUX & ALGÈBRES
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 5 036 mots
- 1 média
Dans de nombreux exemples, la multiplication est de plus commutative, c'est-à-dire xy = yx ; un tel anneau est alors dit commutatif. Cependant on ne peut pas se limiter à ce cas, car des anneaux importants dans la pratique, les anneaux de matrices par exemple, ne possèdent pas cette propriété... -
ARTIN EMIL (1898-1962)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 1 319 mots
...Disons quelques mots des autres travaux algébriques d'Artin. Dans un mémoire de 1928, il étend certains résultats de la théorie des algèbres aux anneaux commutatifs dans lesquels il n'existe pas de chaîne infinie décroissante d'idéaux à gauche ; ces anneaux sont appelés artiniens. Il appartenait... -
CONSTRUCTION, mathématique
- Écrit par André WARUSFEL
- 1 391 mots
Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xixe siècle et surtout le début du xxe, on a mis au point une méthodeaxiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir...
Voir aussi
- CONGRUENCE MODULO N
- BÉZOUT THÉORÈME DE
- VALUATION
- NOMBRES PREMIERS
- PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR (PGCD)
- PREMIERS ENTRE EUX ÉLÉMENTS
- PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE (PPCM)
- DÉCOMPOSITION EN FACTEURS PREMIERS
- MAXIMAL IDÉAL
- INTÈGRE ANNEAU
- FACTORIEL ANNEAU
- FERMETURE INTÉGRALE
- MONOÏDE
- FRACTIONS CORPS DE
- NUMÉRATEUR
- FRACTIONNAIRE IDÉAL
- NOETHÉRIEN ANNEAU
- ENTIER ÉLÉMENT
- CLOS INTÉGRALEMENT
- DIVISION EUCLIDIENNE
- DEDEKIND ANNEAU DE
- DÉNOMINATEUR
- ASSOCIÉS ÉLÉMENTS
- UNITÉ, mathématiques
- PRINCIPAL IDÉAL
- QUOTIENT ANNEAU
- PREMIER IDÉAL
- PRIMAIRE IDÉAL
- NOMBRES RATIONNELS
- ARITHMÉTIQUE
- PRINCIPAL ANNEAU
