ANNEAUX COMMUTATIFS

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Anneaux noethériens

Avant Hilbert, les mathématiciens connaissaient fort peu de résultats sur les anneaux de polynômes à plusieurs variables. À propos de recherches sur la théorie des invariants, Hilbert mit en évidence le fait que tout idéal d'un tel anneau est engendré par un nombre fini d'éléments et montra tout le parti que l'on pouvait tirer de cette propriété ; par là même, il dégageait l'importance des anneaux avec conditions de finitude qui allaient être étudiés systématiquement sous forme générale par E. Noether. Signalons que les conditions de finitude en un sens plus large jouent un rôle absolument essentiel dans toutes les recherches « géométriques » contemporaines en géométrie algébrique ou analytique (au sens moderne, à savoir l'étude des espaces analytiques) et dans de nombreuses questions d'algèbre homologique.

Définitions équivalentes

Un anneau noethérien est un anneau commutatif unitaire A qui vérifie une des trois conditions de finitude équivalentes suivantes :

Condition (a), dite de chaîne ascendante : « Toute suite strictement croissante d'idéaux est finie », ou encore : « Si :

est une suite infinie d'idéaux de A encastrés, il existe un entier n tel que an = an − 1 = ... ».

Condition (b) : « Toute famille non vide d'idéaux a un élément maximal », ce qui signifie que si (ai)∈ I, I non vide fini ou non, est une famille d'idéaux de A, il existe un indice i0 pour lequel l'idéal ai0 n'est contenu strictement dans aucun autre idéal de la famille.

Condition (c) : « Tout idéal est engendré par un nombre fini d'éléments », c'est-à-dire que si a est un idéal de A, il existe des éléments x1, ..., xn, en nombre fini, tels que a soit l'ensemble des éléments de la forme a1x1 + ... + anxn lorsque a1, ..., an parcourent A indépendamment l'un de l'autre.

Esquissons la démonstration de l'équivalence de ces trois conditions car elle est instructive. Pour montrer que (a) entraîne (b), on raisonne par l'absurde. Si la famille (ai)∈ I n'admettait pas d'élément maximal, alors pour tout ∈ I on pourrait trouver ∈ I tel que l'idé [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « ANNEAUX COMMUTATIFS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-commutatifs/